江蘇省2019高考數(shù)學一輪復習突破140必備專題07直線與圓、圓與圓、阿波羅尼斯圓(隱形圓)問題學案

1、專題 07 直線與圓、圓與圓、阿波羅尼斯圓（隱形圓）問題知識點歸納：一、 圓的標準方程 ： (xa)2( y b) 2r 2 ，圓心 (a, b) ，半徑 r圓的一般方程 ： x2y2dxey f0當 d 2e 24f0時，才能表示圓，圓心(d ,e ) ，半徑 rd 2e 24f4224當 d 2e 24f0，表示一個點 (d ,e )422當 d 2e 24f0，不表示任何圖形4二、直線與圓的位置關系設圓的標準方程：(x a)2( yb)2r 2 ，直線方程：axby c0判別方法 1：設圓心到直線的距離為d ，若 d r ，直線與圓相離；若dr ，直線與圓相切；若 d r ，直線與圓相交

2、；判別方法 2：將直線與圓聯(lián)立方程組消元得到一個關于x 或者 y 的一元二次方程， 若0 ，直線與圓相交；若0 ，直線與圓相切；若0 ，直線與圓相離；三、圓與圓的位置關系設圓的方程 c1 : x 2y2d1 xe1 yf1 0 ， c2 : x2y2d 2 x e2 yf2 0圓 c1,c2 的圓心距為 d ， c1 的半徑為 r1 ， c2 的半徑為 r2若 dr1r2 ，兩圓相外離；若dr1r2 ，兩圓相外切；若 r1 r2d r1 r2 ，兩圓相交；若 dr1r2 ，兩圓相內(nèi)切；若dr1r2 ，兩圓相內(nèi)含；四、圓系方程 設 直 線 ax by c0 與 圓 x2y2dx eyf 0 相

3、交 ， 則 過 兩 交 點 的 圓 的 方 程 為x2y 2dx ey f( ax byc ) 0設圓 c1 : x2y2d1xe1 y f10，圓 c2 : x2y2d2 x e2 y f2 0 相交，則過兩交點的圓的方1 / 8程為 x2y2d1xe1 yf1（ x2y2d 2 xe2 yf2） 0注：1時，表示過兩交點的圓；1 時，表示過兩交點的直線方程，即圓與圓的相交弦所在的直線方程以 a(a, b) ， b(c, d) 為直徑端點的圓的方程(xa)( xc)( yb)( yd )0五、阿波羅尼斯圓動點 p 到兩定點 a, b 的距離的比值為一定值，即papb ，且1的點的軌跡是圓 .

4、當1 時，動點 p 的軌跡為線段ab 的垂直平分線，將其稱之為阿波羅尼斯圓江蘇高考中每年都會有圓的試題，填空題和解答題甚至應用題中都有可能出現(xiàn)，考點也不外乎上述的知識點總結，下面我們通過實例來看看每個知識點的考法。例 1、（ 2013 江蘇卷 17）如圖，在平面直角坐標系xoy 中，點 a(0,3) ，直線 l : y2x 4。設圓 c 的半徑1l上。為 ，圓心在（ 1）若圓心 c 也在直線 yx 1上，過點 a 作圓 c 的切線，求切線的方程；（ 2）若圓 c 上存在點 m ，使 ma 2mo ，求圓心 c 的橫坐標 a 的取值范圍 .yalox考點： 圓的切線方程，阿波羅尼斯圓，圓與圓的位

5、置關系2 / 8解：（ 1）由y2x4(3,2) ，圓 c 的半徑為 1yx1得圓心 c 為圓 c 的方程為： ( x3)2( y2) 21顯然切線的斜率一定存在，設所求圓 c 的切線方程為 ykx3 ，即 kxy 30 3k 2 31 3 1k21 2k(4k3)0k0或者k3k 21k4所求圓 c 的切線方程為：y 3或者 y3x 3 即 y3 或者 3x 4 y1204（ 2）圓 c 的圓心在在直線l : y2x4 上，所以，設圓心c 為 (a,2a4)則圓 c 的方程為： ( xa) 2y(2a4) 21又 ma2mo 設 m為（x,y ）則x2( y3) 22x2y 2 整理得： x

6、2( y 1)24 設為圓 d 點 m 應該既在圓 c 上又在圓 d 上，即圓 c 和圓 d 有交點 2 1a2(2a4) ( 1) 22 1由 52880得x raa由 5212a0得 012ax5終上所述， a 的取值范圍為：0,125例 2 、（ 2016年 江 蘇 高 考18 ） 如 圖 ， 在 平 面 直 角 坐 標 系 xoy 中 ， 已 知 以 m 為 圓 心 的 圓 m ：x2y212x14 y600 及其上一點 a 2,4 y（ 1）設圓 n 與 x 軸相切，與圓 m 外切，且圓心n 在直線 x6 上，求圓 n 的標準方m程；a（ 2）設平行于 oa 的直線 l 與圓 m 相

7、交于 b,c 兩點，且 bcoa ，求直線 l 的方程；ox（ 3）設點 tt,0滿足： 存在圓 m 上的兩點 p 和 q ，使得 tatptq ，求實數(shù) t的取值范圍考點：圓的標準方程，直線與圓相交、相切解：（ 1）因為 n 在直線 x6 上，設 n 6, n ，因為與 x 軸相切，則圓n 為22x 6y nn2 ，3 / 8n 0 ，又圓 n 與圓 m 外切，圓 m ： x622，則 7n n 5 ，解得 n1 ，x 725即圓 n 的標準方程為x2y2611（ 2）由題意得 oa2 5， koa2設 l : y2 x12 7b5 bb ，則圓心 m 到直線 l 的距離 d1，22522則

8、 bc 2 52d 22 255 b， bc2 5 ，即 2 255 b2 5 ，55解得 b 5 或 b15，即 l ： y2x5 或 y2x15 例 3、（ 2017 江蘇高考 13）在平面直角坐標系xoy 中， a( 12,0)， b(0,6) ，點 p 在圓 o : x2y250 上，若 pa pb20 ，則點 p 的橫坐標的取值范圍是考點： 圓的軌跡，圓與圓相交交點解：設 p(x, y) ，則 pa(12x,y) ， pb( x,6 y)因為 pa pb20 ，所以x(12x)y( y6)20 ，化簡得 ( x6)2( y 3)265故 p 點的軌跡表示為圓 ( x6) 2( y3)

9、 265 上的點和園內(nèi)的所有點圓 o : x2y 250 與圓 ( x6) 2( y3) 265 相交的交點橫坐標通過聯(lián)立兩圓的方程解得交點橫坐標為x5 或 x1結合圖像可得點p 的橫坐標范圍為52,1例 4、（2017 六市高三二模18）一緝私艇巡航至距領海邊界線l （一條南北方向的直線）3.8 海里的 a 處，發(fā)現(xiàn)在其北偏東30 方向相距 4 海里的 b 處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊 已知緝私艇的最大航速4 / 8是走私船最大航速的3 倍假設緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行（ 1）若走私船沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向，使得用最短時間在領海內(nèi)攔截成功；（參考數(shù)據(jù)：s

10、in17 3，335.7446 ）6（ 2）問：無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領海內(nèi)成功攔截？并說明理由考點（ 2）阿波羅尼斯圓北l領海 公海解：（ 1）設緝私艇在 c 處與走私船相遇（如圖1），b依題意， ac3bc 30在 abc 中，由正弦定理得，asin bacbc sinabcsin1203ac36因為 sin173 ，所以bac176從而緝私艇應向北偏東47方向追擊。在abc 中，由余弦定理得，bccos120 42bc2ac2，解得 bc1331.686158 bc4又 b 到邊界線 l 的距離為3.84sin301.8 a圖 1因為 1.686151.8 ，所以能在領

11、海上成功攔截走私船（ 2）如圖2，以 a 為原點，正北方向所在的直線為y 軸建立平面直角坐標系xoy 則 b 2，23 ，設緝私艇在p( x ，y) 處（緝私艇恰好截住走私船的位置）與走私船相遇，則pa3，即pbx2y2yl3( x 2) 22領海 公海y2 322整理得，x9y939，b444所以點 p( x ，y) 的軌跡是以點9 ，93為圓心， 3為半徑的圓60442因為圓心9 ，93到領海邊界線 l ： x3.8的距離為 1.55 ，大于圓半徑 3a圖2x，442所以緝私艇能在領海內(nèi)截住走私船答：（ 1）緝私艇應向北偏東 47 方向追擊；（ 2）緝私艇總能在領海內(nèi)成功攔截走私船1、（

12、2017 鹽城高三三模 13）已知 a, b,c , d 四點共面， bc2 ， ab2ac220 ，cd3ca ，則 | bd |5 / 8的最大值為考點： 圓的軌跡2、（ 2017 蘇北四市高三上學期期中17）如圖，在平面直角坐標系xoy 中，已知圓 c : x2y24 x0 及點a( 1,0) ， b(1,2) （ 1）若直線 l 平行于 ab ，與圓 c 相交于 m ， n 兩點， mnab ，求直線 l 的方程；（ 2）在圓 c 上是否存在點p ，使得 pa2pb212 ？若存在，求點p 的個數(shù)；若不存在，說明理由考點： 直線與圓位置關系，圓的軌跡，圓與圓位置關系解：（ 1）圓 c

13、的標準方程為 ( x2)2y 24，所以圓心 c(2,0) ，半徑為 2 因為 lab ， a( 1,0) ， b(1,2) ，所以直線 l的斜率為2011( 1)設直線 l 的方程為 xym 0則圓心 c 到直線 l 的距離為 d20m2 m22因為 mnab222222 ，而 cm 2d 2( mn ) 2 ，所以 4(2m)2222解得 m0 或 m4，故直線 l的方程為 xy0 或 xy406 / 83、（ 2016 南通高三一模11）在平面直角坐標系xoy 中，點 a(1,0), b(4,0) . 若直線 xym0 上存在點 p ，使得 pa1 pb , 則實數(shù) m 的取值范圍是2考點： 阿波羅尼斯圓，直線與圓的位置關系解： 設 p(x, y) ，因為 pa1 pb ，所以( x1)2y21( x4)2y2化簡得22x2y24，直線與圓有交點， d r ，即 m2 ，所以 m22 ,2224、（2016揚州高三期中 19）已知直線 x 2 y20 與圓 c : x2y24ym0 相交，截得的弦長為2 5 5（ 1）求圓 c 的方程；（ 2）過原點 o 作圓 c 的兩條切線，與拋物線yx2 相交于 m 、 n 兩點（異于原點） 證明：直線mn 與圓 c 相切；（ 3）若拋物線yx2 上任意三個不同的點p 、 q