立體幾何綜合大題20道(理)[教學(xué)培訓(xùn)]

1、立體幾何綜合大題（理科）40道及答案1、四棱錐中,底面, .()求證:平面；()若側(cè)棱上的點(diǎn)滿足,求三棱錐的體積。【答案】()證明:因?yàn)锽C=CD，即為等腰三角形，又,故.因?yàn)榈酌?，所?從而與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，故平面。()解：.由底面知. 由得三棱錐的高為,故：2、如圖，四棱錐中，四邊形為矩形，為等腰三角形，平面 平面，且，分別為和的中點(diǎn)（）證明：平面；（）證明：平面平面；（）求四棱錐的體積【答案】（）證明：如圖，連結(jié)四邊形為矩形且是的中點(diǎn)也是的中點(diǎn) 又是的中點(diǎn)， 平面，平面，所以平面； （）證明：平面 平面，平面 平面，所以平面 平面，又平面，所以 又，是相交直線，所以面 又平面，

2、平面平面； （）取中點(diǎn)為連結(jié),為等腰直角三角形，所以，因?yàn)槊婷媲颐婷妫?，面，即為四棱錐的高 由得又四棱錐的體積 考點(diǎn)：空間中線面的位置關(guān)系、空間幾何體的體積.3、如圖，在四棱錐中， ，.（）證明：；（）若求四棱錐的體積【答案】（）設(shè)，連接EF， 平分為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為的中位線. ，. ()底面四邊形的面積記為; 考點(diǎn)：1.線面平行的證明；2.空間幾何體的體積計(jì)算.4、如圖，在四棱錐中，底面為菱形，其中，為的中點(diǎn)(1) 求證：；(2) 若平面平面,且為的中點(diǎn)，求四棱錐的體積【答案】 （1），為中點(diǎn)， 連，在中，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，, ,平面,平面 , 平面. （2）連接,作于. ,平面,

3、平面平面ABCD,平面平面ABCD， , , . , 又,. 在菱形中，, . 5、如圖，是矩形中邊上的點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿邊折至位置，且平面平面. 求證：平面平面； 求四棱錐的體積. 【答案】(1) 證明：由題可知，(2) ，則. 6、已知四棱錐中，是正方形，E是的中點(diǎn)，(1)若，求 PC與面AC所成的角(2) 求證：平面(3) 求證：平面PBC平面PCD【答案】平面，是直線在平面上的射影，是直線和平面所成的角。又，四邊形是正方形，；直線和平面所成的角為（2）連接AC交BD與O,連接EO, E、O分別為PA、AC的中點(diǎn)EOPC PC平面EBD,EO平面EBD PC平面EBD（3）PD平面A

4、BCD, BC平面ABCD，PDBC，ABCD為正方形 BCCD，PDCD=D, PD，CD平面PCDBC平面PCD又 BC平面PBC平面PBC平面PCD7、在邊長為的正方形中，分別為的中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，現(xiàn)沿折疊，使三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為，構(gòu)成一個三棱錐（1）請判斷與平面的位置關(guān)系，并給出證明；（2）證明平面；（3）求四棱錐的體積【答案】（1）平行平面 證明：由題意可知點(diǎn)在折疊前后都分別是的中點(diǎn)（折疊后兩點(diǎn)重合）所以平行因?yàn)椋云叫衅矫?（2）證明：由題意可知的關(guān)系在折疊前后都沒有改變.因?yàn)樵谡郫B前，由于折疊后，點(diǎn)，所以 因?yàn)?，所以平?（3） .8、在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形

5、，平面，、分別為、的中點(diǎn)，且.(1)求證：平面平面；(2)求三棱錐與四棱錐的體積之比【答案】(1)證明：平面，平面，又平面，為正方形，DC.，平面.在中，因?yàn)榉謩e為、的中點(diǎn)，平面.又平面，平面平面.(2)不妨設(shè)，為正方形，又平面，所以.由于平面，且，所以即為點(diǎn)到平面的距離，三棱錐2.所以.9、如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，(1)求四棱錐S-ABCD的體積;(2)求證：(3)求SC與底面ABCD所成角的正切值?！敬鸢浮浚?）解： （2）證明：又 （3）解：連結(jié)AC,則就是SC與底面ABCD所成的角。在三角形SCA中，SA=1,AC=, 10.如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點(diǎn)在

6、側(cè)棱上，。 （I）證明：是側(cè)棱的中點(diǎn)；求二面角的大小。 【答案】分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則。（）設(shè)，則又故，即，解得，所以是側(cè)棱的中點(diǎn)。（）由（）得，又，設(shè)分別是平面、的法向量，則且，即且分別令得，即， 二面角的大小。 11、如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，DE平面BCC1（）證明：AB=AC （）設(shè)二面角A-BD-C為60,求B1C與平面BCD所成的角的大小 【答案】（）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz。設(shè)B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），

7、則（1，0，2c）,E（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由DE平面知DEBC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。（）設(shè)平面BCD的法向量則又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故 令x=1, 則y=1, z=,=(1,1, )。又平面的法向量=（0，1，0）由二面角為60知，=60，故 ，求得 于是 ， ， 所以與平面所成的角為3012、如圖，平面，分別為的中點(diǎn)（I）證明：平面；（II）求與平面所成角的正弦值【答案】（）證明：連接， 在中，分別是的中點(diǎn)，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD（）在中，所以 而DC平面ABC，所以平面ABC 而平

8、面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE由（）知四邊形DCQP是平行四邊形，所以 所以平面ABE， 所以直線AD在平面ABE內(nèi)的射影是AP， 所以直線AD與平面ABE所成角是 在中， ，所以13、如圖，四棱錐的底面是正方形，點(diǎn)E在棱PB上.（）求證：平面； （）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時，求AE與平面PDB所成的角的大小.【答案】（）四邊形ABCD是正方形，ACBD，PDAC，AC平面PDB，平面.（）設(shè)ACBD=O，連接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO為AE與平面PDB所的角， O，E分別為DB、PB的中點(diǎn)， OE/PD，又， OE底面ABCD，OEAO， 在RtAOE中

9、， ，即AE與平面PDB所成的角的大小為.14、如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角；（3）求點(diǎn)到平面的距離【答案】（1）證：依題設(shè)，在以為直徑的球面上，則.因?yàn)槠矫?，則，又，所以平面，則，因此有平面，所以平面平面.（）設(shè)平面與交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以平面，則，由（1）知，平面，則MN是PN在平面ABM上的射影，所以 就是與平面所成的角，且 所求角為（3）因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，則O點(diǎn)到平面ABM的距離等于D點(diǎn)到平面ABM距離的一半，由（1）知，平面于M，則|DM|就是D點(diǎn)到平面ABM距離.因?yàn)樵赗tPAD中，所以為中點(diǎn)，

10、則O點(diǎn)到平面ABM的距離等于。15、如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求證：；（II）設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、，求證： （III）求二面角的大小?！敬鸢浮浚↖）因?yàn)槠矫鍭BEF平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面ABEF平面ABCD=AB，所以BC平面ABEF.所以BCEF.因?yàn)锳BE為等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45，又因?yàn)锳EF=45,所以FEB=90，即EFBE.因?yàn)锽C平面ABCD, BE平面BCE,BCBE=B所以（II）取BE的中點(diǎn)N,連結(jié)CN,MN,則MNPC PMNC為平行四邊形,所以PMCN. CN在平面BCE內(nèi),P

11、M不在平面BCE內(nèi), PM平面BCE. （III）由EAAB,平面ABEF平面ABCD,易知EA平面ABCD.作FGAB,交BA的延長線于G,則FGEA.從而FG平面ABCD,作GHBD于H,連結(jié)FH,則由三垂線定理知BDFH. FHG為二面角F-BD-A的平面角. FA=FE,AEF=45,AEF=90, FAG=45.設(shè)AB=1,則AE=1,AF=,則在RtBGH中, GBH=45,BG=AB+AG=1+=, 在RtFGH中, , 二面角的大小為16、如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD,SDADa,點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且DEa(01). ()求證：對任意的（0、1），都

12、有ACBE:()若二面角C-AE-D的大小為600C，求的值?！敬鸢浮浚ǎ┳C發(fā)1：連接BD，由底面是正方形可得ACBD。 SD平面，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂線定理得ACBE.(II)SD平面ABCD，平面， SDCD. 又底面是正方形， DD，又AD=D，CD平面SAD。過點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)做DFAE于F，連接CF，則CFAE， 故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60在RtADE中，AD=, DE= ， AE= 。于是，DF=在RtCDF中，由cot60=得， 即=3 ， 解得=17、如圖3，在正三棱柱中，AB=4, ,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DEE.

13、（）證明：平面平面; （）求直線AD和平面所成角的正弦值。【答案】（）如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面.又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,所以DE平面.又DE 平面，故平面平面. （） 過點(diǎn)A作AF垂直于點(diǎn),連接DF.由（）知，平面平面，所以AF平面,故是直線AD和平面所成的角。 因?yàn)镈E，所以DEAC.而ABC是邊長為4的正三角形，于是AD=，AE=4-CE=4-=3.又因?yàn)?，所以E= = 4, , .即直線AD和平面所成角的正弦值為 .18、如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求證：；（II）設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、，求證： （III）求二面角的大

14、小。【答案】（I）因?yàn)槠矫鍭BEF平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面ABEF平面ABCD=AB，所以BC平面ABEF.所以BCEF.因?yàn)锳BE為等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45，又因?yàn)锳EF=45,所以FEB=90，即EFBE.因?yàn)锽C平面ABCD, BE平面BCE,BCBE=B所以 （II）取BE的中點(diǎn)N,連結(jié)CN,MN,則MNPC PMNC為平行四邊形,所以PMCN. CN在平面BCE內(nèi),PM不在平面BCE內(nèi), PM平面BCE. （III）由EAAB,平面ABEF平面ABCD,易知EA平面ABCD.作FGAB,交BA的延長線于G,則FGEA.從而FG平面ABCD,作

15、GHBD于H,連結(jié)FH,則由三垂線定理知BDFH. FHG為二面角F-BD-A的平面角. FA=FE,AEF=45,AEF=90, FAG=45.設(shè)AB=1,則AE=1,AF=,則在RtBGH中, GBH=45,BG=AB+AG=1+=, 在RtFGH中, , 二面角的大小為19、如題（18）圖，在五面體中，四邊形為平行四邊形，平面，求：（）直線到平面的距離；（）二面角的平面角的正切值【答案】（）平面, AB到面的距離等于點(diǎn)A到面的距離，過點(diǎn)A作于G，因，故；又平面，由三垂線定理可知，故，知，所以AG為所求直線AB到面的距離。在中，由平面，得AD，從而在中，。即直線到平面的距離為。（）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE，所以，為二面角的平面角，記為.在中, ,由得,從而在中, ,故所以二面角的平面角的正切值為.20、如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD(1)證明：PABD；(2) 設(shè)PDAD，求二面角APBC的余弦值【答案】(1