溫度應力問題的基本解法【谷風教育】

1、,溫度應力問題的基本解法,1,中小教資,當彈性體的溫度變化時，其體積將趨于膨脹和收縮，若外部的約束或內(nèi)部的變形協(xié)調(diào)要求而使膨脹或收縮不能自由發(fā)生時，結構中就會出現(xiàn)附加的應力。這種因溫度變化而引起的應力稱為熱應力，或溫度應力。 忽略變溫對材料性能的影響，為了求得溫度應力，需要進行兩方面的計算：（1）由問題的初始條件、邊界條件，按熱傳導方程求解彈性體的溫度場，而前后兩個溫度場之差就是彈性體的變溫。（2）按熱彈性力學的基本方程求解彈性體的溫度應力。本章將對這兩方面的計算進行簡單的介紹。,第六章 溫度應力問題的基本解法,溫度應力問題的基本解法,2,中小教資,溫度應力問題的基本解法,第六章 溫度應力問題

2、的基本解法,3,中小教資,6-1 溫度場和熱傳導的基本概念,1.溫度場：在任一瞬時，彈性體內(nèi)所有各點的溫度值的總體。用T表示。 不穩(wěn)定溫度場或非定常溫度場：溫度場的溫度隨時間而變化。 即 T=T（x，y，z，t） 穩(wěn)定溫度場或定常溫度場：溫度場的溫度只是位置坐標的函數(shù)。 即 T=T（x，y，z） 平面溫度場：溫度場的溫度只隨平面內(nèi)的兩個位置坐標而變。 即 T=T（x，y，t）,2.等溫面：在任一瞬時，連接溫度場內(nèi)溫度相同各點的曲面。顯然，沿著等溫面，溫度不變；沿著等溫面的法線方向，溫度的變化率最大。,溫度應力問題的基本解法,4,中小教資,3.溫度梯度：沿等溫面的法線方向，指向溫度增大方向的矢量

3、。用T表示，其大小用 表示。其中n為等溫面的法線方向。溫度梯度在各坐標軸的分量為,溫度應力問題的基本解法,取 為等溫面法線方向且指向增溫方向的單位矢量，則有,T,（1）,5,中小教資,4.熱流速度：在單位時間內(nèi)通過等溫面面積S 的熱量。用 表示。 熱流密度：通過等溫面單位面積的熱流速度。用 表示，則有,溫度應力問題的基本解法,其大小為,(2),6,中小教資,溫度應力問題的基本解法,由（1）和（3）可見，熱流密度的大小,可見，導熱系數(shù)表示“在單位溫度梯度下通過等溫面單位面積 的熱流速度”。,稱為導熱系數(shù)。由（1）、（2）、（3）式得,T,7,中小教資,熱流密度在坐標軸上的投影,可見：熱流密度在任

4、一方向的分量，等于導熱系數(shù)乘以 溫度在該方向的遞減率。,溫度應力問題的基本解法,8,中小教資,熱量平衡原理：在任意一段時間內(nèi)，物體的任一微小部分所積蓄的熱量，等于傳入該微小部分的熱量加上內(nèi)部熱源所供給的熱量。,6-2 熱傳導微分方程,溫度應力問題的基本解法,9,中小教資,溫度應力問題的基本解法,在同一段時間dt內(nèi)，由六面體左面?zhèn)魅霟崃縬xdydzdt，由右面?zhèn)鞒鰺崃?。因此，傳入的凈熱量為,由前后兩面?zhèn)魅氲膬魺崃繛椋?因此，傳入六面體的總凈熱量為： 簡記為：,10,中小教資,假定物體內(nèi)部有正熱源供熱，在單位時間、單位體積供熱為W，則該熱源在時間dt內(nèi)所供熱量為Wdxdydzdt。 根據(jù)熱量平衡

5、原理得：,溫度應力問題的基本解法,化簡后得：,記,則,這就是熱傳導微分方程。,11,中小教資,6-3 溫度場的邊值條件,初始條件： 邊界條件分四種形式： 第一類邊界條件 已知物體表面上任意一點在所有瞬時的溫度，即 其中Ts 是物體表面溫度。 第二類邊界條件 已知物體表面上任意一點的法向熱流密度，即 其中角碼 s 表示“表面”，角碼n 表示法向。,溫度應力問題的基本解法,為了能夠求解熱傳導微分方程，從而求得溫度場，必須已知物體在初瞬時的溫度，即所謂初始條件；同時還必須已知初瞬時以后物體表面與周圍介質(zhì)之間熱交換的規(guī)律，即所謂邊界條件。初始條件和邊界條件合稱為初值條件。,12,中小教資,第三類邊界條

6、件 已知物體邊界上任意一點在所有瞬時的運流（對流）放熱情況。按照熱量的運流定理，在單位時間內(nèi)從物體表面?zhèn)飨蛑車橘|(zhì)的熱流密度，是和兩者的溫差成正比的，即,溫度應力問題的基本解法,其中Te是周圍介質(zhì)的溫度； 稱為運流放熱系數(shù)，或簡稱熱系數(shù)。 第四類邊界條件 已知兩物體完全接觸，并以熱傳導方式進行熱交換。即,13,中小教資,6-4 按位移求解溫度應力的平面問題,溫度應力問題的基本解法,但是，由于彈性體所受的外在約束以及體內(nèi)各部分之間的相互約束，上述形變并不能自由發(fā)生，于是就產(chǎn)生了應力，即所謂溫度應力。這個溫度應力又將由于物體的彈性而引起附加的形變，如虎克定理所示。因此，彈性體總的形變分量是：,14

7、,中小教資,對于平面應力的變溫問題，上式簡化為,溫度應力問題的基本解法,這就是平面應力問題熱彈性力學的物理方程。,15,中小教資,溫度應力問題的基本解法,將應力分量用形變分量和變溫T表示的物理方程為：,幾何方程仍然為：,16,中小教資,將幾何方程代入物理方程，得用位移分量和變溫T 表示的應力分量,將上式代入不計體力的平衡微分方程,溫度應力問題的基本解法,17,中小教資,簡化得：,這就是按位移求解溫度應力平面應力問題的微分方程。 同理，將應力分量代入無面力的應力邊界條件,溫度應力問題的基本解法,（1）,18,中小教資,溫度應力問題的基本解法,簡化后得：,這是按位移求解溫度應力平面應力問題的應力邊

8、界條件。,位移邊界條件仍然為：,將式(1)、(2)與第二章2-8中式(1)、(2)對比，可見,（2）,19,中小教資,代替了體力分量 X 及 Y ，而：,則得到在平面應變條件下的相應方程。,代替了面力分量 及 。,對于溫度應力的平面應變問題，只須將溫度應力的平面應力問題的,溫度應力問題的基本解法,20,中小教資,6-5 位移勢函數(shù)的引用,由上一節(jié)知：在平面應力的情況下按位移求解溫度應力問題時，須使位移分量u 和v 滿足微分方程：,并在邊界上滿足位移邊界條件和應力邊界條件。實際求解時，宜分兩步進行：（1）求出上述微分的任意一組特解，它只需滿足微分方程，而不一定要滿足邊界條件。（2）不計變溫T，求

9、出微分方程的一組補充解，使它和特解疊加以后，能滿足邊界條件。,溫度應力問題的基本解法,21,中小教資,溫度應力問題的基本解法,22,中小教資,溫度應力問題的基本解法,可得相應位移特解的應力分量是：,23,中小教資,設 ， 為位移的補充解，則 ， 需滿足齊次微分方程：,相應于位移補充解的應力分量為（注意不計變溫，即T=0）：,溫度應力問題的基本解法,24,中小教資,總的應力分量是：,需滿足應力邊界條件。在應力邊界問題中（沒有位移邊界條件），可以把相應于位移補充解的應力分量直接用應力函數(shù)來表示，即 其中的應力函數(shù) 可以按照應力邊界條件的要求來選取。,溫度應力問題的基本解法,在平面應變條件下，將上述

10、各方程中的,25,中小教資,溫度應力問題的基本解法,解：位移勢函數(shù) 所應滿足的微分方程為,26,中小教資,將A，B回代，得位移勢函數(shù) 于是相應于位移特解的應力分量為 為求補充解，取 可得所需要的相應于位移補充解的應力分量：,溫度應力問題的基本解法,因此，總的應力分量為,邊界條件要求,27,中小教資,顯然，后三個條件是滿足的；而第一個條件不能滿足，但由于 ，可應用圣維南原理，把第一個條件變換為靜力等效條件，即，在 的邊界上， 的主矢量及主矩等于零： 將,溫度應力問題的基本解法,代入上式，求得 于是矩形板的溫度應力為：,28,中小教資,6-6 軸對稱溫度場平面熱應力問題,對于圓形、圓環(huán)及圓筒等這類

11、軸對稱結構彈性體，若其變溫也是軸對稱的T=T（r），則可簡化為軸對稱溫度場平面熱應力問題。軸對稱溫度場平面熱應力問題，宜采用極坐標求解。 不考慮體積力平面應力問題平衡方程,在軸對稱問題中得到簡化，其第二式自然滿足；而第一式成為,溫度應力問題的基本解法,29,中小教資,溫度應力問題的基本解法,幾何方程簡化為,物理方程簡化為,將應力用應變表示,30,中小教資,溫度應力問題的基本解法,31,中小教資,其中常數(shù)A，B由邊界條件確定。 在平面應變的情況下，只需在以上各式中將,溫度應力問題的基本解法,32,中小教資,對于軸對稱溫度場有,積分兩次得：,或,由邊界條件：,求出A，B后回代，得溫度場：,溫度應力問題的基本解法,33,中小教資,積分后得,溫度應力問題的基本解法,將T代入平面應變問題應力表達式,34,中小教資,溫度應力問題的基本解法,35,中小教資,由此得,取,則,溫度應力問題的基本解法,36,中小教資,所以,邊界條件,顯然滿足,由,即,溫度應力問題的基本解法,37,中小教資,得,而邊界條件,恒成立。,故,溫度應力問題的基本解法,38,中小教資,練習6.2 已知半徑為b的均質(zhì)圓盤，置于等溫剛性套箍內(nèi)，圓盤和套箍由相同的材料制成，設圓盤按如下規(guī)律加熱,套箍溫度則保持為常溫T0，而由此溫度所引起的應變可以忽略