完整版向量知識點歸納與常見題型總結

1、向量知識點歸納與常見題型總結高三理科數(shù)學組全體成員、向量知識點歸納1與向量概念有關的問題向量不同于數(shù)量，數(shù)量是只有大小的量 （稱標量），而向量既有大小又有方向；數(shù)量 可以比較大小，而向量不能比較大小，只有它的模才能比較大小記號“ a b”錯了，而| a | | b |才有意義.有些向量與起點有關， 有些向量與起點無關.由于一切向量有其共性 （大小和方向）， 故我們只研究與起點無關的向量（既自由向量）.當遇到與起點有關向量時，可平移向量.平行向量（既共線向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是 向量相等的必要條件.單位向量是模為 1的向量，其坐標表示為（x,y）,其中x、y滿足x

2、2 y = 1（可用（cos ,sin例如：向量uuu（強|AB|AB）（OW W 2n）表示）.特別：表示與AB同向的單位向量。|AB|uuurhacL）（0）所在直線過 ABC的內心（是 BAC的角平分線所在| AC|直線）;uuu uurr例1、O是平面上一個定點，A B C不共線，P滿足OP OAuuuuuur|AB|熹）| AC0, ）3則點P的軌跡一定通過三角形的內心。AC（變式）已知非零向量 AB與AC滿足（譽 + -|AB| |AC|）-BC=0且詈|AB|號 ,則厶ABC為（）|AC| 2D.等邊三角形（06陜西）A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形0的

3、長度為0,是有方向的，并且方向是任意的，實數(shù)0僅僅是一個無方向的實數(shù).有向線段是向量的一種表示方法，并不是說向量就是有向線段（7）相反向量（長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。）2 與向量運算有關的問題向量與向量相加，其和仍是一個向量.（三角形法則和平行四邊形法則） 當兩個向量a和b不共線時，a b的方向與a、b都不相同，且|a b | v|a| + | b | ； 當兩個向量a和b共線且同向時，a b、a、b的方向都相同，且|a b | |a| |b| ； 當向量a和b反向時，若|a| | b | , a b與a方向相同，且| a b |=| a |-| b | ；hB-

4、f-fB-若 | a|v |b| 時，ab 與 b方向相同，且| a + b |=|b |-|a|.向量與向量相減，其差仍是一個向量.向量減法的實質是加法的逆運算三角形法則適用于首尾相接的向量求和；平行四邊形法則適用于共起點的向量求和。AB BC AC ; AB AC CB例2: P是三角形ABC內任一點，若 CB PA PB,R，貝y P 一定在（）A、 ABC內部B、AC邊所在的直線上C、AB邊上D、BC邊上2例 3、若 AB - BC AB0，則 ABC是: A.Rt B.銳角 C.鈍角 D.等腰 Rt特別的：冃b |a b H Ib，例4、已知向量a （cos ,sin ）,b（ 3,

5、 1），求12a b |的最大值。分析：通過向量的坐標運算，轉化為函數(shù)（這里是三角）的最值問題，是通法。解：原式=| (2cos, 3,2sin1)l . (2 cos 3)2 (2s in1)23)。當且僅當2k y (k Z)時，|2a b|有最大值4.評析：其實此類問題運用一個重要的向量不等式簡潔明快。原式|2a| |b|=2| a | |b| 2“|a|b| |a b| |a|b|” 就顯得124，但要注意等號成立的條件（向量同向）。BC CD DA 0.( ABCD中) 對空間任意兩個向量a、b(b豐0 ) , a /圍成一周（首尾相接）的向量（有向線段表示）的和為零向量 如，AB

6、BC CA 0,（在 ABC中） AB判定兩向量共線的注意事項：共線向量定理b 存在實數(shù)入使a=入b.如果兩個非零向量a ,b，使adb （入 R）,那么a / b ；*F反之，如a / b，且b豐0，那么a =入b .這里在“反之”中，沒有指出a是非零向量，其原因為a=0時，與入b的方向規(guī)定為平行 數(shù)量積的8個重要性質兩向量的夾角為 0W 0,且a、b不同向，a b 0是 為銳角的必要.|r rr r非充分條件；當 為鈍角時，a ? b v 0,且a、b不反向，a b 0是 為鈍角的必要非充 分條件；例5.如已知a （ ,2 ） , b （3 ,2），如果a與b的夾角為銳角，貝U的取值范圍是

7、41 （答：一或 0且 一）；33例6、已知i ,j為相互垂直的單位向量，a i 2j , b i 。且a與b的夾角為銳角,求實數(shù)的取值范圍。分析:由數(shù)量積的定義易得“* *a,ba b 0 ”，但要注意問題的等價性。解:由a與b的夾角為銳角，得a b 120.有12而當a tb（t 0）,即兩向量同向共線時，有t 1得t22.此時其夾角不為銳角。故,2 2, 一.2評析:特別提醒的是：a,b是銳角與ab 0不等價；同樣 a,b 是鈍角與a b 0不等價。極易疏忽特例“共線”。2I 2I- 2特殊情況有 a a a =|a |?；?|a | = ；. a a = a =x2 y .如果表示向量

8、a的有向線段的起點和終點的坐標分別為（x一，力）,（x2 , y2）,則心|=.（為 X2）2 （yi y2）2 |ab| |a|b|。（因 cos 1） 數(shù)量積不適合乘法結合律.如（a b） c a （b c）.（因為（a b） c與c共線，而a （b c）與a共線） 數(shù)量積的消去律不成立.若a、b、c是非零向量且a c b c并不能得到a b這是因為向量不能作除數(shù)，1即一是無意義的.c向量b在a方向上的投影丨b I cos =ei和e2是平面一組基底，則該平面任一向量 a iei 2 e2 （ 1, 2唯一） 特別：.OP = 1OA 2ob則1 2 1是三點P、A、B共線的充要條件 注意

9、：起點相同，系數(shù)和是 1?；滓欢ú还簿€1 uuu uur uur例7、已知等差數(shù)列 an的前n項和為Sn ,若 -BO= a1 0A+ a200 OC，且A、B C三點共線（該直線不過點0）,貝y S?00=（）A. 50 B. 51C.100例&平面直角坐標系中,D.1010為坐標原點，已知兩點A(3,1) , B( 1,3),若點 C 滿足0C 1 0A 2 0B ,其中1, 2 R且12 1,則點C的軌跡是(直線AB)A.b1b2 b30Bbi b2b30C.bib2 b30D.bib2b30uuuuuuuuuuuu uuuuuuPAPBPBPC PCPAP為ABC的垂心；uuuuur

10、向量（冉-4fi)(0）所在直線過ABC的內心（BAC的角分線所在直線）;且ai順時針旋轉30后與b同向，其中i1,2,3，則（D） （06河南高考）uur ulAB Uur ACu| cuu uu r使OCOA (1）OB ,則t的值是：A. 0B. 1C. 0 或 1例10F列條件中，能確定三點A,B,P不共線的是：A2.MP sin20 MA2cos 20 MBB .MP2sec 20MAC2.MP sin20 MA2cos 70 MBD .MP2csc 31MA分析：本題應知：“ A,B,P共線，等價于存在JR,使 MP。例9、已知點A,B,C的坐標分別是（3,1）, （5,2）,（2

11、二2 J若存在實數(shù)D.不確定tan2 20 MB cot2 31 MB MA MB 且(8)在 ABCuur luu uurPA PB PCuuir uur uuuPG 1(PA PB3P為ABC的重心;例11、設平面向量a1、a2、a3的和a1 a2uuuPC） G為 ABC的重心，特別地1AB BC AD則AD過三角形的重心;2a3 0。如果向量bi、b2、b3,滿足b 2 ai , | AB | PC | BC | PA | CA | PB 0 P ABC 的內心；(選)SAOB=Xba ；例12、若O是VABC所在平面內一點,uuu uur且滿足OB OCuuu uuu uuuOB O

12、C 2OA ,則 VABC14的形狀為 （答：直角三角形）;例13、若D為 ABC的邊BC的中點， ABC所在平面內有一點P ,滿足SPAgBPuuu設 IAPI|PD|例14、若點O是厶ABC的外心,，則的值為（答：2）;luin uun luur ro且 OA OB CO 0,則內角C為 （答：120o）（9）、P分PR的比為，則RP = 0內分；v 0且 半-1外分.op = OP OP21PR,p 1 ;若入=1 則 OP = 2 ( OP1 + OP2);設 P(x,y),P 1(x 1,y 1),xP2(X2,y 2)則yX1 X21y1 y2;中點為 X22屮 y22重心X1 X

13、2 X33,y1 y y33說明：特別注意各點的順序, 子分母的位置。分子是起點至分點,分母是分點至終點，不能改變順序和分例 15、已知 A（4，-3），B（-2，6），點P在直線AB上，且|AB| 3| AP |，則P點的坐標是()(2, 0), (6, -6 )uuirx x h(10)、點 P(x, y)按 a (h,k)平移得 P(x,y),則 PP = a 或函數(shù) y f (x)按y y ka (h,k)平移得函數(shù)方程為：y k f (x h)說明：(1)向量按向量平移，前后不變；(2)曲線按向量平移，分兩步：i確定平移方向-與坐標軸的方向一致；ii按左加右減，上加下減(上減下加)例

14、16、把函數(shù) y 2x2的圖象 按向量a (2, 2)平移后得到的解析式是 。2y 2x 8x 6例17、函數(shù)y sin 2x的圖象按向量 a平移后，所得函數(shù)的解析式是y cos2x 1,則a=(答: ( ,1)4結論：已知A(x1，yj, B(X2, y2)，l : Ax By C 0 ,過A, B的直線與I交于點P,則P分AB所成的比是Ax1Ax 2By1By 2,若用此結論，以下兩題將變得很簡單8是xmym0 ,直線1與PQ的延長線相交，則m的取值范圍是解：由Ax1By1C1 2m,1得,因為直線I與PQ的延長線相交，故Ax2By2C2 3m解得3m23例18、已知有向線段 PQ的起點P

15、和終點Q的坐標分別是(1,1), (2,2)，若直線l的方程變式：已知點 A(2,-1),B(5,3).0與線段AB相交,求k的范圍.若直線l : kx y 1提示：由AX1 By1 C 仆得:Ax2 By2 C(11)對空間任一點 O和不共線的三點2k 220及直線過端點得1k5k 25uuuuuuuuuuuurA B、C,滿足 OP xOA yOBzOC(2)系數(shù)和是1 o則四點P、A、B、C是共面x y z 1 .注意：(1)起點相同(12)空間兩個向量的夾角公式cos =a1fch a?b2 asd(a= (, a3),b= (ddb).(13)空間兩點間的距離公式若A(x-|,y1,

16、z-) , B(x2, y2,z2)，則uuuyuuu uiu；222dA,B = |AB|,ABAB, (x2X1)2(y2yj2億 zj2.(14)點Q到直線I距離h 1 U|a|b|)2 (a b)2 (點P在直線I上，直線I的方向向量 |a|urnuuua= PA，向量 b= PQ).(15)正弦定理sin A sin B sin C2R ( R是三角形的外接圓半徑)2 2說明：正弦定理可直接進行邊角轉換;提示：例16 ：cosBbsin B2cosC2a在 ABC中，c2sin A sinC3若si nC 2cos As in B,則此三角形必是三角形(等腰)提示：c 2cos Ab

17、.2 2 2c bc a2, 2c 2b a b2bc(16)余弦定理例15：在 ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，且 空B，求B的大小。cosC 2a c2 2 2 2a b c 2bccosA； b1(17)面積定理S aha2 2 2 2 2c a 2ca cos B ； cab 2abcosC .11 一 亠 bhb chc ( ha、hb、hc分別表示a、b、c邊上的咼)1 abs in C211bcsin A casin B .221 r-uuuuuuuiruuu1 uuu uuuuuu uuu Soab (|OA|OB|)2(OAOB)2 = OAgOB ta n(為

18、 OA,OB 的夾角)2 2(18)三角形內角和定理在厶ABC中，有ABCC (A B) C2C 22( A B).2 2 2說明：(1)三角形具有豐富的內涵(隱含條件)i：兩邊之和大于第三邊；ii：斜邊大于直角邊；iii：正(余)弦定理；iv：面積公式；v：內角和是1800 ;vi：大角對大邊誠：tan A ta nB ta nC ta nA tanB tanC就：正弦、余弦函數(shù)的單調性；銳角三角形中有：A B 2sin A sin( B) cosb2鈍角三角形中有(C是鈍角)：ABA2-B2sin A sin(2B) cosB例17：定義在R上的偶函數(shù)f(x1)f(x),且在3,2上是減函

19、數(shù)，,是銳角角形的兩個角，則()A、f (sin)f (cos)B、 f (sin )f (cos )C f (sin ) f (sin )D、f (cos )f (cos)(19)平面兩點間的距離公式UUU,UUIUUUU/dA,B = |AB| Jab AB 譏X2X1)2(y2 yJ2(人任，), B(X2,y2).(20)向量的平行與垂直設 a=(X1, %),b= (X2, y2)，且 b 0,則a II bb=入 ax1 y2 x2 y1 0.a b(a 0)a b=0x1x2 y-i y2 0.是實(21)線段的定比分公式設只任，) , P2(X2,y2), P(x, y)是線段

20、RF2的分點，uuu uur數(shù)，且RPPF2，則x1y專(22)平面向量的綜合問題LUUOPY2JJJTJJLTOROP21uuuUULTUJir1OP tOR (1 t)OF2( t1向量的“雙重身份”注定了它成為中學數(shù)學知識的一個重要交匯點，擔當多項內容 的媒介也就成了理所當然的事情，數(shù)的特性使得它與 “函數(shù)，三角，數(shù)列，不等式，導數(shù)”有眾多的聯(lián)系，成為高考中一個新的亮點。形的特性又使它必然與 “平面幾何，解析幾何，立體幾何”緊密相關，以體現(xiàn)它的工具作用。我們應該首先做到的是具有向量語言的“翻 譯”能力。即把抽象的向量語言，轉換成直觀的“圖形語言”或者可操作的“運算形式”。一般來說，夾角問題總是從數(shù)量積入手，長度問題則從模的運算性質開始(一般需 先平方)