兩角和差的正弦余弦和正切公式

1、第五節(jié) 兩角和與差的正弦、 余弦和正切公式,1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式,【即時應(yīng)用】 (1)判斷下列式子的正誤.(請在括號內(nèi)打“”或“”) cos15=cos(45-30)=cos45-cos30( ) sin15=sin(45-30)=cos45sin30-sin45cos30 ( ) cos15=cos(60-45)=cos60cos45+ sin60sin45 ( ) cos15=cos(60-45)=cos60cos45-sin60sin45 ( ),(2)計算sin72cos18+cos72sin18=_. (3)計算cos72cos12+sin72sin12=_.,【解析

2、】(1)cos15=cos(45-30)=cos45cos30+ sin45sin30,故錯誤；sin15=sin(45-30)= sin45cos30-cos45sin30，故錯誤;正確，cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45,故錯誤. (2)原式=sin(72+18)=sin90=1. (3)原式=cos(72-12)=cos60= . 答案：(1) (2)1 (3),2.二倍角的正弦、余弦、正切公式,【即時應(yīng)用】 (1)思考：二倍角公式tan2= 中對任意的都成立 嗎？ 提示：不一定,當(dāng)k+ 2k+ (kZ)時，公式成 立. (2) sin15cos

3、15的值等于_. 【解析】 sin15cos15= 2sin15cos15 = sin30= 答案：,(3)若tan= 則tan2=_. 【解析】 答案：,熱點考向 1 三角函數(shù)的化簡 【方法點睛】三角函數(shù)化簡的技巧、方法和要求 (1)尋求角與角之間的關(guān)系，化非特殊角為特殊角； (2)正確靈活地運用公式，通過三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數(shù)值； (3)一些常規(guī)技巧：“1”的代換、正切化弦、和積互化、異角化同角等,(4)三角函數(shù)的化簡常用方法是：異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，切化弦，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化 (5)化簡要求：能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種

4、數(shù)盡量少；使項數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).,【提醒】公式的逆用、變形用十分重要，特別是1+cos2= 2cos2,1-cos2=2sin2,形式相似，容易出錯，應(yīng)用時要加強“目標意識”.,【例1】化簡下列各式： 【解題指南】(1)若注意到化簡式是開平方根和2是的二 倍，是 的二倍，以及其范圍不難找到解題的突破口； (2)由于分子是一個平方差，分母可通過二倍角公式化簡，若 注意到這兩大特征，不難得到解題的切入點.,【規(guī)范解答】(1)因為 2, 所以 =|cos|=cos, 又因為 所以 所以，原式=,答案：(1) (2)1,【互動探究】把本例中的(2)改為 【解

5、析】原式= 答案：,【反思感悟】1.在二倍角公式中，兩個角的倍數(shù)關(guān)系，不僅 限于2是的二倍，要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關(guān)系， 同時還要注意2, +, -三個角的內(nèi)在聯(lián)系，cos2= sin( 2)=2sin( )cos( )是常用的三角變換. 2.化簡題一定要找準解題的突破口或切入點，其中的降次、消 元、切化弦、異名化同名、異角化同角是常用的化簡技巧. 3.常用的公式變形：,【變式備選】不查表求sin220+cos280+ sin20cos80 的值. 【解析】sin220+cos280+ sin20cos80 = (1cos40)+ (1+cos160)+ sin20cos80 =1 co

6、s40+ cos160+ sin20cos(60+20) =1 cos40+ (cos120cos40sin120sin40)+ sin20(cos60cos20sin60sin20),熱點考向 2 三角函數(shù)的求值 【方法點睛】三角函數(shù)的求值主要有兩種類型，即給角求值，給值求值. (1)給角求值的關(guān)鍵是正確地選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)相消，從而化為特殊角的三角函數(shù). (2)給值求值的關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用，同時也要注意變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達到解題的目的.,【例2】若 的值. 【解題指

7、南】本題可以利用 的變換，同時要注意 x的范圍和符號，求出sinx和cosx代入原式求解；也可以化簡 原式后得到二倍角與和角的三角函數(shù)，利用 的變換，再利用兩角差的余弦和二倍角公式求解.,【規(guī)范解答】方法一：由,【反思感悟】1.此題若將 的左邊展開成 再求cosx,sinx的值就很繁瑣，把 作為整體，并注意角的變換 這樣就可運用二 倍角公式.化難為易，化繁為簡是三角恒等變換的關(guān)鍵. 2.解答有條件限制的求值問題時，要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù) 的角與已知條件的角的聯(lián)系，一般方法是拼角與拆角.,【變式訓(xùn)練】(2012山東高考)若 , sin2= 則sin=( ) 【解析】選D.由于 ，則2 ,，所以

8、cos20. 因為sin2= 所以 又cos2=1-2sin2， 所以,【變式備選】已知 求sin(+)的值. 【解析】 又,sin(+)=-sin+(+),熱點考向 3 三角函數(shù)的給值求角 【方法點睛】1.三角函數(shù)的給值求角問題的一般思路 (1)求出該角的某一三角函數(shù)值； (2)確定角的范圍； (3)根據(jù)角的范圍寫出角.,2.三角函數(shù)給值求角時應(yīng)注意的問題 求角的某一三角函數(shù)值時,盡量選擇在該角所在范圍內(nèi)是單調(diào)的函數(shù)，這樣,由三角函數(shù)值才可以唯一確定角. (1)若角的范圍是(0, ),選正、余弦皆可; (2)若角的范圍是(0,),選余弦較好; (3)若角的范圍為 則選正弦.,【例3】已知co

9、s= (1)求tan2的值； (2)求. 【解題指南】(1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出sin,tan,再求出tan2；(2)把寫成-(-)，根據(jù)已知條件求出的正弦，-的正弦，求出cos，根據(jù)范圍確定角.,【規(guī)范解答】(1)由,(2)由 由=-(-),得cos=cos-(-) =coscos(-)+sinsin(-),【反思感悟】根據(jù)三角函數(shù)值求角時，一定要先確定角的范圍.另外，也可運用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，在等式sinBcosAsinAcosB兩端同除以cosAcosB得tanB=tanA等變化技巧也經(jīng)常用到.,【變式訓(xùn)練】已知 、均為銳 角，求+的值. 【解析】,熱點考向 4 三角函數(shù)的綜

10、合應(yīng)用 【方法點睛】 三角函數(shù)公式和三角函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系 (1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往滲透在研究三角函數(shù)性質(zhì)中.需要利用這些公式,先把函數(shù)解析式化為y=Asin(x+)的形式,再進一步探討定義域、值域和最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等性質(zhì). (2)注意特殊角三角函數(shù)值、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用，主要考查基本運算能力,【例4】已知函數(shù)f(x)=2sin(-x)cosx. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間 上的最大值和最小值. 【解題指南】先利用誘導(dǎo)公式和倍角公式進行恒等變換，再求三角函數(shù)的性質(zhì).,【規(guī)范解答】(1)f(x)=2sin(-x

11、)cosx=2sinxcosx=sin2x, 函數(shù)f(x)的最小正周期為. (2)由 f(x)在區(qū)間 上的最大值為1，最小值為,【反思感悟】利用三角函數(shù)公式進行三角恒等變形，要求熟練掌握公式和變換技巧，強化運算能力.以基本三角函數(shù)的性質(zhì)為基礎(chǔ)求y=Asin(x+)的性質(zhì)，有時給出角的范圍時要注意x+的范圍的變化.,【變式訓(xùn)練】(2013三明模擬)已知函數(shù)f(x)= (1)求f(x)的最小正周期. (2)若將f(x)的圖象向右平移 個單位,得到函數(shù)g(x)的圖 象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0,上的最大值和最小值.,【解析】(1)f(x)= sin(x+ )+sin x= cos x+sin x= 2

12、( sin x+ cos x)=2sin(x+ ), 所以f(x)的最小正周期為2. (2)將f(x)的圖象向右平移 個單位,得到函數(shù)g(x)的圖象. g(x)=f(x- )=2sin(x- )+ =2sin(x+ ), x0,時，x+ , 當(dāng)x+ = ，即x= 時，sin(x+ )=1,g(x)取得最大值2. 當(dāng)x+ = ,即x=時,sin(x+ )=- ,g(x)取得最小值-1.,【變式備選】已知函數(shù) (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸方程; (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間 上的值域.,【解析】(1)f(x)=cos(2x- )+2sin(x- )sin(x+ ) = cos2x+

13、 sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx) = cos2x+ sin2x+sin2x-cos2x = cos2x+ sin2x-cos2x=sin(2x- ), 周期T= =, 由 函數(shù)圖象的對稱軸方程為 (kZ).,(2) f(x)=sin(2x- )在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減， 當(dāng)x= 時，f(x)取最大值1. 又 當(dāng) 時，f(x)取最小值 函數(shù)f(x)在區(qū)間 上的值域為,1.(2011福建高考)若tan=3，則 的值等于( ) (A)2(B)3(C)4(D)6 【解析】選D. 的值 等于6.,2.(2011福建高考)若(0， )，且sin2+cos2= 則 tan的值等于( ) 【解析】選D.sin2+cos2= sin2+(1-2sin2)= sin2= 又(0, ),si