數(shù)學研討 專題三導數(shù)及其應(yīng)用第八講導數(shù)的綜合應(yīng)用

1、p( 1, )()專題三 導數(shù)及其應(yīng)用第八講 導數(shù)的綜合應(yīng)用2019 年1（2019 天津理 8）已知 a r ，設(shè)函數(shù) f ( x ) =x2 -2 ax +2 a, x 1, x -a ln x, x 1,若關(guān)于 x 的不等式f ( x )0在 r上恒成立，則 a的取值范圍為a.0,1b.0,2c.0,ed.1,e2.（2019 全國理 20）已知函數(shù)f ( x ) =2 x3-ax2+b.（1）討論f ( x )的單調(diào)性；（2）是否存在a , b，使得f ( x )在區(qū)間0,1的最小值為 -1且最大值為 1？若存在，求出 a , b 的所有值；若不存在，說明理由.3.（2019 浙江 2

2、2）已知實數(shù) a 0 ，設(shè)函數(shù) f ( x)= a ln x +x +1, x 0.（1）當a =-34時，求函數(shù)f ( x )的單調(diào)區(qū)間；（2）對任意 x 1e2, +)均有xf ( x ) , 2a求 a的取值范圍.注：e=2.71828為自然對數(shù)的底數(shù).4.（2019 全國理 20）已知函數(shù)f ( x ) =sin x -ln(1+x )，f (x)為f ( x )的導數(shù)證明：（1）f(x)在區(qū)間 -2存在唯一極大值點；（2）f ( x )有且僅有 2 個零點5.（2019 全國理 20）已知函數(shù) f x =ln x -x +1x -1.（1）討論 f(x)的單調(diào)性，并證明 f(x)有且

3、僅有兩個零點；（2）設(shè) x 0是 f(x)的一個零點，證明曲線 y=lnx在點 a(x ，ln x 0 0)處的切線也是曲線y =ex的切線.( ) e cos , n6.（2019 江蘇 19）設(shè)函數(shù) f ( x ) =( x -a )( x -b )( x -c ), a , b, c r、 f ( x ) 為 f（x）的導函數(shù)（1） 若 a=b=c，f（4）=8，求 a 的值；（2） 若 ab，b=c，且 f（x）和 f ( x) 的零點均在集合 -3,1,3 中，求 f（x）的極小值；（3）若 a =0,0 b 1, c =1 ，且 f（x）的極大值為 m，求證:m4277.（2019

4、 北京理 19）已知函數(shù)1 f ( x ) = x43-x2+x .（）求曲線 y = f ( x)的斜率為 1 的切線方程；（）當 x -2,4時，求證：x -6 f (x)x.(iii)設(shè) f ( x ) = f (x)-x+a(ar )，記f ( x )在區(qū)間 -2,4上的最大值為 m (a)，當 m (a)最小時，求 a 的值.8.（2019 天津理 20）設(shè)函數(shù) f x = x xg ( x) 為 f (x)的導函數(shù).（）求f (x)的單調(diào)區(qū)間；（）當 x ,4 2 時，證明 f ( x) +g ( x ) -x 02 ；（）設(shè) xn為函數(shù)u( x ) = f ( x) -1在區(qū)間

5、2m + , 2m +4 2內(nèi)的零點，其中 n n ，證明 e -2np 2 np + -x 0時，xf ( x ) - f ( x ) 0 成立的x的取值范圍是a(-,-1)(0,1)b(-1,0)(1,+)c(-,-1)(-1,0)d(0,1)(1,+)6（2015 新課標）設(shè)函數(shù) f x =e x x - -ax +a，其中a 1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得 f ( x ) ln x -ln x b e 2 -ex x x x的是c y =1 1 1 x -x d y = x + x4 4 22-2 x9（2014 新課標）設(shè)函數(shù) f x =3 sinp xm若存在f (x)的極值點x0

6、滿足x02+f (x)m2 0，則m的取值范圍是a(-,-6)(6,+)b(-,-4)(4,+)c(-,-2)(2,+)d(-,-1)(1,+)10（2014 陜西）如圖，某飛行器在 4 千米高空水平飛行，從距著陸點 a 的水平距離 10 千米處下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖像的一部分，則函數(shù)的解析式為y2ay =5o-5a-2地面跑道1 3 2 4x - x b y = x - x 125 5 125 5x3 3 1 c y = x -x d y =- x + x125 125 511（2014 遼寧）當x -2,1時，不等式 ax3-x2+4 x +3 0恒成立，則實數(shù) a 的取值范

7、圍是a-5, -3b9 -6, - 8c-6, -2d-4, -312（2014 湖南）若 0 x x 11 2，則a ex x x x2 1 12 1x e 2 d x e 1 0 ， b 0 ，且函數(shù) f ( x) =4 x3 -ax 2-2bx +2 在 x =1 處有極值，則 ab 的最大值等于a2 b3 c6 d9() (， g ( x ) =x12a20（2011 浙江）設(shè)函數(shù) f x =ax 2 +bx +c a, b, c r)，若x =-1為函數(shù)f (x)ex的一個極值點，則下列圖象不可能為y = f (x)的圖象是a b c d21（2011 湖南）設(shè)直線x =t與函數(shù) f

8、 ( x) =x2，g ( x) =ln x的圖像分別交于點m , n，則當 mn 達到最小時 t 的值為a1 b12c52d22二、填空題22（2015 安徽）設(shè) x3+ax +b =0 ，其中 a , b 均為實數(shù)，下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根的是 （寫出所有正確條件的編號）a =-3,b =-3；a =-3,b =2；a =-3,b 2；a =0, b =2；a =1,b =223（2015 四川）已知函數(shù) f ( x ) =2x 2+ax （其中 a r ）對于不相等的實數(shù)f ( x ) -f ( x )x , x ，設(shè) m = 1 2x -x1 2，n =g ( x ) -

9、g ( x ) 1 2x -x1 2，現(xiàn)有如下命題：對于任意不相等的實數(shù) x , x ，都有 m 0 ；1 2對于任意的 及任意不相等的實數(shù) x , x ，都有 n 0 ；1 2對于任意的a，存在不相等的實數(shù) x , x12，使得m =n；對于任意的a，存在不相等的實數(shù) x , x ，使得 m =-n1 2其中的真命題有 （寫出所有真命題的序號）24（2015 江蘇）已知函數(shù)f ( x ) =|ln x |， g ( x) =| x0,0 1，則方程( )| f ( x ) +g ( x) |=1實根的個數(shù)為 25（2011 廣東）函數(shù) f ( x) =x3 -3 x 2+1在x=_處取得極小

10、值三、解答題26(2018 全國卷)已知函數(shù)f ( x )(1)討論的單調(diào)性；f ( x) =1x-x +a ln x(2)若f ( x )存在兩個極值點 x , x1 2，證明：f ( x ) -f ( x )1 2 a -2 x -x1 227(2018 全國卷)已知函數(shù) f ( x ) =ex-ax2(1)若a =1，證明：當x 0時，f ( x) 1；(2)若f ( x) 在 (0, +)只有一個零點，求a28(2018 全國卷)已知函數(shù) f ( x) =(2 +x +ax2)ln(1 +x ) -2 x(1)若a =0，證明：當-1x 0時，f ( x) 0時，f ( x ) 0；(

11、2)若x =0是f ( x )的極大值點，求a29(2018北京)設(shè)函數(shù) f ( x) = ax 2 -(4 a +1) x +4 a +3e x(1)若曲線y = f ( x )在點(1, f (1)處的切線與x軸平行，求a；(2)若f ( x )在x =2處取得極小值，求a的取值范圍30(2018 天津)已知函數(shù) f x =ax，g ( x ) =log xa，其中a 1(1)求函數(shù)h( x ) = f ( x) -x ln a的單調(diào)區(qū)間；(2) 若曲線y = f ( x )在點 ( x , f ( x ) 1 1處的切線與曲線y =g ( x )在點( x , g ( x ) 2 2處的

12、切線平行，證明 x +g ( x ) =-1 22ln ln aln a；(3)證明當 a e1e時，存在直線l，使l是曲線y = f ( x )的切線，也是曲線y =g ( x )的切線31 (2018 江蘇 ) 記f(x), g(x)分別為函數(shù)f ( x ), g ( x )的導函數(shù)若存在 x r0，滿足1m n1( ) ( 2 1)f ( x ) =g ( x ) 0 0且f(x ) =g 0(x )0，則稱x0為函數(shù)f ( x )與g ( x)的一個“s點”(1)證明：函數(shù)f ( x ) =x與 g ( x ) =x2+2 x -2不存在“s點”；(2)若函數(shù) f ( x) =ax 2

13、 -1與g ( x) =ln x存在“s點”，求實數(shù) a 的值；(3)已知函數(shù) f ( x ) =-x2+a ， g ( x ) =bexx對任意a 0，判斷是否存在b 0，使函數(shù)f ( x)與g ( x)在區(qū)間(0, +)內(nèi)存在“s點”，并說明理由32(2018 浙江)已知函數(shù)f ( x ) =x -ln x(1)若f ( x )在 x =x1，x2(x x1 2)處導數(shù)相等，證明：f ( x ) + f ( x ) 8 -8ln 2 1 2；(2)若a 3 -4ln 2，證明：對于任意k 0，直線y =kx +a與曲線y = f ( x )有唯一公共點33（2017 新課標）已知函數(shù) f

14、( x ) =ae2 x+( a -2) ex-x(1)討論f ( x)的單調(diào)性；(2)若f ( x )有兩個零點，求a的取值范圍34（2017 新課標）已知函數(shù) f ( x ) =ax 2 -ax -x ln xa(1)求；，且f ( x) 0(2)證明：f ( x )存在唯一的極大值點 x0，且e-2 f ( x ) 20-235（2017 新課標）已知函數(shù)f ( x) =x -1-a ln x(1)若f ( x) 0 ，求 a 的值；(2)設(shè) 為整數(shù)，且對于任意正整數(shù) ，(1+ )(1+21 1) (1+) 0, b r )有極值，且導函數(shù)f(x)a zpq0()( )()a的極值點是f

15、 ( x)的零點（極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值）（1）求 b 關(guān)于 a 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（2）證明： b23a；（3）若f ( x ) ， f(x)這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于7- ，求 a 的取值范圍 238（2017 天津）設(shè) ，已知定義在 r 上的函數(shù) f ( x) =2 x (1,2)間內(nèi)有一個零點 x， g ( x )為 f ( x )的導函數(shù)04+3 x3-3 x2-6 x +a在區(qū)（）求g ( x )的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)m 1, x ) ( x , 20 0，函數(shù)h ( x) =g ( x)( m -x ) - f ( m )0，求證：h ( m ) h(

16、x ) 1x-e1-x在區(qū)間(1,+)內(nèi)恒成立(e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù))4x -2 0x()()e -ax -a()42(2016 年天津)設(shè)函數(shù)f ( x ) =( x -1)3-ax -b ,x r ，其中a, b r(i)求f ( x)的單調(diào)區(qū)間；(ii)若f ( x)存在極值點 x ，且 f ( x ) = f ( x )0 1 0，其中x x1 0，求證： x +2 x =3 1 0；()設(shè) a 0 ，函數(shù) g ( x ) =| f ( x) |，求證：g ( x)在區(qū)間-1,11上的最大值不小于 43(2016 年全國) 已知函數(shù) f ( x) =( x -2) e （i）

17、求 a 的取值范圍；x +a ( x -1)2有兩個零點（ii）設(shè) x ， x 是 f ( x )1 2的兩個零點，證明：x +x 0 時， ( 2)ex+x + ；(ii)證明：當 a 0,1) 時，函數(shù)h( a ) ，求函數(shù) h ( a ) 的值域g x = ( x 0) 有最小值設(shè) g x 的最小值為x 245(2016 年全國) 設(shè)函數(shù)f ( x) =acos 2 x +(a-1)(cos x +1)，其中a0，| f ( x ) |的最大值為 a 記f(x)（）求；a（）求；|f (x)| 2 a（）證明46（2016 年浙江高考）已知 a 3 ，函數(shù)f ( x )=min2 | x

18、 -1|, x 2 -2 ax +4 a -2，其中min p , q=p，p q q, p q（i）求使得等式 f ( x ) =x 2 -2 ax +4 a -2成立的x的取值范圍；（ii）（i）求f ( x )的最小值m( a)；（ii）求f ( x )在區(qū)間 0,6 上的最大值m ( a)47(2016 江蘇) 已知函數(shù)f x =ax+bx(a0, b 0, a 1,b 1)a 0 ( ) sin ( 0, )axn ( )()ln )（1）設(shè) a =2 ，1b = 21 求方程 f (x)=2的根；2 若對于任意 x r ，不等式 f (2x)mf (x)-6恒成立，求實數(shù) m 的最

19、大值；（2）若 0 a 1 ，函數(shù) g (x)=f(x)-2有且只有1個零點，求 ab 的值48(2015 新課標）設(shè)函數(shù) f ( x ) =emx+x2-mx()證明：f ( x ) 在 ( -,0) 單調(diào)遞減，在 (0, +)單調(diào)遞增；()若對于任意 x ， x -1,1，都有 | f ( x ) - f ( x ) | e -1，求 m 的取值范圍1 2 1 249(2015 山東)設(shè)函數(shù) f ( x ) =ln( x +1) +a ( x2-x )，其中 a r （）討論函數(shù)f ( x)極值點的個數(shù)，并說明理由；（）若x 0 ， f ( x) 0 成立，求 a 的取值范圍50（2015

20、 湖南）已知 ，函數(shù) f x =e x x + 記 x 為 f ( x )n的從小到大的第 ( n n*)個極值點證明：（1）數(shù)列 f xn是等比數(shù)列；（2）若 a e12-1，則對一切 n n*，x | f ( x ) | n n恒成立51（2014 新課標）已知函數(shù) f ( x ) =x3-3 x2+ax +2，曲線y = f ( x )在點（0，2）處的切線與 x 軸交點的橫坐標為2（）求a；（）證明：當k 1時，曲線y = f ( x )與直線y =kx -2只有一個交點52(2014 山東）設(shè)函數(shù) f x =e x 2-k ( + x x 2 x（k為常數(shù)，e =2.71828是自然

21、對數(shù)的底數(shù)）（）當 k 0 時，求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)f (x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點，求k的取值范圍()( )00x -xx + ，使得 f ( x ) a (-x與 e -153（2014 新課標）設(shè)函數(shù)f x =a ln x +1 -a1x2-bx a 1 ，曲線 y = f ( x )在點(1, f (1)處的切線斜率為 0（）求 b ；（）若存在 x 1, 使得 f (x)0 0aa -1，求 a 的取值范圍54（2014 山東）設(shè)函數(shù)f ( x) =a ln x +x -1x +1，其中 a 為常數(shù)（）若a =0，求曲線y = f ( x )在點(1, f (1)處的切線方程；（）討論函數(shù)f ( x )的單調(diào)性155(2014 廣東) 已知函數(shù) f ( x ) = x33+x2+ax +1(a r )（）求函數(shù)f ( x)的單調(diào)區(qū)間；（）當a 0，存在唯一的s，使t = f ( s )（）設(shè)（）中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為s =g (t )，證明：當 t e2時，有2 ln g (t ) 1 0 時， ( x -k ) f(x) +x +1 0 ，求 k 的最大值63