人教版高中數學【選修1-1】[A 知識點整理及重點題型梳理] (3)

1、精品文檔用心整理人教版高中數學選修1-1知識點梳理重點題型（?？贾R點）鞏固練習橢圓的方程【學習目標】1.經歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程；2.掌握橢圓的定義和標準方程；3.能用橢圓的定義和標準方程解決簡單的實際問題.【要點梳理】要點一、橢圓的定義平面內一個動點p到兩個定點f、f的距離之和等于常數(pf+pf=2aff)，這個動點p的121212.軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距要點詮釋：若pf+pf=ff，則動點p的軌跡為線段ff；121212若pf+pf2c可得a2-c2=b2，則得方程x2y2+2ab2=1(ab0)關于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中

2、對此要求不高，可從略因此，方程x2y2+a2b2=1(ab0)即為所求橢圓的標準方程.它表示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是f1(-c，0)、f2(c，0)這里c2=a2-b2橢圓的標準方程：1.當焦點在x軸上時，橢圓的標準方程：2.當焦點在y軸上時，橢圓的標準方程：x2y2+a2b2y2x2+2ab2=1(ab0)，其中c2=a2-b2；=1(ab0)，其中c2=a2-b2；要點詮釋：1.這里的“標準”指的是中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；2.在橢圓的兩種標準方程中，都有ab0和c2=a2-b2；3.橢圓的焦點總在長軸上.當焦點在x軸上時，橢圓的焦點坐標為

3、(c,0)，(-c,0)；當焦點在y軸上時，資料來源于網絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理橢圓的焦點坐標為(0,c)，(0,-c)；4.在兩種標準方程中，a2b2，可以根據分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上.要點三、求橢圓的標準方程求橢圓的標準方程主要用到以下幾種方法：（1）待定系數法：若能夠根據題目中條件確定焦點位置，可先設出標準方程，再由題設確定方程中的參數a,b，即：“先定型，再定量”.由題目中條件不能確定焦點位置，一般需分類討論；有時也可設其方程的一般式：mx2+ny2=1(m,n0且mn).（2）定義法：先分析題設條件，判斷出動點的軌跡，然后根據橢圓的定義確定方程，即“先定型，再.

4、定量”。利用該方法求標準方程時，要注意是否需先建立平面直角坐標系再解題【典型例題】類型一：橢圓的定義例1.若動點m到兩個定點f1,f2的距離的和為定值m，則m的軌跡是（）a.橢圓b.線段c.不存在d.以上都不對【答案】d【解析】由于m與|ff|大小關系不能確定，因此m的軌跡可能是橢圓，也可能是線段，還有可能不存12在，故選d【總結升華】平面內一動點到兩定點的距離和等于常數時，動點的軌跡不一定是橢圓。當動點到兩點的距離和小于兩定點之間的距離時，動點的軌跡不存在；當動點到兩點的距離和等于兩定點之間的距離時，動點的軌跡是線段；當動點到兩定點的距離和（常數）大于兩定點之間的距離時，動點的軌跡是橢圓。舉

5、一反三：【變式1】下列說法中正確的是（）a平面內與兩個定點的距離和等于常數的點的軌跡叫做橢圓b平面內與兩個定點的距離和等于常數的點的軌跡是一條線段c平面內與兩個定點的距離和等于常數的點的軌跡是一個橢圓或者是一條直線d平面內與兩個定點的距離和等于常數的點的軌跡存在，則軌跡是一個橢圓或者是一條線段【答案】d【變式2】（2015武漢模擬）“ab0”是“方程ax2+by2=1表示橢圓的（）a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件【答案】b【解析】由“ab0”，不能判斷“方程ax2+by2=1表示橢圓”，例如a0，b0時，“方程ax2+by2=1不表示橢圓”?！胺匠蘟x2+by2

6、=1表示橢圓”“ab0”，“ab0”是方程“ax2+by2=1表示橢圓”的必要不充分條件。故選b。資料來源于網絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理例2.（2015寧城縣一模）abc的兩個頂點a（4，0），b（4，0），abc周長為18，則c點軌跡為（）acx2y2y2x2+=1(y0)b+=1(y0)169259y2x2x2y2+=1(y0)d+=1(y0)169259【答案】d【思路點撥】根據三角形的周長和定點，得到點a到兩個定點的距離之和等于定值，得到點a的軌跡是橢圓，橢圓的焦點在y軸上，寫出橢圓的方程，去掉不合題意的點?！窘馕觥縜bc的兩頂點a（4，0），b（4，0），周長為18，ab=8

7、，bc+ac=10，108，點c到兩個定點的距離之和等于定值，點c滿足橢圓的定義，點c的軌跡是以a，b為焦點的橢圓，2a=10，2c=8，b=3，橢圓的標準方程是x2y2+=1(y0)，259故選d?！究偨Y升華】解本題的關鍵是由周長得到到兩定點的距離之和為定值。從而由橢圓的定義得到軌跡為一橢圓.舉一反三：【橢圓的方程例2】【變式】設動圓p與圓m:(x-3)2+y2=4外切，與n:(x+3)2+y2=100內切，求動圓圓心p的軌跡方程.x2y2【答案】+=13627類型二：橢圓的標準方程例3.方程x2y2+=1表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_25-m16+m【答案】9m25m，即m92

8、，又因為b225m0，故m25，所以m的取值范圍為9m25.2【總結升華】有橢圓的標準方程可以讀出有關信息，如a,b的值和焦點的位置，進而可以解決有關問題，.因此我們應該準確把握橢圓的標準方程，并從中讀出有關信息資料來源于網絡僅供免費交流使用舉一反三：【變式1】橢圓精品文檔用心整理x2y2+=1(mn0)的焦點坐標是_-m-n【答案】(n-m,0)，(-n-m,0)【解析】因為mnn0，故焦點在x軸上，所以c=為(n-m,0)，(-n-m,0)-m-n=n-m，故焦點坐標+=1(a5)，它的兩焦點分別是f1，f2，且f1f28，弦ab【變式2】已知橢圓的標準方程是x2y2a225過點f，則ab

9、f2的周長為_【答案】441【解析】因為f1f28，即即所以2c8，即c4，所以a2251641，即a=41，所以abf2的周長為4a=441.x2y2例4.當3k9時，指出方程+=1所表示的曲線.9-kk-3【解析】3k0且k-30（1）若9-kk-3，即3k6時，則方程表示焦點在x軸上的橢圓；（2）若9-k=k-3，即k=6時，方程表示圓x2+y2=1；（3）若9-kk-3,即6k0)表示焦點在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是【答案】0kb0)。資料來源于網絡僅供免費交流使用所求橢圓的標準方程為精品文檔用心整理x2y2+=1；259（2）橢圓的焦點在y軸上，設它的標準方程為y2x2+a2b2

10、=1(ab0)3535由橢圓的定義知，2a=(-)2+(+2)2+(-)2+(-2)2=210，2222a=10又c=2，b2=a2c2=104=6所求橢圓的標準方程為y2x2+=1。106【總結升華】求橢圓的標準方程就是求a2及b2（ab0），并且判斷焦點所在的坐標軸。當焦點在x軸上時，橢圓的標準方程為x2y2y2x2+=1；當焦點在y軸上時，橢圓的標準方程為+a2b2a2b2=1。舉一反三：，【變式1】兩焦點的坐標分別為(04),(0,-4)，且橢圓經過點(5,0)。【答案】y2x2+=1。4125【變式2】已知一橢圓的對稱軸為坐標軸且與橢圓求此橢圓的方程。x2y2，+=1有相同的焦點，并

11、且經過點（3，2）94【答案】x2y2+=1。1510例6.過點(3,2)且與橢圓x2y2+=1有相同焦點的橢圓的標準方程是_94x2y2+=1【答案】1510【解析】因為c2945，所以設所求橢圓的標準方程為x2y2+2aa2-5=1.由點(3,2)在橢圓上知94+a2a2-5=1，所以a215.所以所求橢圓的標準方程為+x2y21510=1.【總結升華】在求橢圓的標準方程時必須先判斷焦點的位置，然后再設出方程。舉一反三：資料來源于網絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理【變式1】已知橢圓經過點p（2，0）和點q(1,33)，求橢圓的標準方程。2【答案】x2y2+=149【變式2】已知橢圓的中心在原點，經過點p（3，0）且a=3b，求橢圓的標準方程?！敬鸢浮縳2y2x2+y2=1或+=1。9819類型四：橢圓的綜合問題94例7.設f1、f2是橢圓x2y2+=1的兩個焦點，p是橢圓上的點，且pfpf2，則pff的面1212【解析】由橢圓方程，得a3，b2，c=5，pfpf2a6.又pfpf21，pf4，pf22，由22+42=(25)2可知1f2是直角三角形，故1f2的面積為pf1pf2244.169積等于_【答案】4121211122【總結升華】解決橢圓焦點三角形有關問題的關鍵在于充分利用橢圓的定義以及余弦定理、正弦定理.舉一反三：x2y2【變式1】已知p為橢