橢圓高考題(匯總(教師版含答案

1、考點(diǎn)11 橢圓1.（2010廣東高考文科7）若一個(gè)橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是（ ） a b c d【思路點(diǎn)撥】由橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，列出、的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為、間的關(guān)系，從而求出.【規(guī)范解答】選. 橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列, ， ，即： ，又 ， ，即 ， （舍去）或 ， ，故選.2.（2010福建高考文科1）若點(diǎn)o和點(diǎn)f分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)p為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（ ） a.2 b.3 c.6 d.8【命題立意】本題考查橢圓的基本概念、平面向量的內(nèi)積、利用二次函數(shù)求最值.【思路點(diǎn)撥】先求出橢圓的左焦點(diǎn)

2、，設(shè)p為動(dòng)點(diǎn)，依題意寫出的表達(dá)式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解條件最值的問題，利用二次函數(shù)的方法求解. 【規(guī)范解答】選c，設(shè)，則，又因?yàn)?，又?，所以 .3.（2010海南高考理科t20）設(shè)分別是橢圓e:（ab0）的左、右焦點(diǎn)，過斜率為1的直線與e 相交于兩點(diǎn)，且,成等差數(shù)列.（)求e的離心率；（）設(shè)點(diǎn)p（0,-1）滿足,求e的方程.【命題立意】本題綜合考查了橢圓的定義、等差數(shù)列的概念以及直線與橢圓的關(guān)系等等.解決本題時(shí)，一定要靈活運(yùn)用韋達(dá)定理以及弦長公式等知識(shí).【思路點(diǎn)撥】利用等差數(shù)列的定義，得出,滿足的一個(gè)關(guān)系，然后再利用橢圓的定義進(jìn)行計(jì)算.【規(guī)范解答】（)由橢圓的定義知，又得 ，的方程為，其中設(shè)，則兩

3、點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組 化簡得，則 ，.因?yàn)橹本€ab斜率為1，所以得 ，故,所以e的離心率.（）設(shè)兩點(diǎn)的中點(diǎn)為，由（)知，.由，可知.即，得，從而.橢圓e的方程為.【方法技巧】熟練利用圓錐曲線的定義及常用的性質(zhì)，從題目中提取有價(jià)值的信息，然后列出方程組進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算.4.（2010北京高考文科9）已知橢圓c的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，離心率是，直線與橢圓c交與不同的兩點(diǎn)m，n，以線段mn為直徑作圓p,圓心為p.（）求橢圓c的方程；（）若圓p與x軸相切，求圓心p的坐標(biāo)；（）設(shè)q（x,y）是圓p上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求y的最大值.【命題立意】本題考查了求橢圓方程，直線與圓的位置關(guān)系，函數(shù)的最值。要求學(xué)生掌握橢

4、圓標(biāo)準(zhǔn)中的關(guān)系，離心率.直線與圓相切問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于半徑來求解.第（）問中最大值的求法用到了三角代換，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想.【思路點(diǎn)撥】由焦點(diǎn)可求出，再利用離心率可求出。直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離.【規(guī)范解答】（）因?yàn)?，且，所以所以橢圓c的方程為.（）由題意知由 得所以圓p的半徑為.由，解得.所以點(diǎn)p的坐標(biāo)是（0，）.（）由（）知，圓p的方程.因?yàn)辄c(diǎn)在圓p上。所以由圖可知。設(shè)，則當(dāng)，即，且，取最大值2.【方法技巧】（1）直線與圓的位置關(guān)系：時(shí)相離；時(shí)相切；時(shí)相交；（2）求無理函數(shù)的最值時(shí)三角代換是一種常用的去根號(hào)的技巧.5.（2010遼寧高考文理科20）設(shè)橢

5、圓c：的右焦點(diǎn)為f，過點(diǎn)f的直線l與橢圓c相交于a，b兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60o,.(i) 求橢圓c的離心率；(ii) 如果|ab|=，求橢圓c的方程.【命題立意】本題考查了直線的點(diǎn)斜式方程，考查了橢圓的離心率，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了圓錐曲線中的弦長問題，以及推理運(yùn)算能力.【思路點(diǎn)撥】（i）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去x,解出兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用這兩個(gè)縱坐標(biāo)間的關(guān)系，得出a、b、c間的關(guān)系，求出離心率. （ii）利用弦長公式表示出|ab|，再結(jié)合離心率和，求出a、b，寫出橢圓方程.【規(guī)范解答】【方法技巧】1、直線、圓錐曲線的綜合問題，往往是聯(lián)立成方程組消去一個(gè)x(或y),得到關(guān)于y(或x)

6、的一元二次方程，使問題得以解決.2、弦長問題，注意使用弦長公式，并結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來解決問題.6.（2010天津高考文理科20）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4（1） 求橢圓的方程；（2） 設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（），點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且，求的值.【命題立意】本小題主要考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算和推理能力?！舅悸伏c(diǎn)撥】（1）建立關(guān)于a,b的方程組求出a,b；（2）構(gòu)造新的一元二次方程求解?！疽?guī)范解答】（1）由，得，再由，得由題意可知，

7、解方程組 得 a=2,b=1，所以橢圓的方程為。(2)解：由（1）可知a（-2,0）。設(shè)b點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2),于是a,b兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去整理，得由得設(shè)線段ab是中點(diǎn)為m，則m的坐標(biāo)為以下分兩種情況：（1）當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)b的坐標(biāo)為（2,0）。線段ab的垂直平分線為y軸，于是（2）當(dāng)k時(shí)，線段ab的垂直平分線方程為（后邊的y改為小寫）令x=0，解得由整理得綜上7.（2010福建高考理科17）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)o的橢圓c經(jīng)過點(diǎn)a（2 , 3），且點(diǎn)f（2 ，0）為其右焦點(diǎn).（i）求橢圓c的方程；（ii）是否存在平行于oa的直線

8、，使得直線與橢圓c有公共點(diǎn)，且直線oa與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.【命題立意】本小題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.【思路點(diǎn)撥】第一步先求出左焦點(diǎn)，進(jìn)而求出a,c,然后求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二步依題意假設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用判別式限制參數(shù)t的范圍，再由直線oa與直線的距離等于4列出方程，求解出t的值，注意判別式對(duì)參數(shù)t的限制.【規(guī)范解答】（i）依題意，可設(shè)橢圓的方程為，且可知左焦點(diǎn)為，從而有 ，解得，又，故橢圓的方程為；（ii）假設(shè)存在符合題意的直線，其方程為，由

9、得，因?yàn)橹本€與橢圓c有公共點(diǎn)，所以，解得。另一方面，由直線oa與直線的距離等于4可得，由于，所以符合題意的直線不存在.【方法技巧】在求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的相交弦問題時(shí)，我們一定要注意判別式的限制。因?yàn)閽佄锱c直線有交點(diǎn)，注意應(yīng)用進(jìn)行驗(yàn)證可避免增根也可以用來限制參數(shù)的范圍.8.of2f1axy（2010安徽高考理科19）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，離心率。 (1)求橢圓的方程；(2)求的角平分線所在直線的方程；(3)在橢圓上是否存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出；若不存在，說明理由?！久}立意】本題主要考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡單性質(zhì)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱性等

10、知識(shí)，考查考生在解析幾何的基本思想方法方面的認(rèn)知水平，探究意識(shí)，創(chuàng)新意識(shí)和綜合運(yùn)算求解能力【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建方程（組）求解；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出直線的斜率或直線上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線的方程；（3）先假設(shè)橢圓上存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)，在此基礎(chǔ)之上進(jìn)行推理運(yùn)算，求解此兩點(diǎn)，根據(jù)推理結(jié)果做出判斷?！疽?guī)范解答】（1）設(shè)橢圓的方程為（），由題意，又，解得：橢圓的方程為（2）方法1：由（1）問得，又，易得為直角三角形，其中設(shè)的角平分線所在直線與x軸交于點(diǎn)，根據(jù)角平線定理可知：，可得，直線的方程為：，即。方法2：由（1）問得，又，直線的方程為：，即。

11、（3）假設(shè)橢圓上存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)、，令、，且的中點(diǎn)為，又，兩式相減得: ,即（3），又在直線上，（4）由（3）（4）解得：，所以點(diǎn)與點(diǎn)是同一點(diǎn)，這與假設(shè)矛盾，故橢圓上不存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)。【方法技巧】1、求圓錐曲線的方程，通常是利用待定系數(shù)法先設(shè)出曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建方程（組）求解；.2、利用向量表示出已知條件，可以將復(fù)雜的題設(shè)簡單化，便于理解和計(jì)算；3、對(duì)于存在性問題，其常規(guī)解法是先假設(shè)命題存在，再根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行的推理運(yùn)算，若能推得符合題意的結(jié)論，則存在性成立，否則，存在性不成立。9（2010陜西高考文理科20）如圖，橢圓c： ()求橢圓c的方程； ()設(shè)n是過原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交于p點(diǎn)、與橢圓相交于a,b兩點(diǎn)的直線，是否存在上述直線l使成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由。【命題立意】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。其中問題（2）是一個(gè)開放性問題，考查了觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力。 【思路