高考數(shù)學(xué)試題分類匯編——三角函數(shù)

1、2009 年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編三角函數(shù)三角函數(shù) 一、選擇題 1.(2009 年廣東卷文)已知中，的對邊分別為若abccba, ,a b c 且，則 62ac75a o b a.2 b4 c4 d2 32 362 【答案】a 【解析】 0000000 26 sinsin75sin(3045 )sin30 cos45sin45 cos30 4 a 由可知,所以,62ac 0 75c 0 30b 1 sin 2 b 由正弦定理得,故選 a 261 sin2 sin226 4 a bb a 2.(2009 年廣東卷文)函數(shù)是 1) 4 (cos2 2 xy a最小正周期為的奇函

2、數(shù) b. 最小正周期為的偶函數(shù) c. 最小正周期為的奇函數(shù) d. 最小正周期為的偶函數(shù) 2 2 【答案】a 【解析】因為為奇函數(shù),所以選 a. 2 2cos () 1cos 2sin2 42 yxxx 2 2 t 3.（2009 全國卷理）如果函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，那么cos 2yx3 4 3 ，0 的最小值為（c） （a） （b） （c） (d) | 6 4 3 2 解: 函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱 cos 2yx3 4 3 ，0 由此易得.故選 c 4 2 3 k 4 2() 3 kkz min | 3 4.（2009 全國卷理）若，則函數(shù)的最大值為 。 42 x 3 tan2 tany

3、xx 解:令, tan,xt1 42 xt 44 3 22 2 422 2tan2222 tan2 tan8 111111 1tan1 () 244 xt yxx xt ttt 5.（2009 浙江理）已知是實數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是 ( )a( )1sinf xaax 答案：d 【解析】對于振幅大于 1 時，三角函數(shù)的周期為，而 d 不符合要 2 ,1,2tat a 求，它的振幅大于 1，但周期反而大于了2 6.（2009 浙江文）已知是實數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m a( )1sinf xaax d 【命題意圖】此題是一個考查三角函數(shù)圖象的問題，但考

4、查的知識點因含有參數(shù)而豐富， 結(jié)合圖形考查使得所考查的問題形象而富有深度 【解析】對于振幅大于 1 時，三角函數(shù)的周期為，而 d 不符合要 2 ,1,2tat a 求，它的振幅大于 1，但周期反而大于了2 7.（2009 北京文） “”是“”的 6 1 cos2 2 a 充分而不必要條件b必要而不充分條件 c 充分必要條件 d既不充分也不必要條件 【答案答案】a .w【解析解析】本題主要考查.k本題主要考查三角函數(shù)的基本概念、簡易邏輯中充要條件的判斷. 屬 于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查. 當(dāng)時， 6 1 cos2cos 32 反之，當(dāng)時，有， 1 cos2 2 22 36 kkkz 或，故應(yīng)選

5、a. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22 36 kkkz 8.（2009 北京理） “”是“”的 2() 6 kkz 1 cos2 2 （ ） a充分而不必要條件 b必要而不充分條件 c充分必要條件 d既不充分也不必要條件 【答案答案】a 【解析解析】本題主要考查三角函數(shù)的基本概念、簡易邏輯中充要條件的判斷. 屬于基礎(chǔ)知識、 基本運(yùn)算的考查. 當(dāng)時，2() 6 kkz 1 cos2cos 4cos 332 k 反之，當(dāng)時，有， 1 cos2 2 22 36 kkkz 或，故應(yīng)選 a.22 36 kkkz 9.(2009 山東卷理)將函數(shù)的圖象向左平移個單位, 再向上平移 1 個單位,

6、所得圖sin2yx 4 象的函數(shù)解析式是( ). a. b. c. d.cos2yx 2 2cosyx) 4 2sin(1 xy 2 2sinyx 【解析】:將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到函數(shù)即sin2yx 4 sin2() 4 yx 的圖象,再向上平移 1 個單位,所得圖象的函數(shù)解析式為sin(2)cos2 2 yxx ,故選 b. 2 1 cos22cosyxx 答案:b 【命題立意】:本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡解析式 的基本知識和基本技能,學(xué)會公式的變形. 10.(2009 山東卷文)將函數(shù)的圖象向左平移個單位, 再向上平移 1 個單位,所得sin2

7、yx 4 圖象的函數(shù)解析式是( ). a. b. c. d. 2 2cosyx 2 2sinyx) 4 2sin(1 xycos2yx 【解析】:將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到函數(shù)即sin2yx 4 sin2() 4 yx 的圖象,再向上平移 1 個單位,所得圖象的函數(shù)解析式為sin(2)cos2 2 yxx ,故選 a. 2 1 cos22cosyxx 答案:a 【命題立意】:本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡解析式 的基本知識和基本技能,學(xué)會公式的變形. 11.（2009 全國卷文）已知abc 中，則 12 cot 5 a cos a (a) (b) (c)

8、(d) 12 13 5 13 5 13 12 13 答案：答案：d 解析：本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用能力，先由解析：本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用能力，先由 cota=知知 a 為鈍角，為鈍角，cosa0, -0, 0) x0,4的圖象，且圖象的最高點為 s(3，2)；賽道的后一部分為折線段 mnp，為保證參賽3 運(yùn)動員的安全，限定mnp=120 o （i）求 a , 的值和 m，p 兩點間的距離； （ii）應(yīng)如何設(shè)計，才能使折線段賽道 mnp 最長？ 18.本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解三角形等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力以及應(yīng) 用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、

9、數(shù)形結(jié)合思想， 解法一 （）依題意，有，又，。2 3a 3 4 t 2 t 6 2 3sin 6 yx 當(dāng) 是，4x 2 2 3sin3 3 y 又(4,3)m(8,3)p 22 435mp （）在mnp 中mnp=120，mp=5， 設(shè)pmn=，則 060 由正弦定理得 00 sinsin120sin(60) mpnpmn , 10 3 sin 3 np 0 10 3 sin(60) 3 mn 故 0 10 310 310 3 13 sinsin(60)(sincos ) 33323 npmn 0 10 3 sin(60 ) 3 060，當(dāng)=30時，折線段賽道 mnp 最長 亦即，將pmn

10、設(shè)計為 30時，折線段道 mnp 最長 解法二： （）同解法一 （）在mnp 中，mnp=120，mp=5， 由余弦定理得mnp= 22 2cosmnnpmn npaa 2 mp 即 22 25mnnpmn npa 故 22 ()25() 2 mnnp mnnpmn np a 從而，即 2 3 ()25 4 mnnp 10 3 3 mnnp 當(dāng)且僅當(dāng)時，折線段道 mnp 最長mnnp 注：本題第（）問答案及其呈現(xiàn)方式均不唯一，除了解法一、解法二給出的兩種設(shè)計方式， 還可以設(shè)計為：；點 n 在線段 mp 的垂直平 123 94 3 ( 26 n ，） 123 94 3 ( 26 n ，） 分線上

11、等 21.（2009 遼寧卷文） （本小題滿分（本小題滿分 1212 分）分） 如圖，a,b,c,d 都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，b，d 為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量 船于水面 a 處測得 b 點和 d 點的仰角分別為，于水面 c 處測得 b 點和 d 點的仰角 0 75 0 30 均為，ac0.1km。試探究圖中 b，d 間距離與另外哪兩點距離相等，然后求 b，d 的距離 0 60 （計算結(jié)果精確到 0.01km，1.414，2.449） 2 6 （18）解： 在中，30，6030，acddacadcdac 所以 cdac0.1 又180606060，bcd 故 cb 是底邊 ad 的

12、中垂線，所以 bdba 5 分cad 在中， abc abc ac bca ab sinsin 即 ab 20 623 51sin 60sin ac 因此，km33 . 0 20 623 bd 故 b、d 的距離約為 0.33km。 12 分 22.（2009 遼寧卷理） （本小題滿分 12 分） 如圖，a,b,c,d 都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，b，d 為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量 船于水面 a 處測得 b 點和 d 點的仰角分別為，于水面 c 處測得 b 點和 d 點的仰角 0 75 0 30 均為，ac=0.1km。試探究圖中 b，d 間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求 b，d

13、的距 0 60 離（計算結(jié)果精確到 0.01km，1.414，2.449） 2 6 (17)解: 在abc 中，dac=30, adc=60dac=30, 所以 cd=ac=0.1 又bcd=1806060=60， 故 cb 是cad 底邊 ad 的中垂線，所以 bd=ba， 5 分 在abc 中， , abcsin c bcasin aab 即 ab= , 20 623 15sin acsin60 因此，bd= 。km33 . 0 20 623 故 b，d 的距離約為 0.33km。 12 分 23.（2009 寧夏海南卷理） （本小題滿分 12 分） 為了測量兩山頂 m，n 間的距離，飛機(jī)

14、沿水平方向在 a，b 兩點進(jìn)行測量，a，b，m，n 在 同一個鉛垂平面內(nèi)（如示意圖） ，飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和 a，b 間的距離，請設(shè)計一個 方案，包括：指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出） ；用文字和公式寫出 計算 m，n 間的距離的步驟。 (17) 解： 方案一：需要測量的數(shù)據(jù)有：a 點到 m，n 點的俯角；b 點到 m， n 的俯角；a，b 的距離 d （如圖所示） . .3 分 22 , 第一步：計算 am . 由正弦定理； 2 12 sin sin() d am 第二步：計算 an . 由正弦定理； 2 21 sin sin() d an 第三步：計算 mn. 由余弦定

15、理 . 22 11 2cos()mnamanaman 方案二：需要測量的數(shù)據(jù)有： a 點到 m，n 點的俯角，；b 點到 m，n 點的府角，；a，b 的距離 d （如 1 1 2 2 圖所示）. 第一步：計算 bm . 由正弦定理； 1 12 sin sin() d bm 第二步：計算 bn . 由正弦定理； 1 21 sin sin() d bn 第三步：計算 mn . 由余弦定理 22 22 2cos()mnbmbnbmbn 24.（2009 陜西卷文） （本小題滿分 12 分） 已知函數(shù)（其中）的周期為，且圖( )sin(),f xaxxr0,0,0 2 a 象上一個最低點為. 2 (,

16、 2) 3 m ()求的解析式；（）當(dāng)，求的最值.解析:（1）由最低點為( )f x0, 12 x ( )f x 由 2 (, 2)2 3 ma 得 22 2t t 得 由點在圖像上得即 2 (, 2) 3 m 4 2sin()2 3 4 sin()1 3 所以故 4 2 32 k 11 2() 6 kkz 又，所以所以(0,) 2 6 ( )2sin(2) 6 f xx （）因為0,2, 1266 3 xx 11 , 所以當(dāng)時，即 x=0 時，f(x)取得最小值 1；2x+ 66 ；,( ) 6312 xf x 當(dāng)2x+即時，取得最大值3 25.(2009 陜西卷理)（本小題滿分 12 分）

17、 已知函數(shù)（其中）的圖象與 x 軸的交( )sin(),f xaxxr0,0,0 2 a 點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為. 2 2 (, 2) 3 m ()求的解析式；（）當(dāng)，求的值域. ( )f x, 12 2 x ( )f x 17、解（1）由最低點為得 a=2. 2 (, 2) 3 m 由 x 軸上相鄰的兩個交點之間的距離為得=，即， 2 2 t 2 t 22 2 t 由點在圖像上的 2 (, 2) 3 m 24 2sin(2)2,)1 33 即si n( 故 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4 2, 32 kkz 11 2 6 k 又(0,),( )2si

18、n(2) 266 f xx 故 （2） 7 ,2, 12 2636 xx 當(dāng)=，即時，取得最大值 2；當(dāng)2 6 x 2 6 x ( )f x 7 2 66 x 即時，取得最小值-1，故的值域為-1,2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 x ( )f x( )f x 26.（2009 四川卷文） （本小題滿分 12 分） 在中，為銳角，角所對的邊分別為，且abcab、abc、abc、 510 sin,sin 510 ab （i）求的值；ab （ii）若，求的值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21ababc、 【解析解析】 （i）為銳角， ab、 510 sin,sin 510

19、 ab 22 2 53 10 cos1 sin,cos1 sin 510 aabb 2 53 105102 cos()coscossinsin. 5105102 ababab 0ab 6 分 4 ab （ii）由（i）知， 3 4 c 2 sin 2 c 由得 sinsinsin abc abc ，即5102abc2 ,5ab cb 又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21ab 221bb1b 12 分2,5ac 27.（2009 湖北卷文） （本小題滿分 12 分） 在銳角abc 中，a、b、c 分別為角 a、b、c 所對的邊，且acasin23 ()確定角 c 的大小： （）若 c

20、,且abc 的面積為,求 ab 的值。7 2 33 解（1）由及正弦定理得， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 32 sinaca 2sinsin sin3 aaa cc 3 sin0,sin 2 acq 是銳角三角形，abcq 3 c （2）解法 1：由面積公式得7,. 3 cc q 13 3 sin,6 232 abab 即 由余弦定理得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2222 2cos7,7 3 abababab 即 由變形得25,5ab 2 （a+b)故 解法 2：前同解法 1，聯(lián)立、得 2222 7 66 ababab abab 消去 b 并整理得解得 42 13360

21、aa 22 49aa或 所以故 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23 32 aa bb 或5ab 28.（2009 寧夏海南卷文） （本小題滿分 12 分） 如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的 a，b，c 三點 進(jìn)行測量，已知，于 a 處測得水深50abm120bcm ，于 b 處測得水深，于 c 處測得水深80adm200bem ，求def 的余弦值。 110cfm (17) 解： 作交 be 于 n，交 cf 于 mw.w.w.k.s.5.u.c.o.m /dmac ， 2222 3017010 198dfmfdm ， 2222 50120130dednen 6 分

22、 2222 ()90120150efbefcbc 在中，由余弦定理，def . 222222 1301501029816 cos 22 130 15065 deefdf def deef 12 分 29.(2009 湖南卷理)（本小題滿分 12 分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 在，已知，求角 a，b，c 的大小。abc 2 233ab acabacbc 解：設(shè),bca acb abc 由得，所以23ab acabac 2cos3bcabc 3 cos 2 a 又因此 (0, ),a 6 a 由得，于是 2 33abacbc 2 3bca 2 3 sinsin3sin 4 cba 所

23、以，因此 53 sinsin() 64 cc 133 sin( cossin) 224 ccc ，既 2 2sincos2 3sin3,sin23cos20cccccsin(2)0 3 c 由 a=知，所以，從而 6 5 0 6 c 3 4 2 33 c 或，既或故20, 3 c 2, 3 c , 6 c 2 , 3 c 或。 2 , 636 abc 2 , 663 abc 30.（2009 天津卷理） （本小題滿分 12 分） 在abc 中，bc=，ac=3，sinc=2sina 5 (i) 求 ab 的值： (ii) 求 sin的值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 4 a 本小

24、題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦、兩 角差的正弦等基礎(chǔ)知識，考查基本運(yùn)算能力。滿分 12 分。 （）解：在abc 中，根據(jù)正弦定理， a bc c ab sinsin 于是 ab=522 sin sin bcbc a c （）解：在abc 中，根據(jù)余弦定理，得 cosa= 5 52 2 222 acab bdacab 于是 sina= 5 5 cos1 2 a 從而 sin2a=2sinacosa=,cos2a=cos2a-sin2a= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5 4 5 3 所以 sin(2a-)=sin2acos-cos2asin=

25、4 4 4 10 2 31.（2009 四川卷理）（本小題滿分 12 分） 在中，為銳角，角所對應(yīng)的邊分別為，且abca,a b, ,a b c, ,a b c 310 cos2,sin 510 ab （i）求的值； ab （ii）若，求的值。21ab, ,a b c 本小題主要考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系，兩角和差的三角函數(shù)、二倍角公式、正弦定理等 基礎(chǔ)知識及基本運(yùn)算能力。 解：（）、為銳角，ab 10 sin 10 b 2 3 10 cos1 sin 10 bb 又，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 3 cos21 2sin 5 aa ， 5 sin 5 a 2 2 5 cos1 s

26、in 5 aa 2 53 105102 cos()coscossinsin 5105102 ababab 0ab 6 分 4 ab （）由（）知,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 4 c 2 sin 2 c 由正弦定理得 sinsinsin abc abc ，即， 5102abc2ab5cb ，21abq ，221bb1b 12 分2,5ac 32.（2009 福建卷文） （本小題滿分 12 分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知函數(shù)其中，( )sin(),f xx0| 2 （i）若求的值； coscos,sinsin0, 44 （）在（i）的條件下，若函數(shù)的圖像的相鄰

27、兩條對稱軸之間的距離等于，求( )f x 3 函數(shù)的解析式；并求最小正實數(shù)，使得函數(shù)的圖像象左平移個單位所對應(yīng)( )f xm( )f xm 的函數(shù)是偶函數(shù)。 解法一： （i）由得 3 coscossinsin0 44 coscossinsin0 44 即又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m cos()0 4 |, 24 （）由（i）得，( )sin() 4 f xx 依題意， 23 t 又故 2 ,t 3,( )sin(3) 4 f xx 函數(shù)的圖像向左平移個單位后所對應(yīng)的函數(shù)為( )f xm ( )sin 3() 4 g xxm 是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)( )g x3() 42 mkkz 即(

28、) 312 k mkz 從而，最小正實數(shù) 12 m 解法二： （i）同解法一 （）由（i）得， ( )sin() 4 f xx 依題意， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23 t 又，故 2 t 3,( )sin(3) 4 f xx 函數(shù)的圖像向左平移個單位后所對應(yīng)的函數(shù)為( )f xm( )sin 3() 4 g xxm 是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對恒成立( )g x()( )gxg xxr 亦即對恒成立。sin( 33)sin(33) 44 xmxm xr sin( 3 )cos(3)cos( 3 )sin(3) 44 xmxm sin3 cos(3)cos3 sin(3) 44 xmxm

29、即對恒成立。2sin3 cos(3)0 4 xm xr cos(3)0 4 m 故3() 42 mkkz w.w.w.k.s.5.u.c.o.m () 312 k mkz 從而，最小正實數(shù) 12 m 33.（2009 重慶卷理） （本小題滿分 13 分， （）小問 7 分， （）小問 6 分 ） 設(shè)函數(shù) 2 ( )sin()2cos1 468 xx f x （）求的最小正周期 ( )f x （）若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對稱，求當(dāng)時( )yg x( )yf x1x 4 0, 3 x 的最大值( )yg x 解：（）=( )f xsincoscossincos 46464 xxx = 33 sinc

30、os 2424 xx = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3sin() 43 x 故的最小正周期為 t = =8( )f x 2 4 ()解法一： 在的圖象上任取一點，它關(guān)于的對稱點 .( )yg x( , ( )x g x1x (2, ( )x g x 由題設(shè)條件，點在的圖象上，從而w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2, ( )x g x( )yf x ( )(2)3sin(2) 43 g xfxx =3sin 243 x =3cos() 43 x 當(dāng)時，因此在區(qū)間上的最大值為 3 0 4 x 2 3433 x ( )yg x 4 0, 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m max 3 3cos 32 g 解法二： 因區(qū)間關(guān)于 x = 1 的對稱區(qū)間為，且與的圖象關(guān)于 4 0, 3 2 ,2 3 ( )yg x( )yf