江蘇省南京師大附中2019屆數(shù)學(xué)高考模擬試題(含答案)

1、江蘇省南京師大附中 2019 屆高三數(shù)學(xué) 5 月最后一卷試題(滿分 160 分，考試時(shí)間 120 分鐘)20195一、 填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共 70 分1. 已知集合 ax|x|1，xz，bx|0x2，則 ab_2. 已知復(fù)數(shù) z(12i)(ai)，其中 i 是虛數(shù)單位若 z 的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù) a 的值為_(kāi)3. 某班有學(xué)生 52 人，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號(hào)，用系統(tǒng)抽樣方法，抽取一個(gè)容量為 4 的 樣本已知 5 號(hào)、31 號(hào)、44 號(hào)學(xué)生在樣本中，則樣本中還有一個(gè)學(xué)生的編號(hào)是_4. 3 張獎(jiǎng)券分別標(biāo)有特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)甲、乙兩人同時(shí)各抽取 1 張獎(jiǎng)券，兩人 都

2、未抽得特等獎(jiǎng)的概率是_5. 函數(shù) f(x) xlog (1x)的定義域?yàn)開(kāi)26. 如圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出 k 的值為_(kāi)(第 6 題)(第 7 題)7. 若正三棱柱 abca b c 的所有棱長(zhǎng)均為 2，點(diǎn) p 為側(cè)棱 aa 上任意一點(diǎn)，則四棱錐 pbcc b1 1 1 1 1 1的體積為_(kāi)8. 在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，點(diǎn) p 在曲線 c：yx310x3 上，且在第四象限內(nèi)已 知曲線 c 在點(diǎn) p 處的切線方程為 y2xb，則實(shí)數(shù) b 的值為_(kāi)9. 已知函數(shù) f(x) 3sin(2x )cos(2x )(0 0，b0)有相同的焦點(diǎn)，其左、右焦點(diǎn)分別2 a2 b2為 f ，f .若橢圓

3、與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為 p ，且 f p f f ，則雙曲線的離心率為 1 2 1 1 2_112. 在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，點(diǎn) a 的坐標(biāo)為(0，5)，點(diǎn) b 是直線 l：y x 上位于第一2象限內(nèi)的一點(diǎn)已知以 ab 為直徑的圓被直線 l 所截得的弦長(zhǎng)為 2 5，則點(diǎn) b 的坐標(biāo)為 _13. 已知數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和為 s ，a 1，a 2，an n 1 2 n2an2，n2k1，kn*， 則2an，n2k，kn*，滿足 2 019s 3 000 的正整數(shù) m 的所有取值為_(kāi)m 14. 已知等邊三角形 abc 的邊長(zhǎng)為 2，am2mb，點(diǎn) n，t 分別為線段 bc，ca 上的動(dòng)

4、點(diǎn)， 則abntbctmcamn取值的集合為_(kāi)二、 解答題：本大題共 6 小題，共 90 分. 解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或 演算步驟15. (本小題滿分 14 分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，以 x 軸正半軸為始邊的銳角 的終邊與單位圓 o 交于點(diǎn) a，且點(diǎn) a 的縱坐標(biāo)是1010.553(1) 求 cos( )的值；4(2) 若以 x 軸正半軸為始邊的鈍角 的終邊與單位圓 o 交于點(diǎn) b，且點(diǎn) b 的橫坐標(biāo)為 ，求 的值16. (本小題滿分 14 分)如圖，已知正方形 abcd 和矩形 acef 所在的平面互相垂直，ab 2，af1，m 是線段 ef 的中點(diǎn)求證：(1)

5、am平面 bde；(2) am平面 bdf.17. (本小題滿分 14 分)某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示，該封閉區(qū)域由以 o 為圓 心的半圓及直徑 ab 圍成在此區(qū)域內(nèi)原有一個(gè)以 oa 為直徑、c 為圓心的半圓形展示區(qū)，該 廣告商欲在此基礎(chǔ)上，將其改建成一個(gè)凸四邊形的展示區(qū) copq，其中 p，q 分別在半圓 o 與 半圓 c 的圓弧上，且 pq 與半圓 c 相切于點(diǎn) q.已知 ab 長(zhǎng)為 40 米，設(shè)bop 為 2 .(上述圖形 均視作在同一平面內(nèi))(1) 記四邊形 copq 的周長(zhǎng)為 f( )，求 f( )的表達(dá)式；(2) 要使改建成的展示區(qū) copq 的面積最大

6、，求 sin 的值1 2118. (本小題滿分 16 分)x2 y2在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，已知橢圓 c： 1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為 f ，f ，a2 b2且點(diǎn) f ，f 與橢圓 c 的上頂點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為 2 的等邊三角形1 2(1) 求橢圓 c 的方程；(2) 已知直線 l 與橢圓 c 相切于點(diǎn) p，且分別與直線 x4 和直線 x1 相交于點(diǎn) m， nfn.試判斷 是否為定值，并說(shuō)明理由mf11 nn2nnn19. (本小題滿分 16 分)n（n1）n（b b ）已知數(shù)列a 滿足 a a a 2 2 (nn*)，數(shù)列b 的前 n 項(xiàng)和 s 1 2 n n n(nn*)，且 b 1，

7、b 2.1 2(1) 求數(shù)列a 的通項(xiàng)公式；n(2) 求數(shù)列b 的通項(xiàng)公式；n1 1(3) 設(shè) c ，記 t 是數(shù)列c 的前 n 項(xiàng)和，求正整數(shù) m，使得對(duì)于任意的 nna b bn n n1均有 t t .m n*20. (本小題滿分 16 分)設(shè) a 為實(shí)數(shù)，已知函數(shù) f(x)axex，g(x)xln x.(1) 當(dāng) a0 恒成立，求 b 的 取值范圍；(3) 若函數(shù) h(x)f(x)g(x)(x0，xr)有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，求 a 的取值范圍1 02019 屆高三模擬考試試卷數(shù)學(xué)附加題(滿分 40 分，考試時(shí)間 30 分鐘)21. 【選做題】 在 a，b，c 三小題中只能選做兩題，每小題

8、10 分，共 20 分若多做， 則按作答的前兩題計(jì)分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟a. (選修 42：矩陣與變換) 已知矩陣 a1 10 1 ，二階矩陣 b 滿足 ab 0 1 .(1) 求矩陣 b；(2) 求矩陣 b 的特征值b. (選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)設(shè) a 為實(shí)數(shù)，在極坐標(biāo)系中，已知圓 2asin (a0)與直線 cos( )1 相切，4求 a 的值c. (選修 45：不等式選講)求函數(shù) y 1x 3x2的最大值【必做題】 第 22，23 題，每小題 10 分，共 20 分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證 明過(guò)程或演算步驟22. 如圖，在四棱錐 pabcd 中，p

9、a平面 abcd，abcbad90，adap4，ab bc2，點(diǎn) m 為 pc 的中點(diǎn)(1) 求異面直線 ap 與 bm 所成角的余弦值；4(2) 點(diǎn) n 在線段 ad 上，且 an ，若直線 mn 與平面 pbc 所成角的正弦值為 ，求 的5值23. 在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，有一個(gè)微型智能機(jī)器人(大小不計(jì))只能沿著坐標(biāo)軸的正 方向或負(fù)方向行進(jìn)，且每一步只能行進(jìn) 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，例如：該機(jī)器人在點(diǎn)(1，0)處時(shí)，下 一步可行進(jìn)到(2，0)、(0，0)、(1，1)、(1，1)這四個(gè)點(diǎn)中的任一位置記該機(jī)器人從坐 標(biāo)原點(diǎn) o 出發(fā)、行進(jìn) n 步后落在 y 軸上的不同走法的種數(shù)為 l(n)(1)

10、 求 l(1)，l(2)，l(3)的值；(2) 求 l(n)的表達(dá)式222019 屆高三模擬考試試卷(南師附中) 數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1. 0，1 2. 3 3. 18 4.1 4 3 5. 0，1) 6. 3 7.3 38. 13 9. 2 10.2 218 11. 12. (6，3) 13. 20，21 14. 6215. 解：因?yàn)殇J角 的終邊與單位圓 o 交于點(diǎn) a，且點(diǎn) a 的縱坐標(biāo)是10.所以由任意角的三角函數(shù)的定義可知 sin 103 10從而 cos 1sin .(3 分)101010，553 3 3 3 10 2 10 2(1) cos( )cos cos sin sin (

11、 ) 4 4 4 10 2 10 2.(6 分)(2) 因?yàn)殁g角 的終邊與單位圓 o 交于點(diǎn) b，且點(diǎn) b 的橫坐標(biāo)是5 2 5所以 cos ，從而 sin 1cos .(8 分) 5 555，于是 sin( ) sin cos cos sin 10 5 3 10 2 5 ( ) 10 5 10 522.(10 分) 3因?yàn)?為銳角， 為鈍角，所以 ( ， )，(12 分)2 23從而 .(14 分)416. 證明：(1) 設(shè) acbdo，連結(jié) oe， 四邊形 acef 是矩形， efac，efac. o 是正方形 abcd 對(duì)角線的交點(diǎn)， o 是 ac 的中點(diǎn)又點(diǎn) m 是 ef 的中點(diǎn)， e

12、mao，emao. 四邊形 aoem 是平行四邊形， amoe.(4 分) oe平面 bde，am平面 bde，2 2 22 2 222 2 2 am平面 bde.(7 分)(2) 正方形 abcd， bdac.平面 abcd平面 acefac，平面 abcd平面 acef，bd bd平面 acef.(9 分)平面 abcd， am平面 acef， bdam.(10 分)正方形 abcd，ad 2， oa1.由(1)可知點(diǎn) m，o 分別是 ef，ac 的中點(diǎn)，且四邊形 acef 是矩形 af1，四邊形 aomf 是正方形，(11 分) amof.(12 分)又 ambd，且 ofbdo，of平

13、面 bdf，bd平面 bdf， am平面 bdf.(14 分)17. 解：(1) 連結(jié) pc.由條件得 (0， )2在poc 中，oc10，op20，poc 2 ，由余弦定理，得pc oc op 2ocopcos( 2 )100(54cos 2 )(2 分)因?yàn)?pq 與半圓 c 相切于點(diǎn) q，所以 cqpq，所以 pq pc cq 400(1cos 2 )，所以 pq20 2cos .(4 分) 所以四邊形 copq 的周長(zhǎng)為 f( )cooppqqc4020 2cos ，即 f( )4020 2cos ， (0， )(7 分)2(沒(méi)寫(xiě)定義域，扣 2 分)(2) 設(shè)四邊形 copq 的面積為

14、 s( )，則s( )s 100( 2cos 2sin cos )， (0， )(10 分) ocp qcp所以 s( ) 100( 2sin 2cos 2sin ) 100( 4sin 2)， (0， )(12 分)2 2sin 令 s(t)0，得 sin 列表：34 28.sin (0，34 28)34 28(34 28，1)s( )s( )增0最大值減答：要使改建成的展示區(qū) copq 的面積最大，sin 的值為34 28.(14 分)18. 解：(1) 依題意，2ca2，所以 c1，b 3，x2 y2所以橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1.(4 分)4 3(2) 因?yàn)橹本€ l 分別與直線 x4

15、和直線 x1 相交，2 2 2111 2n1 nn1 nnn2n所以直線 l 一定存在斜率(6 分)設(shè)直線 l：ykxm，ykxm，由 得(4k 3)x 8kmx4(m 3)0.3x24y212，由 (8km)24(4k23)4(m23)0，得 4k23m20 .(8 分)把 x4 代入 ykxm，得 m(4，4km)，把 x1 代入 ykxm，得 n(1，km)，(10 分)所以 nf |km|，1mf （41）2（4km）2 9（4km）2 ，(12 分)1由式，得 3m24k2 ，把式代入式，得 mf 4（km）22|km|，1nf |km| 1 nf 1 ，即 為定值 .(16 分)m

16、f 2|km| 2 mf 21 11219. 解：(1) a 2 2 2；(2 分)1n（n1）a a a a 2 2當(dāng) n2 時(shí)，a 2n.a a a （n1）n1 2 n12 2所以數(shù)列a 的通項(xiàng)公式為 a 2n(nn*)(4 分)n nn（b b ）(2) 由 s ，得 2s n(b b ) ，1 n所以 2s (n1)(b b )(n2) .n1 1 n1由，得 2b b nb (n1)b ，n2，n 1 n n1即 b (n2)b (n1)b 0(n2) ，1 n n1所以 b (n3)b (n2)b 0(n3) .1 n n1由，得(n2)b 2(n2)b (n2)b 0，n3，(

17、6 分)n n1 n2因?yàn)?n3，所以 n20，上式同除以(n2)，得b 2b b 0，n3，n n1 n2即 b b b b b b 1，n1 n n n1 2 1所以數(shù)列b 是首項(xiàng)為 1，公差為 1 的等差數(shù)列，n故 b n，nn*.(8 分)n1 1 1 1 1 n（n1）(3) 因?yàn)?c 1，(10 分)a b b 2n n（n1） n（n1） 2nn n n1所以 c 0，c 0，c 0，c 0，c 0.1 2 3 4 5n（n1）記 f(n) ，2n（n1）（n2） n（n1） （n1）（n2）當(dāng) n5 時(shí)，f(n1)f(n) 0，2n1 2n 2n156所以當(dāng) n5 時(shí)，數(shù)列f(

18、n)為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng) n5 時(shí)，f(n)f(5) 1.25na01 n（n1）從而，當(dāng) n5 時(shí)，c 10.(14 分)n（n1） 2n因此 t t t t t 1 2 3 4 4 5 6所以對(duì)任意的 nn*，t t .4 n綜上，m4.(16 分)(注：其他解法酌情給分)20. 解：(1) 當(dāng) a0 時(shí)，因?yàn)?f(x)a(x1)ex，當(dāng) x0；當(dāng) x1 時(shí)，f(x)0，所以 aex2xb 對(duì)任意的 a1 及任意的 x0 恒成立由于 ex0，所以 aexex，所以 ex2xb 對(duì)任意的 x0 恒成立(4 分)設(shè) (x)ex2x，x0，則 (x)ex2，所以函數(shù) (x)在(0，ln 2)上單調(diào)

19、遞減，在(ln 2，)上單調(diào)遞增，所以 (x) (ln 2)22ln 2，min所以 b22ln 2.(6 分)1 （x1）（axex1）(3) 由 h(x)axexxln x，得 h(x)a(x1)ex1 ，其x x中 x0.若 a0 時(shí)，則 h(x)0，所以函數(shù) h(x)在(0，)上單調(diào)遞增，所以函數(shù) h(x)至 多有一個(gè)零零點(diǎn)，不合題意；(8 分)1若 a0.a由第(2)小題知，當(dāng) x0 時(shí)，(x)ex2x22ln 20，所以 ex2x，所以 xex2x2，所以當(dāng) x0 時(shí)，函數(shù) xex的值域?yàn)?0，)所以存在 x 0，使得 ax ex 10，即 ax ex 1 ，0 0 0 0 0且當(dāng)

20、 x0，所以函數(shù) h(x)在(0，x )上單調(diào)遞增，在(x ，)上單調(diào)遞減 0 0 0因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn) x ，x ，1 2所以 h(x) h(x )ax ex x ln x 1x ln x 0 .max 0 0 0 0 0 0 01設(shè) (x)1xln x，x0，則 (x)1 0，所以函數(shù) (x)在(0，)上單x調(diào)遞增由于 (1)0，所以當(dāng) x1 時(shí)，(x)0，所以式中的 x 1.01又由式，得 x ex .0 01由第(1)小題可知，當(dāng) ae，a1即 a( ，0)(11 分)e1當(dāng) a( ，0)時(shí)，e11 aee 1 1(i) 由于 h( ) ( 1)0，所以 h( )h(x )0.e e

21、e e00000 0 001因?yàn)?1e，a a a a a設(shè) f(t)ettln t，te，1由于 te 時(shí)，ln t2t，所以設(shè) f(t)0，即 h( )1 時(shí)， x ex x ，且 h( )h(x )0，a a同理可得函數(shù) h(x)在(x ，)上也恰有一個(gè)零點(diǎn)01綜上，a( ，0)(16 分)e2 2 2 2 24 62019 屆高三模擬考試試卷(南師附中) 數(shù)學(xué)附加題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)21. a. 解：(1) 由題意，由矩陣的逆矩陣公式得 ba11 10 1.(5 分)(2) 矩陣 b 的特征多項(xiàng)式 f( )( 1)( 1)，(7 分)令 f( )0，解得 1 或1，(9 分)所以矩陣

22、b 的特征值為 1 或1.(10 分)b. 解：將圓 2asin 化成普通方程為 x y 2ay，整理得 x (ya) a .(3 分)將直線 cos( )1 化成普通方程為 xy 20.(6 分)4|a 2|因?yàn)橄嗲校詧A心到直線的距離等于半徑，即 a，(9 分)2解得 a2 2.(10 分)c. 解：因?yàn)? 1x 3x2)2( 33x1 3x2 1) 321 20(33x3x2)( 1) ，(3 分)3 32 15所以 y 1x 3x2 .(5 分)333x 3x2 7 2當(dāng)且僅當(dāng) ，即 x ，1時(shí)等號(hào)成立(8 分)1 1 12 332 15所以 y 的最大值為 .(10 分)322. 解：(1) 因?yàn)?pa平面 abcd，且 ab，ad 平面 abcd，