2020-2021學(xué)年九年級下冊北師大版數(shù)學(xué)教學(xué)課件 3.3 垂徑定理

1、,*3.3 垂徑定理,第三章 圓,導(dǎo)入新課,講授新課,當(dāng)堂練習(xí),課堂小結(jié),1.進(jìn)一步認(rèn)識圓，了解圓是軸對稱圖形. 2.理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論，并能應(yīng)用它解決一些簡單的計算、證明和作圖問題.（重點(diǎn)） 3.靈活運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)圓的問題.（難點(diǎn)）,學(xué)習(xí)目標(biāo),問題:你知道趙州橋嗎? 它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37m, 拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？,導(dǎo)入新課,情境引入,問題：如圖,AB是O的一條弦, 直徑CDAB, 垂足為P.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和劣弧? 為什么?,線段: AP=BP,O,A,B,D,P,C,講授新課,試一

2、試,證明：連接OA、OB、CA、CB，則OA=OB.,即AOB是等腰三角形.,ABCD，,AP=BP，,AOC=BOC.,從而AOD=BOD.,想一想： 能不能用所學(xué)過的知識證明你的結(jié)論？,垂徑定理,垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的弧., CD是直徑，CDAB，(條件), AP=BP,推導(dǎo)格式：,溫馨提示：垂徑定理是圓中一個重要的定理,三種語言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運(yùn)用自如.,想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？,是,不是，因為沒有垂直,是,不是，因為CD沒有過圓心,垂徑定理的幾個基本圖形：,歸納總結(jié),如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所

3、對的兩條?。┙Y(jié)論與題設(shè)交換一條，命題是真命題嗎？ 過圓心 ；垂直于弦； 平分弦； 平分弦所對的優(yōu)弧 ； 平分弦所對的劣弧. 上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結(jié)論嗎？,思考探索,舉例證明其中一種組合方法 已知: 求證：, CD是直徑, CDAB，垂足為E, AE=BE,證明猜想,AC與BC相等嗎？ AD與BD相等嗎？為什么？,如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，使AE=BE. （1）CDAB嗎？為什么？ （2）,O,A,B,C,D,E,（1）連接AO,BO,則AO=BO,又AE=BE，AOEBOE（SSS），,AEO=BEO=90，,CDAB.,證明舉例,思考：“不是直徑”這個條件

4、能去掉嗎？如果不能，請舉出反例.,平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的弧.,垂徑定理的推論,特別說明： 圓的兩條直徑是互相平分的.,歸納總結(jié),垂徑定理的本質(zhì)是:,滿足其中任兩條，必定同時滿足另三條,（1）一條直線過圓心 （2）這條直線垂直于弦 （3）這條直線平分不是直徑的弦 （4）這條直線平分不是直徑的弦所對的優(yōu)弧 （5）這條直線平分不是直徑的弦所對的劣弧,例1 如圖，OEAB于E，若O的半徑為10cm, OE=6cm,則AB= cm.,解析：連接OA， OEAB，, AB=2AE=16cm.,16,一,典例精析,例2 如圖， O的弦AB8cm ，直徑CEAB于D，DC2cm，求

5、半徑OC的長.,解：連接OA， CEAB于D，,設(shè)OC=xcm，則OD=x-2,根據(jù)勾股定理，得,解得 x=5，,即半徑OC的長為5cm.,x2=42+(x-2)2，,證明：作直徑MNAB. ABCD，MNCD. 則AMBM，CMDM （垂直弦的直徑平分弦所對的?。?AMCMBMDM ACBD,試一試：根據(jù)所學(xué)新知，你能利用垂徑定理求出引入中趙州橋主橋拱半徑的問題嗎?,解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R.,經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與弧AB交于點(diǎn)C，則D是AB的中點(diǎn)，C是弧AB的中點(diǎn)，CD就是拱高., AB=37m，CD=7.23m., AD= AB=18

6、.5m，OD=OC-CD=R-7.23.,解得R27.3（m）.,即主橋拱半徑約為27.3m.,R2=18.52+(R-7.23)2,例4如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD,點(diǎn)O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點(diǎn),且OECD，垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.,解:連接OC.,設(shè)這段彎路的半徑為Rm,則OF=(R-90)m.,根據(jù)勾股定理，得,解得R=545.,這段彎路的半徑約為545m.,如圖a、b,一弓形弦長為 cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為_.,2cm或12cm,針對訓(xùn)練,在圓中有關(guān)弦長a,半徑r, 弦心距d（圓心到弦的距離），弓

7、形高h(yuǎn)的計算題，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.,涉及垂徑定理時輔助線的添加方法,弦a，弦心距d，弓形高h(yuǎn)，半徑r之間有以下關(guān)系：,弓形中重要數(shù)量關(guān)系,d+h=r,1.已知O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則此圓的半徑為 .,5cm,2.O的直徑AB=20cm, BAC=30,則弦AC= .,當(dāng)堂練習(xí),3.如圖，在O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB于D，OEAC于E，求證四邊形ADOE是正方形,證明：,四邊形ADOE為矩形，,又AC=AB, AE=AD, 四邊形ADOE為正方形.,4.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓

8、的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)。你認(rèn)為AC和BD有什么關(guān)系？為什么？,理由：過O作OEAB，垂足為E， 則AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即 ACBD.,解：AC=BD,6.（分類討論題）已知O的半徑為10cm，弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,則弦MN和EF之間的距離為 .,14cm或2cm,5. 如圖，在ABC中，已知ACB=130，BAC=20，BC=2，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，則BD的長為_,7.如圖，某窗戶由矩形和弓形組成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，現(xiàn)設(shè)計安裝玻璃，請幫工程師求出弧AB所在圓O的半徑,解：弓形的跨度AB=6m，EF為弓形的高， OEAB于F，AF= AB=3m， 設(shè)AB所在圓O的半徑為r，弓形的高EF=2m， AO=r，OF=r-2， 在RtAOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2， 即r2=32+（r-2）2，解得r= m 即，AB所在圓O的半徑為 m,拓展提升： 如圖，O的直徑為10，弦AB=8,P為AB上的一個動點(diǎn)，那么OP長的取值范圍 .,3cmOP5cm,垂徑定理,內(nèi)容,推論,輔助線,一條直線滿足:過圓心;垂