測函數(shù)列三種收斂性的區(qū)別與聯(lián)系

1、目錄 1前言12概念12.1 幾乎處處收斂12.2 幾乎一致收斂12.3 依測度收斂23三種收斂性之間的區(qū)別23.1 存在可測函數(shù)列幾乎處處收斂而不依測度收斂23.2 存在可測函數(shù)列依測度收斂而不幾乎處處收斂23.3 存在可測函數(shù)列幾乎處處收斂而不幾乎一致收斂44三種收斂性的充要條件44.1 幾乎處處收斂的充要條件44.2 幾乎一致收斂的充要條件44.3 依測度收斂的充要條件65三種收斂性之間的聯(lián)系65.1 幾乎一致收斂與幾乎處處收斂65.2 依測度收斂與幾乎處處收斂85.3 依測度收斂與幾乎一致收斂105.4 三種收斂之間的關(guān)系圖：116結(jié)論117致謝128參考文獻13可測函數(shù)列三種收斂性的

2、區(qū)別與聯(lián)系摘要： 對于可測集合E上的幾乎處處有限的可測函數(shù)列來說有三種常見類型的收斂：幾乎處處收斂，幾乎一致收斂和依測度收斂。本文首先介紹可測函數(shù)列三種收斂的概念，并討論幾乎處處收斂，幾乎一致收斂和依測度收斂三者之間的關(guān)系。這幾種概念是伴隨測度的建立而產(chǎn)生的新的收斂性，相對其他兩種收斂性來說，依測度收斂的收斂條件是比較弱的，與熟知的處處收斂有很大的差異。Egorov定理、Riesz定理和Lebesgue定理等揭示了這幾種收斂之間的關(guān)系。關(guān)鍵詞： 幾乎處處收斂 幾乎一致收斂 依測度收斂中圖分類號：O17 Difference and Connection between Three Types

3、of Convergence of Measurable Function SequenceJiang Zhong (Tutor：You Xuexiao) (Department of Mathematics, Hubei Normal University, Huangshi Hubei 435002,China) 朗讀顯示對應(yīng)的拉丁字符的拼音Abstract: For the measurable function sequence which is finite almost everywhere on the measurable set E ,there are three type

4、s of common convergence: convergence almost everywhere, convergence almost uniform and convergence in measurable. This article has first described the concepts of those three types of convergence, and then discussed the relationship among convergence almost everywhere, convergence almost uniform and

5、 convergence in measurable . Those concepts are the new convergence,which are arised with the establishment of measure. Comparing with the other two types of convergence, the conditions of convergence in measurable are relatively weak, and has large difference with the well-known convergence almost

6、everywhere. The Egorov theorem, Riesz theorem and Lebesgue theorem and so on reveal the relationship among these types of convergence.Keywords: Convergence almost everywhere Convergence almost uniform Convergence in measurable可測函數(shù)列三種收斂性的區(qū)別與聯(lián)系蔣忠（指導教師，游雪肖）（湖北師范學院 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 湖北 黃石 435002）1前言本文介紹了幾乎處處收斂、幾乎

7、一致收斂與依測度收斂，它們是伴隨測度的建立而產(chǎn)生的新的收斂性。本文首先討論幾乎處處收斂、幾乎一致收斂與依測度收斂的區(qū)別，然后再探討這三種收斂的充要條件，初步表現(xiàn)出這三種收斂之間的蘊含關(guān)系，然后再探討這三種收斂之間的聯(lián)系，Egorov定理和Riesz定理等揭示了這幾種收斂之間的關(guān)系。Riesz定理在幾乎處處收斂和較難處理的依測度收斂之間架起了一座橋梁。2. 概念2.1 幾乎處處收斂設(shè)及都是上的廣義實值函數(shù)。若，則稱在E上幾乎處處收斂于。簡記為于E或于E。2.2 幾乎一致收斂設(shè) 及都是可測集E上幾乎處處有限的廣義實值函數(shù)。若對，存在E的可測子集，使在上一致收斂于，則稱在E上幾乎一致收斂于，記為于E

8、，或于E。簡記為于E，或于E。2.3 依測度收斂設(shè) 及都是可測集E上幾乎處處有限的可測函數(shù)。若，都有，則稱在E上依測度收斂于，記為于E，或于E。3 三種收斂性之間的區(qū)別3.1 存在可測函數(shù)列幾乎處處收斂而不依測度收斂例1取=定義函數(shù)列如下： , ,顯然為上幾乎處處有限的可測函數(shù)，且.但對,所以在上不依測度收斂于.3.2 存在可測函數(shù)列依測度收斂而不幾乎處處收斂例2取=，定義=1，= = 一般地，將等分，我們定義第組的個函數(shù)為= , 作函數(shù)列如下：, .顯然為上處處有限的可測函數(shù)列，記 從而 由必是第組中的第個函數(shù)，所以 ,所以 .又由中必有無窮多個函數(shù)在處的值為0，也有無窮多個函數(shù)在處的值為1

9、，所以 不存在.3.3 存在可測函數(shù)列幾乎處處收斂而不幾乎一致收斂例3在上處處收斂于0，但從中挖去任何測度有限的可測子集，都不能使在上一致收斂于0，即于不成立。4 三種收斂性的充要條件4.1 幾乎處處收斂的充要條件引理 設(shè)，是集合E上點點有限的函數(shù).令集合，則 .證明 由幾乎處處收斂的定義與引理得4.2 幾乎一致收斂的充要條件. 上式中事先已取定，與中的無關(guān)，故由一致收斂的“可列化”說法，即得.4.3 依測度收斂的充要條件設(shè)為上的幾乎處處有限的可測函數(shù)列，則在上依測度收斂的充要條件是存在正數(shù)，使當時， .小結(jié)：事實上上述充要條件已經(jīng)蘊含了我們后面即將給出的Egorov定理，盡管三種收斂區(qū)別很大

10、，一種收斂不能包含另一種收斂，但下面的Egorov定理、Riesz定理和Lebesgue定理說明在適當條件下, 它們還是有密切聯(lián)系的.5 三種收斂性之間的聯(lián)系5.1 幾乎一致收斂與幾乎處處收斂定理1（Egorov）當，若于E，則于E.證明 設(shè)，由引理，對，有.于是對任意的和自然數(shù)，存在自然數(shù)使得.令.由測度的次可加性我們有.往證在上，一致收斂于. 事實上，由De Morgan公式得 （1）對任意，取k足夠大使得，則由（1）式知道，當時對一切，有.即在上一致收斂于.這就證明了.定理證畢.定理1的逆定理：于E，則于E.證明 因，由上面的4.2，得記.顯然，令即 由上面的4.1，得于E簡言之，當時，

11、由Egorov定理可知：幾乎處處收斂幾乎一致收斂；反之，由Egorov逆定理可知：幾乎一致收斂幾乎處處收斂。5.2 依測度收斂與幾乎處處收斂定理2（F.Riesz）設(shè)在E上依測度收斂于，則存在子列，使于E.證明 設(shè)，對任意和，存在，使得當時，有.于是對任意自然數(shù)，存在自然數(shù)，使得 （2），我們可適當選取使得.往證.令.對任意，當時，.這表明在上收斂于.令.則在E上收斂于.往證.由De Morgan公式，我們有.利用（2）容易得到.因此由測度的上連續(xù)性并且利用（2），我們有 這就證明了.定理3（Lebesgue）設(shè)（1）, （2）為上幾乎處處有限的可測函數(shù)列,（3），且也是上幾乎處處有限的函數(shù)，

12、則于E.證明 由Egorov定理得知，使得.所以，存在正數(shù)，使當時，,即當時，使從而 當時，, 證畢.簡言之，若于E，由F.Riesz定理，則有子列幾乎處處收斂于；反之，若，于E，由Lebesgue定理，則于E.5.3 依測度收斂與幾乎一致收斂(一) 若，則.證明 因，由4.2，得注意到從而，上式令，即得再由依測度收斂定義，得.（二） 若于E，則有一子列幾乎一致收斂于.證明設(shè)于E，令則.于是可依次取出使得,今證.取定，取，使，令，則，且，這表明在上一致收斂于，即于E.由定理2的證明可知，Riesz定理的結(jié)論可加強為：存在子列，于E，也即依測度收斂可以抽子列幾乎一致收斂。我們把前者稱為Riesz

13、定理，后者稱為Riesz定理。5.4 三種收斂之間的關(guān)系圖： 子列Riesz定理 葉果洛夫定理 mE+葉果洛夫逆定理 Lebesgue定理mE+子列Riesz定理6 結(jié)論盡管幾種收斂之間區(qū)別很大，一種收斂不能包含另一種收斂，但是Egorov定理、Riesz定理和Lebesgue定理等揭示了它們之間的聯(lián)系：在某些條件下，這三者之間是可以互相推出的。因此，我們可以利用這些結(jié)論將難以解決的依測度收斂等問題轉(zhuǎn)化為幾乎處處收斂的問題。7 致謝本文的研究工作是在我的導師游雪肖老師的精心指導和悉心關(guān)懷下完成的，在我的學業(yè)和論文的研究工作中無不傾注著導師辛勤的汗水和心血。導師的嚴謹治學態(tài)度、淵博的知識、無私的

14、奉獻精神使我深受啟迪。從尊敬的導師身上，我不僅學到了扎實、寬廣的專業(yè)知識，也學到了做人的道理。在此我要向我的導師致以最衷心的感謝和深深的敬意。在此，向所有關(guān)心和幫助過我的導師、老師、同學和朋友表示由衷的謝意！8 參考文獻1 胡長松，李必文，金國祥，宋述剛.可測函數(shù)列的收斂性.實變函數(shù)M. 科學出版社,2002：7781.2 朱玉堦.一致收斂與幾乎處處收斂.實變函數(shù)簡編M.高等教育出版社,1987：8894.3 薛昌興.可測函數(shù)列的收斂性.實變函數(shù)與泛函分析M.高等教育出版社,1993：118124.4 程其襄，張奠宙，魏國強，胡善文，王漱石.可測函數(shù).實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)（第二版）M.高等教育出版社,2003：7692.5 張玲.幾種收斂間的關(guān)系.高等數(shù)學研