高中數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何 3.2.3 直線與平面的夾角 3.2.4 二面角及其度量學案 新人教B版選修2-1(2021年最新整理)

1、高中數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何 3.2.3 直線與平面的夾角 3.2.4 二面角及其度量學案 新人教b版選修2-1高中數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何 3.2.3 直線與平面的夾角 3.2.4 二面角及其度量學案 新人教b版選修2-1 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對文中內容進行仔細校對，但是難免會有疏漏的地方，但是任然希望（高中數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何 3.2.3 直線與平面的夾角 3.2.4 二面角及其度量學案 新人教b版選修2-1）的內容能夠給您的工作和學習帶來便利。同時也真誠的希望收到您的建

2、議和反饋，這將是我們進步的源泉，前進的動力。本文可編輯可修改，如果覺得對您有幫助請收藏以便隨時查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績進步，以下為高中數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何 3.2.3 直線與平面的夾角 3.2.4 二面角及其度量學案 新人教b版選修2-1的全部內容。253。2.3直線與平面的夾角3.2。4二面角及其度量1理解直線與平面所成角的概念(重點）2會用向量法求線線、線面、面面的夾角（重點、難點)3正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、面面角的關系(易錯點）基礎初探教材整理1直線與平面的夾角閱讀教材p106p107“例”以上部分內容，完成下列問題1直線與平面所成的角2最小角定理1已知向量m,n分

3、別是直線l與平面的方向向量、法向量，若cosm，n,則l與所成的角為_【解析】設l與所成的角為，則sin cos來度量二面角.l.（2）設m1,m2，則m1,m2與二面角。l.大小相等或互補1在正方體abcd。a1b1c1d1中，二面角a1bc。a的余弦值為(）a。bcd【解析】易知a1ba為二面角a1bc。a的平面角，cosa1ba。【答案】c2已知abc和bcd均為邊長為a的等邊三角形，且ada，則二面角a。bc。d的大小為（) 【導學號：15460077】a30 b45 c60 d90【解析】如圖，取bc的中點為e，連接ae，de,由題意得aebc，debc，且aedea,又ada，ae

4、d60,即二面角abc。d的大小為60。【答案】c質疑手記預習完成后,請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型利用空間角的定義求空間角在長方體abcd.a1b1c1d1中，ab4,bc3，aa15，試求b1d1與平面a1bcd1所成角的正弦值【精彩點撥】作出b1點在平面a1bcd1內的射影，從而得到b1d1在平面a1bcd1內的射影【自主解答】作b1ea1b，垂足為e,又因為a1d1平面abb1a1,a1d1b1e。由b1ea1b及b1ea1d1得b1e平面a1bcd1，所以,d1e就是d1b1在平面a1bcd1內的射影,從而

5、b1d1e就是d1b1與平面a1bcd1所成的角在rtb1d1e中，有sinb1d1e.d1b15，又sa1bb1a1beb1a1b1bb1，a1b，eb1，sinb1d1e。1作直線與平面夾角的一般方法:在直線上找一點，通過這個點作平面的垂線，從而確定射影，找到要求的角其中關鍵是作平面的垂線，此方法簡稱為“一作，二證，三計算”2用定義求二面角的步驟：(1）作（找）出二面角的平面角（作二面角時多用三垂線定理);(2）證明所作平面角即為所求二面角的平面角;（3）解三角形求角再練一題1如圖3。2。24，abcd是正方形,v是平面abcd外一點,且vavbvcab，求二面角a。vbc的余弦值圖3。2

6、.24【解】取vb的中點為e，連接ae，ce.vaabbcvc，aevb，cevb。aec是二面角a。vbc的平面角設aba，連接ac，在aec中,aeeca，aca，由余弦定理可知cosaec，所求二面角a.vb.c的余弦值為.利用空間向量求線面角如圖32。25所示，三棱錐p。abc中，pa平面abc，abac，paacab,n為ab上一點，ab4an，m，s分別為pb，bc的中點圖3.2。25(1)證明：cmsn；(2）求sn與平面cmn所成角的大小【精彩點撥】(1）怎樣建立坐標系？(2）向量與滿足什么關系時有cmsn成立？(3）的坐標是多少？平面cmn的一個法向量怎么求？與平面cmn的法

7、向量的夾角就是sn與平面cmn所成的角嗎？【自主解答】設pa1，以a為原點,射線ab，ac,ap分別為x軸，y軸，z軸正向建立空間直角坐標系（如圖)則p(0,0，1)，c（0,1，0)，b(2，0，0），又anab,m，s分別為pb，bc的中點，n，m，s，（1)，,0，因此cmsn。(2)，設a（x，y，z）為平面cmn的一個法向量,a0,a0.則取y1，得a(2，1，2)因為cosa，。a，。所以sn與平面cmn所成的角為.1本題中直線的方向向量與平面的法向量a的夾角并不是所求線面角,它們的關系是sin |cos,a|.2若直線l與平面的夾角為，利用法向量計算的步驟如下：再練一題2設在直三

8、棱柱abc。a1b1c1中,abacaa12，bac90，e，f依次為c1c，bc的中點試求a1b與平面aef的夾角的正弦值圖3.2.26【解】以a為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則a(0,0,0),a1(0，0，2），b(2,0,0)，e（0，2,1），f（1，1，0)，所以(2,0，2)，（0,2，1），(1，1,0）設平面aef的一個法向量為n(a，b,c），由得令a1，可得n（1,1，2)設a1b與平面aef的夾角為，所以sin |cosn,|，即a1b與平面aef的夾角的正弦值為.探究共研型求二面角探究1如何利用向量求二面角的大小?【提示】當空間直角坐標系容易建立(有特殊的位置

9、關系）時,用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，經過簡單的運算即可求出，有時不易判斷兩法向量的夾角的大小就是二面角的大小（相等或互補）,但我們可以根據(jù)圖形觀察得到結論，因為二面角是鈍二面角還是銳二面角一般是明顯的探究2在底面為平行四邊形的四棱錐pabcd中，abac，pa平面abcd，且paab，e是pd的中點，求平面eac與平面abcd的夾角【提示】法一如圖,以a為原點,分別以ac，ab，ap所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系設paaba,acb，連接bd與ac交于點o，取ad中點f，則c(b,0，0），b(0，a,0），.d（b，a,0)，p（0,0，a），e

10、,o，（b,0,0）0,，0.。eof為平面eac與平面abcd的夾角（或補角)cos，故sinn，m.即二面角da1c。e的正弦值為。用向量法求二面角的大小，可以避免作出二面角的平面角這一難點，轉化為計算兩半平面法向量的夾角問題，具體求解步驟如下：(1）建立空間直角坐標系;（2）分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量；（3)求兩個法向量的夾角；（4）判斷所求二面角的平面角是銳角還是鈍角；(5)確定二面角的大小再練一題3如圖3.2。28，在空間直角坐標系cxyz中，ab是圓o的直徑，acbc2,dceb，dceb，taneab，求二面角d。ae。b的余弦值圖3。228【解】由題可知ab4，

11、taneab，可得cdeb1，d（0,0,1），e(0,2，1)，a（2，0,0），b(0，2,0），則（2，2，0),(0,0，1),（2，0,1），（0,2，0），設平面dae的法向量為n1(x1，y1,z1），則即y10,令x11，則z12,平面dae的一個法向量為n1(1，0,2)設平面abe的法向量為n2（x2，y2，z2）,則即z20,令x21,則y21，平面abe的一個法向量為n2（1，1,0）,cosn1，n2。由圖可以判斷二面角d。ae。b為鈍角，二面角d。ae。b的余弦值為.構建體系1正方體abcd。a1b1c1d1中，o為側面bcc1b1的中心，則ao與平面abcd所成角

12、的正弦值為(）a。bcd【解析】取bc中點m，連接am，om，易知oam即為ao與平面abcd所成的角，可求得sinoam。【答案】c2在正方體abcd。a1b1c1d1中，e是c1c的中點，則直線be與平面b1bd所成的角的正弦值為()a bc d【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則d（0，0,0），b（2，2，0)，b1（2,2,2),e(0,2，1)(2,2，0)，（0，0，2），（2，0，1）設平面b1bd的法向量為n（x，y，z）n，n，令y1，則n(1，1，0）cosn，設直線be與平面b1bd所成角為,則sin |cosn，.【答案】b3在一個二面角的兩個

13、面內都和二面角的棱垂直的兩個向量分別為(0，1，3)，（2,2，4),則這個二面角的余弦值為_。 【導學號：15460078】【解析】兩向量夾角與二面角相等或互補，則二面角的余弦值為.【答案】4.如圖3.229,pa平面abc,acbc，paac1，bc，求二面角apb.c的余弦值為_圖3.2.29【解析】如圖建立空間直角坐標系，則a(0,0，0),b(,1,0）,c（0，1,0），p(0,0，1）,(0,0,1)，（，1,0）,(，0,0），(0,1,1）設平面pab的法向量為m(x，y，z），則即解得令x1，則m（1，0）設平面pbc的法向量為n(x，y，z）,則即解得令y1，則n(0，1

14、,1），cosm,n。故二面角apb。c的余弦值為?！敬鸢浮?.如圖3.230，在三棱錐pabq中,pb平面abq，babpbq，d,c，e，f分別是aq，bq，ap，bp的中點，aq2bd,pd與eq交于點g，pc與fq交于點h，連接gh。圖3230(1）求證：abgh；(2）求二面角dgh。e的余弦值【解】（1)證明：因為d,c，e，f分別是aq，bq，ap,bp的中點，所以efab，dcab.所以efdc。又因為ef平面pcd，dc平面pcd,所以ef平面pcd.又因為ef平面efq，平面efq平面pcdgh，所以efgh。又因為efab,所以abgh。（2）在abq中，aq2bd，ad

15、dq,所以abq90。又因為pb平面abq，所以ba，bq，bp兩兩垂直以點b為坐標原點,分別以ba，bq，bp所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系設babpbq2，則e(1，0，1)，f(0，0,1)，q（0,2,0),d（1，1,0)，c(0，1，0），p（0,0,2)，所以(1，2,1），(0，2，1),（1，1，2），(0，1，2)設平面efq的一個法向量為m（x1，y1，z1)，由m0,m0，得取y11,得m(0,1,2）設平面pdc的一個法向量為n(x2,y2，z2)，由n0，n0，得取z21，得n（0,2，1)所以cosm，n。因為二面角d.ghe為鈍角，所以二

16、面角d。gh。e的余弦值為.我還有這些不足:(1）_（2)_我的課下提升方案：(1)_(2)_學業(yè)分層測評（建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、選擇題1若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120，則直線l與平面所成的角等于(）a120b60c30 d以上均錯【解析】設直線l與平面所成的角為，則sin |cos 120.又090，30.【答案】c2若直線l與平面所成角為,直線a在平面內，且與直線l異面，則直線l與直線a所成角的取值范圍是(）a。 bc。 d【解析】由最小角定理知直線l與直線a所成的最小角為,又l，a為異面直線,則所成角的最大值為.【答案】d3正方形abcd所在平面外一點p，pa

17、平面abcd，若paab，則平面pab與平面pcd的夾角為（) 【導學號：15460079】a30 b45c60 d90【解析】如圖所示，建立空間直角坐標系，設paab1。則a(0,0，0）,d(0,1,0)，p(0,0,1）于是（0,1，0)取pd中點為e，則e，易知是平面pab的法向量，是平面pcd的法向量，cos。異面直線ab與cd所成角的余弦值為。10四棱錐pabcd的底面是正方形，pd底面abcd,點e在棱pb上（1)求證:平面aec平面pdb；(2）當pdab且e為pb的中點時，求ae與平面pdb所成的角的大小【解】如圖，以d為原點建立空間直角坐標系dxyz，設aba，pdh，則a

18、（a,0，0），b（a，a,0），c(0,a,0)，d（0,0,0),p（0,0，h），(1）（a，a,0),(0,0，h)，（a,a，0)，0,0，acdp，acdb，又dpdbd,ac平面pdb，又ac平面aec，平面aec平面pdb。（2)當pdab且e為pb的中點時,p(0，0,a)，e，設acbdo，o，連接oe,由（1)知ac平面pdb于o,aeo為ae與平面pdb所成的角，cosaeo，aeo45，即ae與平面pdb所成的角的大小為45.能力提升1已知在長方體abcd。a1b1c1d1中，abbc1，aa12，e是側棱bb1的中點,則直線ae與平面a1ed1所成角的大小為（)a6

19、0 b90c45 d以上都不對【解析】以點d為原點,分別以da,dc,dd1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系,如圖由題意知,a1(1,0，2），e（1,1,1）,d1(0，0,2），a（1，0，0），所以(0,1，1)，（1,1,1），(0,1，1）設平面a1ed1的一個法向量為n（x,y，z），則得令z1，得y1，x0，所以n（0,1，1），cosn,1。所以n，180.所以直線ae與平面a1ed1所成的角為90?！敬鸢浮縝2。在三棱柱abca1b1c1中，cacc12cb,則直線bc1與直線ab1夾角的余弦值為(）圖3。2。33a。 bc。 d【解析】不妨設cacc12cb2，則（2,2,1)，(0,