第5講.解析幾何核心條件透析.

1、第 5 講解析幾何核心 條件透析課前思考請思考以下問題？1 橢圓中，離心率的大與小與橢圓的圓與扁的關(guān)系是什么 ?雙曲線中，離心率的大與小與漸近線在雙 曲線所在區(qū)域的張角的大與小關(guān)系是什么？2 p 為橢圓上的動點， f pf 何時最大？若存在四個點使得 f pf =150，則橢圓的離心率的取值1 2 1 2范圍是什么？3在橢圓和雙曲線中，焦點 f pf 與 f pf 的函數(shù)關(guān)系分別是什么？是怎么得到的？1 2 1 24 在拋物線 y 2 =2 px 中， ab 是焦點弦，則 x x , y y 分別是定值，分別是多少？如果 ab 只是一般的1 2 1 2經(jīng)過拋物線對稱軸上一定點，則 x x ,

2、y y 還是定值嗎？1 2 1 25你知道學(xué)案貼吧嗎？請在學(xué)案貼吧寫出你在本節(jié)學(xué)習(xí)中的收獲思維訓(xùn)練一、高考真題再現(xiàn)1.已知拋物線 y2=2 px ( p 0) 的焦點為點 f ，過點 f 且斜率為 k (k 0) 的直線 l 交拋物線于點 a ，b ，66第 5 講尖子班教師版2 22 2()1 2若 af =4 fb ，則 k =（ ）a 1b 3c33d43【解析】 d2.直線 2 ax +by =1 與圓 x2+y2=1 相交于 a ， b 兩點（其中 a ， b 是實數(shù)），且 aob 是直角三角形（ o 是坐標(biāo)原點），則點 p ( a ，b ) 與點 (0 ，1) 之間距離的最大值為（

3、 ）a 2 +1 【解析】 ab2 c 2d 2 -13.（2013 福建 3）雙曲線x 24-y2=1 的頂點到漸進線的距離等于（ ）a2 4b5 5c2 5 4 5d5 5【解析】 cy4.x2（2013 浙江 9）如圖，f ，f 是橢圓 c :21 2 1+y 2 =1 與雙曲線 c 4的公共焦點，a ，b 分別是 c ，c 在第二、四象限的公共點若1 2af1of2bx四邊形 af bf 為矩形，則 c 的離心率是（ ） 1 2 2a 2b 3c32d62【解析】 d5.（2013 重慶 7）已知圓 c : (x-2)+(y-3)=1，圓c : (x-3)+(y-4)=9，m 、n 分

4、別是圓 c 、1 2 1c 上的動點， p 為 x 軸上的動點，則 pm + pn 的最小值為（ ）2a 5 2 -4b 17 -1c 6 -2 2d 17【解析】 a6.（2013 福建 14 ）橢圓 g:x 2 y 2+ =1 a b 0 的左右焦點分別為 f ，f ，焦距為 2c ，若直線 a 2 b 2y = 3(x +c)與橢圓g的一個交點 m 滿足 mf f =2mf f ，則該橢圓的離心率等于_1 2 2 1【解析】3 -17.（湖北文、理科 10）如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點 p 處進入以月球球心 f 為一個焦點的橢圓軌道 i繞月飛行，之

5、后衛(wèi)星在 p 點第二次變軌進入仍以 f 為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行，最終衛(wèi)星在點 p 第三次變軌進入以 f 為圓心的圓形軌道pf第 5 講尖子班教師版67() ()1122 ) ()()【解析】 繞月飛行，若用 2c 和 2c 分別表示橢圓軌道和的焦距，用2a 和 2 a 分別表示橢圓軌道和1 2 1 2的長軸的長，給出下列式子： a +c =a +c ；1 1 2 2 a -c =a -c ；1 1 2 2 c a a c ；1 2 1 2c c 1 b 0 聯(lián)立消 y ，可以得到方程： a 2 b 2(a2a2+b2b2)x2+2a2acx +a2(c2-b2b2)=0那么請類比出消掉

6、x ，留下 y 的一個二次方程是 x2 y 2 類比 ax +by +c =0 與雙曲線 - =1 a 0, b 0 聯(lián)立消 y ，可以得到的方程是 a 2 b 2( ) ( )b 2 b 2 +a2 a 2 y 2 +2b 2 bcy +b 2 c 2 -a2 a 2 =0 (a2a2 -b 2 b 2 )x2+2a 2 acx +a 2 (c2+b2 b2 )=0知識縱橫68第 5 講尖子班教師版()( )pa pb，代入上式有 apa pb2 2 2b 2a12 本版塊列出了直線與圓、圓錐曲線的知識網(wǎng)絡(luò)體系，可以作為學(xué)生對自己知識體系的檢驗 老師可以重點講講直線方程不同形式如何選擇及每種

7、形式不能表示的直線（易錯點）、直 線與圓的位置關(guān)系問題的常見處理手法（利用點到弦的距離對應(yīng)的三角形）、結(jié)合知識 回顧回顧總結(jié)圓錐曲線的性質(zhì)與離心率常見求法等補充一個知識點如下：【補充】頂點弦斜率關(guān)系的一個結(jié)論頂點弦問題的提出來源于橢圓與雙曲線的一個重要性質(zhì)：橢圓或雙曲線 e 上的點 p 與它的一對頂點 a 、 b （對于圓，取直徑的兩端點）的連線斜率的乘積kpak 為定值 pb對于橢圓x2 y 2e : + =1 ，取其左右頂點 a -a , 0 ， b a , 0 a2 b 2，那么對于 e 上任意一點 p (x, y )，y y y 2k k = =x +a x -a x 2 -a 2將橢

8、圓方程變形，有 x 2 b 2 ( ) y 2 =b 2 1 - = a 2 -x 2a 2 a 2b2k k =- pa pb 2類似的，我們可以得到對于雙曲線x2 y 2 b 2e : - =1 ，有 k k = ；、 a2 b2 a 2對于圓e : x +y =r ，有 k kpapb=-1頂點弦的結(jié)論可以推廣，橢圓或雙曲線的左、右頂點推廣成任意兩個關(guān)于原點（即圓錐曲線 中心）對稱的點，結(jié)論不變，例子見知識回顧第 5 題例：已知點 p 在雙曲線 x 2 -y 2 =a 2 （ a 0 ）的右支上（ p 與 a 不重合），a ，a 分別為雙曲2 1 2線的左、右頂點，且 a pa =2pa

9、 a ，則 pa a =（ ）2 1 1 2 1 2a 30b 27.5c 25d 22.5【解析】 d；設(shè) pa a =q，則 a pa =2q ，所以 k =tan q， k =tan 3q ；1 2 2 1 pa pa1 2根據(jù)雙曲線頂點弦的性質(zhì)， k k = =1 ， tan qtan3q=1pa pa 2因此 q與 3q互余， q=22.5當(dāng)然如果不借助這個結(jié)論，本題可以用正弦定理、余弦定理或是向量相關(guān)的知識解決 圓錐曲線解答題常常以頂點弦的這個結(jié)論，或其推廣的結(jié)論為幾何背景更多應(yīng)用見后面的 例 9+拓 2第 5 講尖子班教師版6911001 22222關(guān)于點(a，b)對稱關(guān)于點(a

10、，b)對稱傾斜角和斜率位置關(guān)系傾斜角的變化與斜率的變化 重合平行直線截距注意：截距可正、 可負，也可為 0.相交垂直點斜式：yy k(xx )0 0 斜截式：ykxb直線方程的形式兩直線的交點yy xx 兩點式： y y x x 2 1 2 1x y截距式： 1 a b一般式：axbyc0注意各種形式的轉(zhuǎn) 化和運用范圍.距離點到直線的距離：d| ax by c | | c c |，平行線間距離：d a b a b圓圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程直線與圓的位置關(guān)系兩圓的位置關(guān)系相交、相切、相離外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含曲線與方程橢圓軌跡方程的求法：直譯法、相關(guān)點法、參數(shù)法、交軌法 定義及標(biāo)準(zhǔn)方程圓錐

11、曲線雙曲線拋物線性質(zhì)離心率范圍、對稱性、頂點、焦點、長軸（實軸）、 短軸（虛軸）、漸近線（雙曲線）、準(zhǔn)線（只 要求拋物線）中心對稱點(x ，y ) 1 1點(2ax ，2by ) 1 1曲線 f (x，y)曲線 f (2ax，2by)對稱性問題軸對稱點(x ，y )與點(x ，y )關(guān)于1 1 2 2直線 axbyc0 對稱特殊對稱軸xyc0中點在線上、垂直直接代入法70第 5 講尖子班教師版228 6(強化精練考點 1：弦長與面積【鋪墊】兩根差絕對值公式“橢圓x 24+y =1 ，弦 ab 的端點滿足 aob =90， oab 面積的取值范圍”這道題里的面積表達式你怎么處理？“橢圓x 24+

12、y =1 ，弦 ab 的經(jīng)過(1,0)，求 oab 面積的取值范圍”這道題里的面積表達式怎么處理？ “設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點，a (2，0)、b(0，1)是它的兩個頂點，直線y =kx (k 0)與 ab 相交于點 d ，與橢圓相交于 表達式又該怎么處理e ，f兩點求四邊形 aebf 面積的最大值”這道題里的面積【解析】 略x 2 y 2【例1】 （2013 新課標(biāo) ii 20）平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，過橢圓 m : + =1 （ a b 0 ）右焦點的a 2 b 2直線 x +y - 3 =0 交1m 于 a ， b 兩點， p 為 ab 的中點，且 op 的斜率為 21 求 m 的方程2

13、 c ，d 為 m 上兩點，若四邊形 acbd 的對角線 cd ab ，求四邊形 acbd 面積的最大值【解析】 m 的方程為x2 y 2+ =1 6 3 最大值為 3【備選】（2013 新課標(biāo) i 20）已知圓 m :(x +1)2+y2=1 ，圓 n :(x -1)2+y2=9 ，動圓 p 與圓 m 外切并與圓 n 內(nèi)切，圓心 p 的軌跡為曲線 c 1 求 c 的方程；2 l 是與圓 p ，圓 m 都相切的一條直線，l 與曲線 c 交于 a ，b 兩點，當(dāng)圓 p 的半徑最長時， 求 ab 【解析】 x 2 y 2+ =1 x -2 4 3) ab =2 3 或 ab =考點 2：垂直的表達

14、187【鋪墊】若拋物線 y2=4 x 的一條弦 ab ，使得 aob =90，則 ab 與 x 軸的交點是 若點 a(x , y1 1), b(x , y22)，已知 x1x ，則 ab 中垂線與 x 軸交點的橫坐標(biāo)是 2第 5 講尖子班教師版71 x2( )（用關(guān)于 x , y , x , y 的式子表達） 1 1 2 2x 2 橢圓 +y42=1 ，弦 ab 的端點滿足 aob =90，則弦 ab 長度的取值范圍是 【解析】 (4,0)；x +x y +y y -y 1 2 - 2 1 2 12 2 x -x2 14； 5 ， 5 5x2 y 2 3【例2】 （2010 西城一模 18）橢

15、圓 c ： + =1(a b 0) 的離心率為 ，長軸端點與短軸端點a 2 b 2 2間的距離為 5 1 求橢圓 c 的方程；2 設(shè)過點 d (0,4 )的直線 l 與橢圓 c 交于 e , f 兩點， o 為坐標(biāo)原點，若 oef 為直角三角形， 求直線 l 的斜率【解析】 橢圓的方程為x24+y2=1 k = 19 或 k = 5 【拓展】 a (0，1)是橢圓 +ya 22=1(a1)的一個頂點，是否存在以 a 為直角頂點的內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形？若存在，求出共有幾個；若不存在，請說明理由【解析】綜上所述 1 3 滿足題意的三角形有 3 個考點 3：軌跡與方程x2 y 2 1【鋪墊】

16、橢圓 + =1 ，被一族斜率為 - 的直線所截，弦中點軌跡方程為 18 2 3 在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，點 b 與點 a (-1，1)關(guān)于原點o對稱， p 是動點，且直線1ap 與 bp 的斜率之積等于 - ，則動點 p 的軌跡方程是3【解析】 x -3 y =0 (-3xb 0) 的兩個焦點分別為 f -1，0 )，f (1，0)，a2 b24 1 且橢圓 c 經(jīng)過點 p ， 3 3 1 求橢圓 c 的離心率；2 設(shè)過點 a (0，2)的直線 l 與橢圓 c 交于 m 、 n 兩點，點 q 是線段 mn 上的點，且2aq2=1am2+1an2，求點 q 的軌跡方程【解析】 橢圓 c 的

17、離心率2e = 2 點 q 的軌跡方程為10 y -2-3 x2 6 6 1 3 5 =18 ，其中 x - , y , 2 - 考點 4：定值問題【例4】 （2012 江西理 20）已知三點 o(0,0) ， a( -2,1) ， b (2,1) ，曲線 c 上任意一點 m ( x, y ) 滿足 ma +mb =om (oa +ob ) +2 1 求曲線 c 的方程；2 動點 q ( x , y )(-2 x 2) 在曲線 c 上，曲線 c 在點 q 處的切線為 l 問：是否存在定點 0 0 0p (0 ，t )(t 0 ，即 k232設(shè)點 m , n 的坐標(biāo)分別為( x , y ) ,

18、( x , y ) ，則 1 1 2 2y =kx +4 , y =kx +4 ， 1 1 2 2-16k 24 x +x = , x x =1 +2k 2 1 +2 k2y +2 3 x y +2 = 1 x ，點 g 的坐標(biāo)為 , 1 x y +21 1因為直線 an 和直線 ag 的斜率分別為 k = 2 , k =- 1x 3 x2 1y -2 y +2k -k = 2 + 1x 3 x2 1kx +2 kx +6 4 2( x +x )= 2 + 1 = k + 1 2x 3x 3 x x2 1 1 2-16 k2 = k + =03 24，即kan11 +2 k=k 故 a , g

19、 , n 三點共線 agx2 y 2【例5】 （2012 福建 19）如圖，橢圓 e : + =1 a b 0 的左焦點為 f ，右焦點為 f ，離心率a2 b 21e = 過 f 的直線交橢圓于 a 、 b 兩點，且 abf 的周2長為 81 求橢圓 e 的方程2 設(shè)動直線 l : y =kx +m 與橢圓 e 有且只有一個公共點 p ，且與直線 x =4 相交于點 q 試探究：在坐標(biāo)平面 內(nèi)是否存在定點 m ，使得以 pq 為直徑的圓恒過點 m ？yaf f1o2x若存在，求出點 m 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由b【解析】 橢圓 e 的方程是x2 y 2+ =1.4 3 存在定點 m (1,

20、 0) ，使得以 pq 為直徑的圓恒過點 m 考點 6：拋物線備案【例6】 （2013 廣東 20）已知拋物線 c 的頂點為原點，其焦點 f (0，c)（c0 ）到直線 l : x -y -2 =074第 5 講尖子班教師版93 9x2 +4 y 2 =4,( )的距離為3 22設(shè) p 為直線 l 上的點，過點 p 作拋物線 c 的兩條切線 pa ， pb ，其中 a ， b為切點1 求拋物線 c 的方程；2 當(dāng)點 p (x，y )為直線 l 上的定點時，求直線 ab 的方程；0 0 當(dāng)點 p 在直線 l 上移動時，求 af bf 的最小值 【解析】 拋物線 c 的方程為x2=4 y 直線 a

21、b 的方程為 最小值為 2x x -2 y -2 y =0 0 0考點 7：偏幾何類型題【鋪墊】（2010北京理19）在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，點 b 與點 a (-1,1)關(guān)于原點 o 對稱， p 是動點，且直線1ap 與 bp 的斜率之積等于 - 31 求動點 p 的軌跡方程；2 設(shè)直線 ap 和 bp 分別與直線 x =3 交于點 m ， n ，問：是否存在點 p 使得 pab 與 pmn 的面積相等？若存在，求出點 p 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【解析】 動點 p 的軌跡方程為x2+3 y2=4( x 1) 存在點 p 使得 dpab 與 dpmn 的面積相等，此時點 p 的坐標(biāo)為

22、5 33 ， x 2【鋪墊】（2013北京理19）已知 a, b, c 是橢圓 w : +y42=1 上的三個點， o 是坐標(biāo)原點1 當(dāng)點 b 是 w 的右頂點，且四邊形 oabc 為菱形時，求此菱形的面積；2 當(dāng)點 b 不是 w 的頂點時，判斷四邊形 oabc 是否可能為菱形，并說明理由【解析】 3 四邊形 oabc 不可能為菱形理由如下：假設(shè)四邊形 oabc 為菱形因 為 點 b 不 是 w 的 頂 點 ， 且 直 線 ac 不 過 原 點 ， 所 以 可 設(shè) ac 的 方 程 為 y =kx +m (k0, m 0 )由 消去 y 并整理得y =kx +m(1+4k2)x2+8kmx +

23、4m 2 -4 =0 設(shè)a x , y ， c x , y 1 1 22)，則第 5 講尖子班教師版75，2 2 ()1 21 2cx 2 y 2 q m ， m1 22222x +x 4km y +y x +x m 1 2 =- 1 2 =k 1 2 +m =2 1 +4 k 2 2 2 1 +4 k2所以 ac 的中點為 4km mm - , 1 +4 k 1 +4 k因為 m 為 ac 和 ob 的交點，所以直線 ob 的斜率為 1 因為，所以 ac 與 ob 不垂直k - -1 4 k -14k所以 oabc 不是菱形，與假設(shè)矛盾所以當(dāng)點 b 不是 w 的頂點時，四邊形 oabc 不可

24、能是菱形x2 y 2【例7】 已知橢圓 e : + =1 a b 0 ， f , f 分別為左、右焦點， a , a 分別為左、右頂點，長軸a2 b 2a 2a a 的長為 4，直線 x =- （其中 c = a 1 22-b2）與 x 軸交點為 m ，而且 ma : a f =2 :1 1 1 11 求橢圓的方程，2 若直線 l : x =m (m1)，p為 l 上動點，使得 f pf 最大的點 p 記為 q ，求 q 點坐標(biāo)（用 1 1 1 2m 表示）【解析】 橢圓方程為 + =1 4 3( 2 -1 )，m1【備選】（2008 四川理科 21）x 2 y 2 2設(shè)橢圓 + =1 ( a

25、 b 0) 的左、右焦點分別為 f 、f ，離心率 e = ，右準(zhǔn)線為 l ，m 、 a 2 b 2 2n 是 l 上的兩個動點， f m f n =0 1 2y若 | f m |=|f n |=2 5 ，求 a 、 b 的值；1 2證明：當(dāng) | mn | 取最小值時， f m +f n 與 f f 共線1 2 1 2【解析】 a =2 ， b = 2 m f m f n =(3c ，y ) (c ，y ) =0 ， y y =-3c 0 1 2 1 2 1 2f1o fxmn = y -y 122=y 21+y22-2 y y -2y y -2 y y =-4y y =12c 1 2 1 2

26、 1 2 1 22n當(dāng)且僅當(dāng)y =-y = 3c 或 y =-y = 3c 時，取等號此時 mn 取最 1 2 2 1小值 2 3c 此時f m +f n =(3c ， 3c ) +( c ， 1 23c) =(4 c ，0) =2 f f 1 2 f m +f n 與 f f 共線1 2 1 2另解： f m f n =0 ， (3c ，y ) (c ，y ) =0 ， y y =-3c 1 2 1 2 1 276第 5 講尖子班教師版12 12設(shè)1mf ， nf 的斜率分別為 k ， - k由y =k ( x +c ) x =2c y =3kc1，由1y =- ( x -c ) kx =2

27、c y =-2ckmn = y -y =c 3k + 1 21k 2 3c 當(dāng)且僅當(dāng)3k =1 1 3即 k 2 = ， k = 時取等號 k 3 3即當(dāng) mn 最小時，3k = ，3此時 c f m +f n =(3c ，3kc) + c ，- =(3c ， 3c ) +( c ， k 3c ) =(4c ，0) =2 f f1 2 f m +f n 與 f f 共線1 2 1 2頭腦風(fēng)暴 直線過整點的探索類問題，需要對每個選項單獨分析，選取合適的反例或進行簡單的推理證明整點問題在北京 2012 年高考第 8 題中出現(xiàn)過，是創(chuàng)新題的一種，三輪復(fù)習(xí)的創(chuàng)新 題會有整點問題板塊，會對整理與取整函數(shù)

28、的問題進行進一步研究（2011 安徽 15）在平面直角坐標(biāo)系中，如果 x 與 y 都是整數(shù)，就稱點 (x，y )為整點，下列命 題中正確的是_（寫出所有正確命題的編號）1 存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點2 如果 k 與 b 都是無理數(shù)，則直線 y =kx +b 不經(jīng)過任何整點3 直線 l 經(jīng)過無窮多個整點，當(dāng)且僅當(dāng) l 經(jīng)過兩個不同的整點4 直線 y =kx +b 經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是： k 與 b 都是有理數(shù)5 存在恰經(jīng)過一個整點的直線【解析】 ；正確，如 y = 2 x + 3 就不經(jīng)過任何整點；錯誤，如 y = 2 x + 2 經(jīng)過整點 ( -1，0) ；

29、正確，設(shè) l ： ax +by +c =0 ，當(dāng) l 經(jīng)過兩個不同的整點 ( x ，y ) ， ( x ，y ) 時，1 1 2 2有 ax +by +c =0 ， ax +by +c =0 ，1 1 2 2于是 a( mx + nx ) + b( my + ny ) +( m+ n) c=0，當(dāng) m +n =1 ，即取 n =1 -m ， m z 時，點 1 2 1 2( mx +nx ，my +ny ) 在直線 l 上，且為整點故此時 l 經(jīng)過無窮多個整點反之一定成立 1 2 1 2錯誤，直線 y =kx +b 經(jīng)過無窮多個整點的必要條件是 k 與 b 都是有理數(shù)，但此條件不充分如1y =

30、 不經(jīng)過任何整點正確，如 y = 2 x 恰經(jīng)過一個整點 (0 ，0) 2第 5 講尖子班教師版77( )()11實戰(zhàn)演練【演練1】（2013 新課標(biāo) ix 2 y 210 ）已知橢圓 + =1 （ a b 0 ）的右焦點為 f 3 ，0 ，過點 f 的直a2 b2線交橢圓于 a 、 b 兩點若 ab 的中點坐標(biāo)為 (1，-1)，則e的方程為（ ） x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 x2 y 2a + =1 b + =1 c + =1 d + 45 36 36 27 27 18 18 9=1 設(shè)拋物線 c : y2=2 px （ p 0 ）的焦點為 f ，點 m 在 c 上， m

31、f =5 若以 mf 為直徑的圓過點 (0，2)，則c 的方程為（ ）a y 2 =4 x 或 y 2 =8 xb y 2 =2 x 或 y 2 =8 xc y2=4 x 或 y2=16 xd y2=2 x 或 y2=16 x【解析】 d；cx2 y 2【演練2】（2013 浙江 21）如圖，點 p 0 ，-1 是橢圓 c : + =1(a b 0) 的一個頂點， c 的長軸a2 b 2是圓 c : x2 +y 2 =4 的直徑l ，l 是過點 p 且互相垂直的兩條直線，其中 l 交圓 c 于 a ，b 2 1 2 1 2兩點， l 交橢圓 c 于另一點 d2 1 求橢圓 c 的方程；1 求

32、abd 面積取最大值時直線 l 的方程1yl2dl1boxpa【解析】 x24+y2=1 所求直線 l 的方程為 y =1102x -1【演練3】已知橢圓 c 的兩個焦點分別為 f ( -1，0) 、 f (1，0) ，短軸的兩個端點分別為 b 、 b1 2 1 2 若 f b b 為等邊三角形，求橢圓 c 的方程；1 1 278第 5 講尖子班教師版221，212 若橢圓 c 的短軸長為 2 ，過點 f 的直線 l 與橢圓 c 相交于 p、q 兩點，且 f p f q ，求直2 1 1線 l 的方程【解析】 x 2 y 2+ =1 4 13 3 直線 l 的方程為 x + 7 y -1 =0

33、 或 x - 7 y -1 =0 x y 2【演練4】如圖，已知橢圓 2 + 2 =1(ab0) 的離心率為 ，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點a b 2f ，f 為頂點的三角形的周長為 4 (2+1)一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè) p 為 1 2該雙曲線上異于頂點的任一點，直線 pf 和 pf 與橢圓的交點分別為 a ，b 和 c ，d 1 21 求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2 設(shè)直線 pf 、 pf 的斜率分別為 k 、 k ，證明 k k =1 ；1 2 1 2 1 2 是否存在常數(shù) l，使得 ab + cd =l ab cd 恒成立？若存在，求 l的值；若不存在， 請說明理由ypa

34、cb f o f2xd【解析】 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x 2 y 2+ =18 4雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x 2 y 2- =1 4 4 設(shè) a (x，y )，b(x，y )，p(x，y )， 1 1 2 2 0 0則y y k = 0 k = 0x +2 x -2 0 0因為點 p 在雙曲線x2-y2=4 上，所以 x0-y 20=4 因此k k =1 2y y y 2 0 0 = 0x +2 x -2 x 2 -4 0 0 0=1，即k k =1 1 2第 5 講尖子班教師版791 22121 102 0 2 11342 34 22 存在 l =3 28，使 ab + cd =l ab cd 恒成立x 2 y 2 3【演練5】（2013 山東 22）橢圓 c : + =1（ a b 0 ）的左、右焦點分別是 f 、f ，離心率為 ，a 2 b 2 2過 f 且垂直于 x 軸的直線被橢圓 c 截得的線段長為1 11 求橢圓 c 的方程；2 點 p 是橢圓 c 上除長軸端點外的任一點，連接 pf ， pf ，設(shè) f pf 的角平分線 pm1 2 1 2交 c 的長軸于點 m (m，0)，求m 的取值范圍； 在的條件下，過點 p 作斜率為 k 的直線 l ，使得 l 與橢圓 c 有且只有一個公共點設(shè)直線1 1pf ， pf 的