一元二次不等式和解法知識梳理和典型練習試題(含答案解析)

1、一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一個一元一次不等式經(jīng)過不等式的同解變形后，都可以化為axb(a0)的形式.當a0時，解集為；當a0時，解集為.2.一元二次不等式及其解法(1)我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為_不等式.(2)使某個一元二次不等式成立的x的值叫做這個一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解組成的集合叫做一元二次不等式的_.(3)一元二次不等式的解：函數(shù)與不等式二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象000一元二次方程ax2bxc0(a0)的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集有兩相異實根x1，x2(x1x2)x|x1

2、xx2有兩相等實根bx1x22a無實根r(1)化分式不等式為標準型.方法：移項，通分，右邊化為0，左邊化為的形式.g（x）g（x）00g（x）0；g（x）0.3.分式不等式解法f（x）g（x）(2)將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，如：f（x）f（x）0f(x)g(x)0；0f(x)g(x)0；f（x）g（x）0，f（x）f（x）f（x）g（x）0，g（x）g（x）(2014課標)已知集合ax|x22x30，bx|2x2，則ab()a.2，1c.1，1b.1，2)d.1，2)解：ax|x3或x1，bx|2x2，abx|2x12，1.故選a.設(shè)f(x)x2bx1且f(1)f(3)，則f(x)0的

3、解集為()a.x|xrc.x|x1b.x|x1，xrd.x|x1已知2，則x的取值范圍是()a.2x0或0xb.x0即x22x10，x的取值范圍是x1.故選b.112x1122c.x2d.x1212解：當x0時，x；當x0時，x2.不等式0的解集是.也就是x(x1)0，所以1x1.(2014武漢調(diào)研)若一元二次不等式2kx2kx0對一切實數(shù)x都成立，則k的取解：顯然k0.若k0，則只須(2x2x)max，解得k；若k0，則只須(2x28k12所以x的取值范圍是x1，故選d.212xx112x解：不等式0等價于(12x)(x1)0，x11221故填x|1x2，xr.38值范圍為_.338kx)，

4、解得k(3，0).故k的取值范圍是(3，0).故填(3，0).min已知關(guān)于x的不等式(ab)x2a3b0的解集為，3，求關(guān)于x的不解：由(ab)x3b2a的解集為，3，得ab0，且1，ab類型一一元一次不等式的解法1等式(a3b)xb2a0的解集.13b2a3是解本題的關(guān)鍵.(2)當m240即m2或m2時，x.(3)當m240即2m2時，x.從而a2b，則ab3b0，即b0，將a2b代入(a3b)xb2a0，得bx3b0，x3，故所求解集為(，3).點撥：一般地，一元一次不等式都可以化為axb(a0)的形式.挖掘隱含條件ab0且3b2a1ab3解關(guān)于x的不等式：(m24)xm2.解：(1)當

5、m240即m2或m2時，當m2時，原不等式的解集為，不符合當m2時，原不等式的解集為r,符合1m21m2類型二一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x27x120;(2)x22x30；(3)x22x10;(4)x22x20.解：(1)x|x3或x4.(2)x|3x1.(3).(4)因為0，可得原不等式的解集為r.x1，x0，(2013金華十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)則不等式x(x1)f(xx1，x0，1)1的解集是()a.x|1x21b.x|x1c.x|x21d.x|21x21解：由題意得不等式x(x1)f(x1)1等價于x10，x（x1）（x1）11或x10，x（x1）（x1）11，解不等式

6、組得x1；解不等式組得1x21.故原不等式的解集是x|x21.故選c.類型三二次不等式、二次函數(shù)及二次方程的關(guān)系已知關(guān)于x的不等式x2bxc0的解集是x|5x1，求實數(shù)b，c的值.解：不等式x2bxc0的解集是x|5x1，x5，x1是x2bxc0的兩個實數(shù)根，1251b，b4，由韋達定理知51c，c5.已知不等式ax2bxc0的解集為x|2x3，求不等式cx2bxa0的解集.解：不等式ax2bxc0的解集為x|2x3，a0，且2和3是方程ax2bxc0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得ab23，c23，aa0.b5a，即c6a，a0.所求不等式的解集為x|x.23(2)當m0時，不等式為mxm(x1)

7、0.當m0，不等式為x(x1)0，11，不等式的解集為x|x或x1.當m0，不等式為x(x1)0.()若1即m1時，不等式的解集為x|mx1；()若1即0m1時，不等式的解集為x|1xm；()若1即m1時，不等式的解集為.代入不等式cx2bxa0，得6ax25axa0(a0).即6x25x10，11類型四含有參數(shù)的一元二次不等式解關(guān)于x的不等式：mx2(m1)x10.解：(1)m0時，不等式為(x1)0，得x10，不等式的解集為x|x1；11m1mm1m11m11m1m的不確定性，對m0與m0進行討論；第三層次：與1大小的不確定性，對m1、m，；解集為(，1，1；當2a0時，解集為1，.當a2

8、時，解集為(1)解不等式1.點撥：當x2的系數(shù)是參數(shù)時，首先對它是否為零進行討論，確定其是一次不等式還是二次不等式，即對m0與m0進行討論，這是第一層次；第二層次：x2的系數(shù)正負(不等號方向)1m1與m1進行討論.解關(guān)于x的不等式ax222xax(ar).解：不等式整理為ax2(a2)x20，當a0時，解集為(，1.當a0時，ax2(a2)x20的兩根為1，2，所以當a0時，a2a2a當a2時，解集為x|x1；2a類型五分式不等式的解法x12x1x1x1x2x2解：11000.2x12x12x12x1x2（x2）（2x1）0，02x12x10.得xx1或x2.2x23x2(2)不等式x20的解

9、集是.x2x2解：00x23x2（x2）（x1）(x2)(x2)(x1)0，數(shù)軸標根得x|2x1或x2，故填x|2x1或x2.點撥：(1)若集合ax|12x13，bx|0，則ab()x)分式不等式可以先轉(zhuǎn)化為簡單的高次不等式，再利用數(shù)軸標根法寫出不等式的解集，如果該不等式有等號，則要注意分式的分母不能為零.用“數(shù)軸標根法”解不等式的步驟：(1)移項：使得右端為0(注意：一定要保證x的最高次冪的項的系數(shù)為正數(shù)).(2)求根：就是求出不等式所對應的方程的所有根.(3)標根：在數(shù)軸上按從左到右(由小到大)依次標出各根(不需標出準確位置，只需標出相對位置即可.(4)畫穿根線：從數(shù)軸“最右根”的右上方向

10、左下方畫線，穿過此根，再往左上方穿過“次右根”，一上一下依次穿過各根,“奇穿偶不穿”來記憶.(5)寫出不等式的解集：若不等號為“”，則取數(shù)軸上方穿根線以內(nèi)的范圍；若不等號為“”，則取數(shù)軸下方穿根線以內(nèi)的范圍；若不等式中含有“”號，寫解集時要考慮分母不能為零.x2a.x|1x0c.x|0x2b.x|0x1d.x|0x1(2)不等式0的解集為()x（x2）0，解：易知ax|1x1，b集合就是不等式組的解集，求出bx0x|0x2，所以abx|0x1.故選b.x12x1a.2，1b.2，1c.，21，)d.，21，)1111得1x1.故選a.(1)若不等式x2ax10對于一切x0，2成立，則a的最小值

11、為(x1（x1）（2x1）0，解：02x12x102類型六和一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題1)a.0b.2c.d.3解：不等式可化為axx21，由于x0，2，ax.f(x)x在0，上是減函數(shù)，5.a5.x521111xx21xmax22(2)已知對于任意的a1，1，函數(shù)f(x)x2(a4)x42a的值總大于0，則x的取值范圍是()a.1x3c.1x2b.x1或x3d.x1或x21.不等式0的解集是()解：記g(a)(x2)ax24x4，a1，1，g（1）0，x23x20，依題意，只須x1或x3，故選b.g（1）0x25x60點撥：對于參數(shù)變化的情形，大多利用參變量轉(zhuǎn)換法，即參數(shù)轉(zhuǎn)換為變量；變量

12、轉(zhuǎn)換為參數(shù)，把關(guān)于x的二次不等式轉(zhuǎn)換為關(guān)于a的一次不等式，化繁為簡，然后再利用一次函數(shù)的單調(diào)性，求出x的取值范圍.對于滿足|a|2的所有實數(shù)a，求使不等式x2ax12xa成立的x的取值范圍.解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x1)ax22x10，設(shè)f(a)(x1)ax22x1，則f(a)在f（2）0，x24x30，x3或x1，2，2上恒大于0，故有：即解得f（2）0x210x1或x1.x1或x3.類型七二次方程根的討論若方程2ax2x10在(0，1)內(nèi)有且僅有一解，則a的取值范圍是()a.a1c.1a1d.0a1解法一：令f(x)2ax2x1，則f(0)f(1)0，即1(2a2)0，解得a1.解法二：當a0

13、時，x1，不合題意，故排除c，d；當a2時，方程可化為4x2x10，而1160，無實根，故a2不適合，排除a.故選b.x2x1a.(，1)(1，2c.(，1)2，)b.1，2d.(1，2()(x2)0，且x1，即x(1，2，故選d.2.關(guān)于x的不等式(mx1)(x2)0，若此不等式的解集為x|mx2，則m的取值范x2解：0x1x11圍是()c.ma.m012b.0m2d.m03.(2013安徽)已知一元二次不等式f(x)0的解集為x|x2，則f(10x)0的解集為解：由不等式的解集形式知m0.故選d.1()a.x|xlg2b.x|1xlg2d.x|xlg2解：可設(shè)f(x)a(x1)x2(a0可

14、得(10x1)10x20，從而10x，1112解得x0在(1，4)內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是()a.a12b.a4d.a0對x(1，2)恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是_.解：x(1，2)，x10.則x2kxk1(x1)(x1k)0，等價于x1k0，即kx1恒成立，由于2x13，所以只要k2即可.故填(，2.f（m1）2m22m0.故填，0.1即5a24a10，解得a1或a.f(x)x2x.12a2a4a1，2a4a10，2(2)由f(x)ax2(12a)x3aax及a0，可得f(x)的最大值為.7.(2014江蘇)已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對于任意xm，m1，都有f(x)0成立，則實數(shù)m的

15、取值范圍是_.f（m）2m210，解：由題可得f(x)0對于xm，m1恒成立，即解得23m0，228.若關(guān)于x的不等式x2axa3的解集不是空集，求實數(shù)a的取值范圍.解：x2axa3的解集不是空集x2axa30的判別式0，解得a6或a2.9.已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a，且不等式f(x)2x的解集為(1，3).(1)若方程f(x)6a0有兩個相等的實根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍.解：(1)f(x)2x0的解集為(1，3)，f(x)2xa(x1)(x3)，且a0.因而f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程f(x)6a0得ax2(24a)x9a0.因為方程有兩個相等的實根，所以(24a)24a9a0，5由于a0，舍去a1，將a1代入得f(x)的解析式5163555aaa24a1a2由a解得a23或23a0.a0，故當f(x)的最大值為正數(shù)時，實數(shù)a的取值范圍是(，23)(23，0).10.解關(guān)于x的不等式：1(a0).a1a1a（x1）x2解：(x2)(a1)x2a0，a2當a1時有(x2)x0，a1若a22，即0a1時，解集為x|2xa2；a1a1a2若2，即a0時，解集為；a1a2a2若2，即a0時，解集為x|x2.工程部維修工的崗位職責1