(2021年整理)2002川大高等代數(shù)及答案

1、2002川大高等代數(shù)及答案2002川大高等代數(shù)及答案 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對，但是難免會有疏漏的地方，但是任然希望（2002川大高等代數(shù)及答案）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來便利。同時也真誠的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動力。本文可編輯可修改，如果覺得對您有幫助請收藏以便隨時查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績進(jìn)步，以下為2002川大高等代數(shù)及答案的全部內(nèi)容。8四川大學(xué)2002年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試題一、(本題滿分24分,每小題8分)解答下列各題。1.證明多項(xiàng)式

2、在有理數(shù)域上不可約。證明：由、，又 有的可能值為，帶入驗(yàn)證有、 故不含有理根，則只能分解為二次多項(xiàng)式和三次多項(xiàng)式的乘積有或得方程和,兩方程無解故在有理數(shù)域上不可約2.設(shè)為階方陣且。其中為階單位矩陣。證明： ，其中表示矩陣的秩。證明：即 由，得有的列向量全部是方程的解，有即 由、，得3。設(shè)維線性空間上的線性變換滿足：.證明：可逆，其中為恒等變換.證明：取的一組基令在這組基下的矩陣為，有在這組基下的矩陣為由，得的特征值為、，有的特征值為、,則故可逆,則可逆二（本題滿分12分）設(shè)，求。解: ,有的特征值為、當(dāng)時，有基礎(chǔ)解系有個向量構(gòu)成，當(dāng)時，有基礎(chǔ)解系有個向量構(gòu)成,令可逆矩陣,有,有有三、（本題滿分

3、12分）設(shè)是數(shù)域上的三維線性空間。證明：不存在的線性變換使得在的兩組基下的矩陣分別為:和證明：反證法，設(shè)存在這樣的矩陣、.由、為同一線性變換在的兩組基下的矩陣，則有,有的特征值為、當(dāng)時，有故特征值對應(yīng)個線性無關(guān)的特征值向量 ，有的特征值為、當(dāng)時，有故特征值對應(yīng)個特征向量 由、與矛盾，則假設(shè)矛盾故不存在的線性變換使得在的兩組基下的矩陣分別、四（本題滿分12分)設(shè)是三次方程的根,求的值。解：令、,的首項(xiàng)為，有有取、，有，有 取、，有，,有 取,有，有 由、,得、有由方程根與系數(shù)的關(guān)系得，、得五、（本題滿分16分）利用正交變換將實(shí)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。并寫出相應(yīng)的正交變換和標(biāo)準(zhǔn)形。解：二次型矩陣為的特征

4、值為、當(dāng)時，有基礎(chǔ)解系由個線性無關(guān)的向量構(gòu)成，、當(dāng)時，有基礎(chǔ)解系由個向量構(gòu)成,把、正交化、令正交矩陣,有，即有六、(本題滿分12分，每小題6分）設(shè)、是階實(shí)正交矩陣， 為矩陣的特征根的重數(shù).證明：（1）的充要條件是為偶數(shù)。（2）的秩。證明:(1)由、是階實(shí)正交矩陣，有，則為實(shí)正交矩陣由，得，即由與對應(yīng)相同的特征值，則與對應(yīng)相同的特征值有實(shí)正交矩陣的特征值只能是和故，則有的充要條件是為偶數(shù)（2）由可逆，有七、（本題滿分12分）設(shè)為歐氏空間的一組線性無關(guān)向量，而和為的兩組正交向量組。假設(shè)對每個，和均可以由線性表出.證明：存在個實(shí)數(shù)使得 。證明：令取兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基、有、則、為對角矩陣，有、為對角矩陣，有 則為正交矩陣由和均可以由線性表出，有 、則、為上三角矩