線性代數(shù)試題及答案

1、線性代數(shù)習(xí)題和答案第一部分選擇題（共28分）單項選擇題（本大題共 14小題，每小題 2分，共28分）在每小題列岀的四個選項中只有一個是符合題目 要求的，請將其代碼填在題后的括號內(nèi)。錯選或未選均無分。1.設(shè)行列式ana21a12a22=m,a13a23ana21=nA. m+nC. n- m1002.設(shè)矩陣A= 020，則A-1譬r.等(00 3aiiai2 ai3 詠十,、則行列式等于()a21 a 22 a23B. - (m+n)D. m - n)10 031A. 0020 0 11 0 03C. 0101 0 0210A0B.0102A001310021D.0030013.設(shè)矩陣21 ,

2、A*是A的伴隨矩陣，則A沖位于（1, 2）的元素是（A.吒C. 24. 設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC，則必有（A. A =0C. A 0 時 B=C5. 已知3X 4矩陣A的行向量組線性無關(guān)，則秩（At）A. 1C. 36. 設(shè)兩個向量組A. 有不全為B. 有不全為C. 有不全為D. 有不全為a 1，0的數(shù)入 0的數(shù)入 0的數(shù)入 0的數(shù)入-+a 2,1 ,1 ,1 ,1,，a s 和 B2，入2，入2，入1， B 2，B s使入 S使入1（a s使入1（a入2,，入1+ 卩 2 3 2+ -7. 設(shè)矩陣A的秩為r,則A中（A.所有r- 1階子式都不為0C.至少有一個r階子式不等于08.

3、 設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，卩 s 3 s=0A. n 1+ n 2是Ax=0的一個解B. 6D. )B.D. |A| 等于(B. 2D. 4 s均線性相關(guān)，則()1 a 1+ 入 2 a 2 + 入 sa s=0 和口入 1 3 1+ 入 2 3 2+ 入 s 3 s=0 + + 入 s ( a s+ 3 s)=0+ + 入 s ( a s- 3 s)=0s 使入 1 a 1+入 2 a 2+ + 入 s a s=0 和口卩 1 31+ B 1) + 入 2 ( a 2+ B 2) B 1) + 入 2 ( a 2- B 2) 的數(shù)卩1，卩2，卩1-s和不全為0n 1,r- 1階子式全

4、為0B.所有D.所有r階子式都不為0n 2是其任意2個解，則下列結(jié)論錯誤的是（11B. n什 n 2是Ax=b的一個解22C. n 1- n 2是 Ax=O 的一個解D.2 n 1- n 2 是 Ax=b 的一個解9. 設(shè)n階方陣A不可逆，則必有()A. 秩(A) 3)階方陣，下列陳述中正確的是()A. 如存在數(shù)入和向量 a使A a =入口，則a是A的屬于特征值入的特征向量B. 如存在數(shù)入和非零向量a,使(入E- A)a =0，則入是A的特征值C. A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量D. 如入1,入2,入3是A的3個互不相同的特征值，a 1， a 2， a 3依次是A的屬于入1，入2,入

5、3的特征向量,則a 1, a 2, a 3有可能線性相關(guān)11. 設(shè)入o是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于入o的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)為k，則必有()A. k 3B. k312. 設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是()A.|A|2 必為 1B.|A | 必為 1C.A- 1=AtD.A的行(列)向量組是正交單位向量組13. 設(shè)A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，B=CtAC .則()A. A與B相似B. A與B不等價C. A與B有相同的特征值D. A與B合同14.下列矩陣中是正定矩陣的為()2334A.B.3426100111C. 023D.120035102第二部分非選擇題(共72分)二、填空

6、題(本大題共 10小題，每小題 2分，共20分)不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)錯填或不填均無分。1 1 115. 356925361 116.設(shè) A =1 11 11，B= 13.貝H A+2B=.417. 設(shè)A=(aj)3 x 3 ,|A|=2 , A j表示|A|中元素aj的代數(shù)余子式 (i,j=1,2,3 ),則2 2 2(anA21+a12A22+a13A23) +(a21 A 21 +a22A 22+a23A 23) +(a31A21+a32A22+a33A23) =.18. 設(shè)向量(2, -3 , 5)與向量(-4 , 6, a)線性相關(guān)，則a=_.19. 設(shè)A是3X

7、 4矩陣，其秩為3，若n 1, n 2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，則它的通解為 20. 設(shè)A是m x n矩陣，A的秩為r(n)，則齊次線性方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系中含有解的個數(shù)為.21. 設(shè)向量a、3的長度依次為 2和3,則向量a + B與a - 3的內(nèi)積(a +3 , a - 3 ) =22. 設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個特征值-1和4,則另一特征值為010623.設(shè)矩陣A= 133，已知210821是它的一個特征向量，則a所對應(yīng)的特征值為24.設(shè)實二次型f(X1,X2,X3,X4,X5)的秩為4,正慣性指數(shù)為 3,則其規(guī)范形為三、計算題(本大題共7小題，每

8、小題6分，共42分)試判斷a 4是否為a 1， a 2,1210242629.設(shè)矩陣A =21023333求：（1 ）秩（A）;（2） A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。030.設(shè)矩陣A= 2231. 試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形2 2 2f（X1 ,X2,X3）=X 2x2 3x3 4x1 x2 4x 1x3 4x2x3， 并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32. 設(shè)方陣A滿足A3=0，試證明E- A可逆，且（E- A）33. 設(shè)n 0是非齊次線性方程組 Ax=b的一個特解，（1）n 1= n 0+E 1， n 2= n + E 2 均是 Ax=b

9、 的解；（2）n 0， n 1， n 2線性無關(guān)。答案：一、單項選擇題（本大題共I. D2.B6.D7.CII. A12.B二、填空題（本大題共15. 633716.13 714小題,3.B8.A13.D10空，每空每小題2分，共4.D9.A14.C2分，共20分）-1 = E+A + A2.E 2是其導(dǎo)岀組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系.試證明28分)5.C10.B17. 418. -019. n 1+c( n2-n1)(或 n2+c( n2-n1)，c 為任意常數(shù)20. n- r21. -51 2 025.設(shè) A =3 40 ，B =231.求(1) abt；(2)|4A|.2401 213112

10、26.試計算行亍列式52103141153342327.設(shè)矩陣A= 110 ，求矩邛車B使其滿足矩陣方程AB=A+2B1232130128.給定向量組a 1 =03a 2=， a 3=202，1a 4=43419a 3的線性組合；若是，則求岀組合系數(shù)263 .42 23 4 的全部特征值為 1，1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D，使T-1AT=D.4 322. t223. 12 2 2 224. Z z2 z3 z4三、計算題（本大題共 7小題，每小題6分，共42分）1 20225.解(1) ABt=34031 2112408 6=18 10310(2) |4A|=43|A|=64|A|,而3

11、11251115134111312011001015335530120|A|=3402.121所以 |4A|=64 ( - 2) =- 12826.解5 1111 1 1511= 62055 05506 2301040.5527.解 AB=A+2B 即(A-2E)B = A,而2213143(A-2E) -1：=110153121164143423所以B=(A-2E)-“A =153110164123386=29621292130 05321301 130128.解一022401123419013112所以a 4=2a 1 +a 2+ a 3，組合系數(shù)為（2, 1, 1)解二考慮a 4=X1

12、a 1+X2 a 2+X3 a 3,3x30即 X1 3X22x2 2x33X1 4X2 方程組有唯一解(14X39.2, 1, 1) T,組合系數(shù)為(2, 1, 1) 29.解對矩陣A施行初等行變換12 10 2000 62A032 820963212102121020328303283=B000620003100021700000（1）秩（B)=3，所以秩(A)=秩（B）=3.（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關(guān)組，故 A的第1、2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、

13、5列也是）30.解A的屬于特征值入=1的2個線性無關(guān)的特征向量為 E 1= （2，- 1，0） T， E 2= （ 2，0， 1） T.2.5/52.5/15經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得 n 1=5/5 ， n 2= 4、一5/150.5/311/3E 3=2 ，經(jīng)單位化得n 3=2/3 .22/32-5/52、.15/151/3所求正交矩陣為T=.5/54 5/152/30.5/32/31 00對角矩陣D= 010 .0 082,5/52 15/151/3（也可取T=0.5/32/ 3 .)5/545/152/3f（X 1， X2，X3)= ( X1+2X2-222X3)- 2x2 +4X2X3-7X3

14、2=(X1+2x：2- 2X3 ) 2-2 ( X2-X3)2- 5X3：y1X1 2X2 2X3X1 y 12y2設(shè)y2X2X3，即X2y2 y3X3y3入=-8的一個特征向量為31.解y3X3因其系數(shù)矩陣C= 02 011可逆，故此線性變換滿秩。經(jīng)此變換即得f(X 1, X2, X3)的標(biāo)準(zhǔn)形y12- 2y22- 5y32 .四、證明題(本大題共2小題，每小題5分，共10分)32. 證 由于(E- A)( E+A + A2) =E- A3=E，所以E-A可逆，且(E- A)-1= E+A+A2 .33. 證 由假設(shè) A n 0=b，A E 1=0，A E 2=0.(1) A n 1=A ( n 0+