信息論與編碼試卷及答案

1、一、概念簡(jiǎn)答題（每題5分，共40分）1.什么是平均自信息量與平均互信息，比較一下這兩個(gè)概念的異同？2.簡(jiǎn)述最大離散熵定理。對(duì)于一個(gè)有m個(gè)符號(hào)的離散信源，其最大熵是多少？3.解釋信息傳輸率、信道容量、最佳輸入分布的概念，說明平均互信息與信源的概率分布、信道的傳遞概率間分別是什么關(guān)系？4.對(duì)于一個(gè)一般的通信系統(tǒng)，試給出其系統(tǒng)模型框圖，并結(jié)合此圖，解釋數(shù)據(jù)處理定理。5.寫出香農(nóng)公式，并說明其物理意義。當(dāng)信道帶寬為5000hz，信噪比為30db時(shí)求信道容量。6.解釋無失真變長信源編碼定理。7.解釋有噪信道編碼定理。8.什么是保真度準(zhǔn)則？對(duì)二元信源，其失真矩陣，求a0時(shí)率失真函數(shù)的和？二、綜合題（每題1

2、0分，共60分）1.黑白氣象傳真圖的消息只有黑色和白色兩種，求：1） 黑色出現(xiàn)的概率為0.3，白色出現(xiàn)的概率為0.7。給出這個(gè)只有兩個(gè)符號(hào)的信源x的數(shù)學(xué)模型。假設(shè)圖上黑白消息出現(xiàn)前后沒有關(guān)聯(lián)，求熵；2） 假設(shè)黑白消息出現(xiàn)前后有關(guān)聯(lián)，其依賴關(guān)系為：，求其熵 ；2.二元對(duì)稱信道如圖。；1）若，求和； 2）求該信道的信道容量和最佳輸入分布。3.信源空間為，試分別構(gòu)造二元和三元霍夫曼碼，計(jì)算其平均碼長和編碼效率。4.設(shè)有一離散信道，其信道傳遞矩陣為，并設(shè)，試分別按最小錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則與最大似然譯碼準(zhǔn)則確定譯碼規(guī)則，并計(jì)算相應(yīng)的平均錯(cuò)誤概率。5.已知一（8，5）線性分組碼的生成矩陣為。求：1）輸入為全000

3、11和10100時(shí)該碼的碼字；2）最小碼距。6.設(shè)某一信號(hào)的信息傳輸率為5.6kbit/s，在帶寬為4khz的高斯信道中傳輸，噪聲功率譜no=5106mw/hz。試求：（1）無差錯(cuò)傳輸需要的最小輸入功率是多少？（2）此時(shí)輸入信號(hào)的最大連續(xù)熵是多少？寫出對(duì)應(yīng)的輸入概率密度函數(shù)的形式。一、 概念簡(jiǎn)答題（每題5分，共40分）1.答：平均自信息為表示信源的平均不確定度，也表示平均每個(gè)信源消息所提供的信息量。平均互信息表示從y獲得的關(guān)于每個(gè)x的平均信息量，也表示發(fā)x前后y的平均不確定性減少的量，還表示通信前后整個(gè)系統(tǒng)不確定性減少的量。2.答：最大離散熵定理為：離散無記憶信源，等概率分布時(shí)熵最大。最大熵值

4、為。3.答：信息傳輸率r指信道中平均每個(gè)符號(hào)所能傳送的信息量。信道容量是一個(gè)信道所能達(dá)到的最大信息傳輸率。信息傳輸率達(dá)到信道容量時(shí)所對(duì)應(yīng)的輸入概率分布稱為最佳輸入概率分布。平均互信息是信源概率分布的型凸函數(shù)，是信道傳遞概率的u型凸函數(shù)。4.答：通信系統(tǒng)模型如下：數(shù)據(jù)處理定理為：串聯(lián)信道的輸入輸出x、y、z組成一個(gè)馬爾可夫鏈，且有，。說明經(jīng)數(shù)據(jù)處理后，一般只會(huì)增加信息的損失。5.答：香農(nóng)公式為，它是高斯加性白噪聲信道在單位時(shí)間內(nèi)的信道容量，其值取決于信噪比和帶寬。由得，則6.答：只要，當(dāng)n足夠長時(shí)，一定存在一種無失真編碼。7.答：當(dāng)rc時(shí)，只要碼長足夠長，一定能找到一種編碼方法和譯碼規(guī)則，使譯碼

5、錯(cuò)誤概率無窮小。8.答：1）保真度準(zhǔn)則為：平均失真度不大于允許的失真度。2）因?yàn)槭д婢仃囍忻啃卸加幸粋€(gè)0，所以有，而。二、綜合題（每題10分，共60分）1.答：1）信源模型為2）由得則2.答：1） 2），最佳輸入概率分布為等概率分布。3.答：1）二元碼的碼字依序?yàn)椋?0，11，010，011，1010，1011，1000，1001。平均碼長，編碼效率2）三元碼的碼字依序?yàn)椋?，00，02，20，21，22，010，011。平均碼長，編碼效率4.答：1）最小似然譯碼準(zhǔn)則下，有，2）最大錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則下，有，5.答：1）輸入為00011時(shí)，碼字為00011110；輸入為10100時(shí)，碼字為10100

6、101。2）6.答：1）無錯(cuò)傳輸時(shí)，有即則2）在時(shí)，最大熵對(duì)應(yīng)的輸入概率密度函數(shù)為信息論習(xí)題集一、名詞解釋（每詞2分）（25道）1、“本體論”的信息（p3） 2、“認(rèn)識(shí)論”信息（p3） 3、離散信源（11）4、自信息量（12） 5、離散平穩(wěn)無記憶信源（49） 6、馬爾可夫信源（58） 7、信源冗余度 （66） 8、連續(xù)信源 （68） 9、信道容量 （95） 10、強(qiáng)對(duì)稱信道 （99） 11、對(duì)稱信道 （101-102）12、多符號(hào)離散信道（109）13、連續(xù)信道 （124） 14、平均失真度 （136） 15、實(shí)驗(yàn)信道 （138）16、率失真函數(shù) （139） 17、信息價(jià)值率 （163） 18

7、、游程序列 （181）19、游程變換 （181） 20、l-d編碼（184）、 21、冗余變換 （184）22、bsc信道 （189） 23、碼的最小距離 （193）24、線性分組碼 （195）25、循環(huán)碼 （213）二、填空（每空1分）（100道）1、 在認(rèn)識(shí)論層次上研究信息的時(shí)候，必須同時(shí)考慮到 形式、含義和效用 三個(gè)方面的因素。2、 1948年，美國數(shù)學(xué)家 香農(nóng) 發(fā)表了題為“通信的數(shù)學(xué)理論”的長篇論文，從而創(chuàng)立了信息論。3、 按照信息的性質(zhì)，可以把信息分成 語法信息、語義信息和語用信息 。4、 按照信息的地位，可以把信息分成 客觀信息和主觀信息 。5、 人們研究信息論的目的是為了 高效、

8、可靠、安全 地交換和利用各種各樣的信息。6、 信息的 可度量性 是建立信息論的基礎(chǔ)。7、 統(tǒng)計(jì)度量 是信息度量最常用的方法。8、 熵 是香農(nóng)信息論最基本最重要的概念。9、 事物的不確定度是用時(shí)間統(tǒng)計(jì)發(fā)生 概率的對(duì)數(shù) 來描述的。10、單符號(hào)離散信源一般用隨機(jī)變量描述，而多符號(hào)離散信源一般用 隨機(jī)矢量 描述。11、一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生某一結(jié)果后所帶來的信息量稱為自信息量，定義為 其發(fā)生概率對(duì)數(shù)的負(fù)值 。12、自信息量的單位一般有 比特、奈特和哈特 。13、必然事件的自信息是 0 。14、不可能事件的自信息量是 。 15、兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的聯(lián)合自信息量等于 兩個(gè)自信息量之和 。16、數(shù)據(jù)處理定理：

9、當(dāng)消息經(jīng)過多級(jí)處理后，隨著處理器數(shù)目的增多，輸入消息與輸出消息之間的平均互信息量 趨于變小 。17、離散平穩(wěn)無記憶信源x的n次擴(kuò)展信源的熵等于離散信源x的熵的 n倍 。 18、離散平穩(wěn)有記憶信源的極限熵，。19、對(duì)于n元m階馬爾可夫信源，其狀態(tài)空間共有 nm 個(gè)不同的狀態(tài)。20、一維連續(xù)隨即變量x在a，b區(qū)間內(nèi)均勻分布時(shí)，其信源熵為 log2（b-a） 。21、平均功率為p的高斯分布的連續(xù)信源，其信源熵，hc（x）=。22、對(duì)于限峰值功率的n維連續(xù)信源，當(dāng)概率密度 均勻分布 時(shí)連續(xù)信源熵具有最大值。23、對(duì)于限平均功率的一維連續(xù)信源，當(dāng)概率密度 高斯分布 時(shí)，信源熵有最大值。24、對(duì)于均值為0

10、，平均功率受限的連續(xù)信源，信源的冗余度決定于平均功率的限定值p和信源的熵功率 之比 。25、若一離散無記憶信源的信源熵h（x）等于2.5，對(duì)信源進(jìn)行等長的無失真二進(jìn)制編碼，則編碼長度至少為 3 。26、m元長度為ki，i=1，2，n的異前置碼存在的充要條件是：。27、若把擲骰子的結(jié)果作為一離散信源，則其信源熵為 log26 。28、同時(shí)擲兩個(gè)正常的骰子，各面呈現(xiàn)的概率都為1/6，則“3和5同時(shí)出現(xiàn)”這件事的自信息量是 log218（1+2 log23）。29、若一維隨即變量x的取值區(qū)間是0，其概率密度函數(shù)為，其中：，m是x的數(shù)學(xué)期望，則x的信源熵。30、一副充分洗亂的撲克牌（52張），從中任意

11、抽取1張，然后放回，若把這一過程看作離散無記憶信源，則其信源熵為 。31、根據(jù)輸入輸出信號(hào)的特點(diǎn)，可將信道分成離散信道、連續(xù)信道、半離散或半連續(xù) 信道。32、信道的輸出僅與信道當(dāng)前輸入有關(guān)，而與過去輸入無關(guān)的信道稱為 無記憶 信道。33、具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的無噪信道的信道容量c= log2n 。34、強(qiáng)對(duì)稱信道的信道容量c= log2n-hni 。35、對(duì)稱信道的信道容量c= log2m-hmi 。36、對(duì)于離散無記憶信道和信源的n次擴(kuò)展，其信道容量cn= nc 。37、對(duì)于n個(gè)對(duì)立并聯(lián)信道，其信道容量 cn = 。38、多用戶信道的信道容量用 多維空間的一個(gè)區(qū)域的界限 來表示。39、多用戶信道

12、可以分成幾種最基本的類型： 多址接入信道、廣播信道 和相關(guān)信源信道。40、廣播信道是只有 一個(gè)輸入端和多個(gè)輸出端 的信道。41、當(dāng)信道的噪聲對(duì)輸入的干擾作用表現(xiàn)為噪聲和輸入的線性疊加時(shí)，此信道稱為 加性連續(xù)信道 。42、高斯加性信道的信道容量c=。43、信道編碼定理是一個(gè)理想編碼的存在性定理，即：信道無失真?zhèn)鬟f信息的條件是 信息率小于信道容量 。44、信道矩陣代表的信道的信道容量c= 1 。45、信道矩陣代表的信道的信道容量c= 1 。46、高斯加性噪聲信道中，信道帶寬3khz，信噪比為7，則該信道的最大信息傳輸速率ct= 9 khz 。47、對(duì)于具有歸并性能的無燥信道，達(dá)到信道容量的條件是

13、p（yj）=1/m） 。 48、信道矩陣代表的信道，若每分鐘可以傳遞6*105個(gè)符號(hào)，則該信道的最大信息傳輸速率ct= 10khz 。49、信息率失真理論是量化、數(shù)模轉(zhuǎn)換、頻帶壓縮和 數(shù)據(jù)壓縮 的理論基礎(chǔ)。50、求解率失真函數(shù)的問題，即：在給定失真度的情況下，求信息率的 極小值 。51、信源的消息通過信道傳輸后的誤差或失真越大，信宿收到消息后對(duì)信源存在的不確定性就 越大 ，獲得的信息量就越小。52、信源的消息通過信道傳輸后的誤差或失真越大道傳輸消息所需的信息率 也越小 。53、單符號(hào)的失真度或失真函數(shù)d（xi，yj）表示信源發(fā)出一個(gè)符號(hào)xi，信宿再現(xiàn)yj所引起的 誤差或失真 。54、漢明失真函

14、數(shù) d（xi，yj）= 。55、平方誤差失真函數(shù)d（xi，yj）=（yj- xi）2。56、平均失真度定義為失真函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，即d（xi，yj）在x和y的 聯(lián)合概率空間p（xy）中 的統(tǒng)計(jì)平均值。57、如果信源和失真度一定，則平均失真度是 信道統(tǒng)計(jì)特性 的函數(shù)。58、如果規(guī)定平均失真度不能超過某一限定的值d，即：。我們把稱為 保真度準(zhǔn)則 。59、離散無記憶n次擴(kuò)展信源通過離散無記憶n次擴(kuò)展信道的平均失真度是單符號(hào)信源通過單符號(hào)信道的平均失真度的 n 倍。60、試驗(yàn)信道的集合用pd來表示，則pd= 。61、信息率失真函數(shù)，簡(jiǎn)稱為率失真函數(shù)，即：試驗(yàn)信道中的平均互信息量的 最小值 。62、平均失

15、真度的下限取0的條件是失真矩陣的 每一行至少有一個(gè)零元素 。63、平均失真度的上限dmax取dj：j=1，2，m中的 最小值 。64、率失真函數(shù)對(duì)允許的平均失真度是 單調(diào)遞減和連續(xù)的 。65、對(duì)于離散無記憶信源的率失真函數(shù)的最大值是 log2n 。66、當(dāng)失真度大于平均失真度的上限時(shí)dmax時(shí)，率失真函數(shù)r（d）= 0 。67、連續(xù)信源x的率失真函數(shù)r（d）= 。68、當(dāng)時(shí)，高斯信源在均方差失真度下的信息率失真函數(shù)為 。69、保真度準(zhǔn)則下的信源編碼定理的條件是 信源的信息率r大于率失真函數(shù)r（d） 。70、某二元信源其失真矩陣d=，則該信源的dmax= a/2 。71、某二元信源其失真矩陣d=

16、，則該信源的dmin= 0 。72、某二元信源其失真矩陣d=，則該信源的r（d）= 1-h（d/a） 。73、按照不同的編碼目的，編碼可以分為三類：分別是 信源編碼、信道編碼和安全編碼 。74、信源編碼的目的是： 提高通信的有效性 。75、一般情況下，信源編碼可以分為 離散信源編碼、連續(xù)信源編碼和相關(guān)信源編碼 。 76、連續(xù)信源或模擬信號(hào)的信源編碼的理論基礎(chǔ)是 限失真信源編碼定理 。77、在香農(nóng)編碼中，第i個(gè)碼字的長度ki和p（xi）之間有 關(guān)系。78、對(duì)信源進(jìn)行二進(jìn)制費(fèi)諾編碼，其編碼效率為 1 。79、對(duì)具有8個(gè)消息的單符號(hào)離散無記憶信源進(jìn)行4進(jìn)制哈夫曼編碼時(shí)，為使平均碼長最短，應(yīng)增加 2

17、個(gè)概率為0的消息。80、對(duì)于香農(nóng)編碼、費(fèi)諾編碼和哈夫曼編碼，編碼方法惟一的是 香農(nóng)編碼 。81、對(duì)于二元序列0011100000011111001111000001111111，其相應(yīng)的游程序列是 23652457 。82、設(shè)無記憶二元序列中，“0”和“1”的概率分別是p0和p1，則“0”游程長度l（0）的概率為 。83、游程序列的熵 等于 原二元序列的熵。84、若“0”游程的哈夫嗎編碼效率為0，“1”游程的哈夫嗎編碼效率為1，且01對(duì)應(yīng)的二元序列的編碼效率為，則三者的關(guān)系是 01 。85、在實(shí)際的游程編碼過程中，對(duì)長碼一般采取 截?cái)?處理的方法。86、“0”游程和“1”游程可以分別進(jìn)行哈夫曼

18、編碼，兩個(gè)碼表中的碼字可以重復(fù)，但 c碼 必須不同。87、在多符號(hào)的消息序列中，大量的重復(fù)出現(xiàn)的，只起占時(shí)作用的符號(hào)稱為 冗余位 。88、“冗余變換”即：將一個(gè)冗余序列轉(zhuǎn)換成一個(gè)二元序列和一個(gè) 縮短了的多元序列 。89、l-d編碼是一種 分幀傳送冗余位序列 的方法。90、l-d編碼適合于冗余位 較多或較少 的情況。91、信道編碼的最終目的是 提高信號(hào)傳輸?shù)目煽啃?。92、狹義的信道編碼即：檢、糾錯(cuò)編碼 。93、bsc信道即：無記憶二進(jìn)制對(duì)稱信道 。94、n位重復(fù)碼的編碼效率是 1/n 。95、等重碼可以檢驗(yàn) 全部的奇數(shù)位錯(cuò)和部分的偶數(shù)位錯(cuò) 。96、任意兩個(gè)碼字之間的最小漢明距離有稱為碼的最小距

19、dmin，則dmin=。97、若糾錯(cuò)碼的最小距離為dmin，則可以糾正任意小于等于t= 個(gè)差錯(cuò)。98、若檢錯(cuò)碼的最小距離為dmin，則可以檢測(cè)出任意小于等于l= dmin-1 個(gè)差錯(cuò)。99、線性分組碼是同時(shí)具有 分組特性和線性特性 的糾錯(cuò)碼。100、循環(huán)碼即是采用 循環(huán)移位特性界定 的一類線性分組碼。三、判斷（每題1分）（50道）1、 必然事件和不可能事件的自信息量都是0 。錯(cuò)2、 自信息量是的單調(diào)遞減函數(shù)。對(duì)3、 單符號(hào)離散信源的自信息和信源熵都具有非負(fù)性。對(duì)4、 單符號(hào)離散信源的自信息和信源熵都是一個(gè)確定值。錯(cuò)5、 單符號(hào)離散信源的聯(lián)合自信息量和條件自信息量都是非負(fù)的和單調(diào)遞減的。對(duì)6、

20、自信息量、條件自信息量和聯(lián)合自信息量之間有如下關(guān)系： 對(duì)7、 自信息量、條件自信息量和互信息量之間有如下關(guān)系： 對(duì)8、 當(dāng)隨即變量x和y相互獨(dú)立時(shí)，條件熵等于信源熵。對(duì)9、 當(dāng)隨即變量x和y相互獨(dú)立時(shí)，i（x；y）=h（x） 。錯(cuò)10、信源熵具有嚴(yán)格的下凸性。錯(cuò)11、平均互信息量i（x；y）對(duì)于信源概率分布p（xi）和條件概率分布p（yj/xi）都具有凸函數(shù)性。 對(duì)12、m階馬爾可夫信源和消息長度為m的有記憶信源，其所含符號(hào)的依賴關(guān)系相同。 錯(cuò)13、利用狀態(tài)極限概率和狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移概率來求m階馬爾可夫信源的極限熵。 對(duì)14、n維統(tǒng)計(jì)獨(dú)立均勻分布連續(xù)信源的熵是n維區(qū)域體積的對(duì)數(shù)。 對(duì)15、一維高斯

21、分布的連續(xù)信源，其信源熵只與其均值和方差有關(guān)。 錯(cuò)16、連續(xù)信源和離散信源的熵都具有非負(fù)性。 錯(cuò)17、連續(xù)信源和離散信源都具有可加性。 對(duì)18、連續(xù)信源和離散信源的平均互信息都具有非負(fù)性。 對(duì)19、定長編碼的效率一般小于不定長編碼的效率。 對(duì)20、若對(duì)一離散信源（熵為h（x）進(jìn)行二進(jìn)制無失真編碼，設(shè)定長碼子長度為k，變長碼子平均長度為，一般k。 錯(cuò)21、信道容量c是i（x；y）關(guān)于p（xi）的條件極大值。 對(duì)22、離散無噪信道的信道容量等于log2n，其中n是信源x的消息個(gè)數(shù)。 錯(cuò)23、對(duì)于準(zhǔn)對(duì)稱信道，當(dāng)時(shí)，可達(dá)到信道容量c。錯(cuò)24、多用戶信道的信道容量不能用一個(gè)數(shù)來代表。 對(duì)25、多用戶信道

22、的信道容量不能用一個(gè)數(shù)來代表，但信道的信息率可以用一個(gè)數(shù)來表示。錯(cuò)26、高斯加性信道的信道容量只與信道的信噪有關(guān)。 對(duì)27、信道無失真?zhèn)鬟f信息的條件是信息率小于信道容量。對(duì)28、最大信息傳輸速率，即：選擇某一信源的概率分布（p（xi），使信道所能傳送的信息率的最大值。 錯(cuò)29、對(duì)于具有歸并性能的無燥信道，當(dāng)信源等概率分布時(shí)（p（xi）=1/n），達(dá)到信道容量。 錯(cuò)30、求解率失真函數(shù)的問題，即：在給定失真度的情況下，求信息率的極小值。對(duì)31、信源的消息通過信道傳輸后的誤差或失真越大，信宿收到消息后對(duì)信源存在的不確定性就越小，獲得的信息量就越小。 錯(cuò)32、當(dāng)p（xi）、p（yj/xi）和d（xi

23、，yj）給定后，平均失真度是一個(gè)隨即變量。 錯(cuò)33、率失真函數(shù)對(duì)允許的平均失真度具有上凸性。對(duì)34、率失真函數(shù)沒有最大值。 錯(cuò)35、率失真函數(shù)的最小值是0 。對(duì)36、率失真函數(shù)的值與信源的輸入概率無關(guān)。錯(cuò)37、信源編碼是提高通信有效性為目的的編碼。 對(duì)38、信源編碼通常是通過壓縮信源的冗余度來實(shí)現(xiàn)的。 對(duì)39、離散信源或數(shù)字信號(hào)的信源編碼的理論基礎(chǔ)是限失真信源編碼定理。 錯(cuò)40、一般情況下，哈夫曼編碼的效率大于香農(nóng)編碼和費(fèi)諾編碼。 對(duì)41、在編m（m2）進(jìn)制的哈夫曼碼時(shí)，要考慮是否需要增加概率為0的碼字，以使平均碼長最短。 對(duì)42、游程序列的熵（“0”游程序列的熵與“1”游程序列的熵的和）大于

24、等于原二元序列的熵。 錯(cuò)43、在游程編碼過程中，“0”游程和“1”游程應(yīng)分別編碼，因此，它們的碼字不能重復(fù)。 錯(cuò)44、l-d編碼適合于冗余位較多和較少的情況，否則，不但不能壓縮碼率，反而使其擴(kuò)張。 對(duì)45、狹義的信道編碼既是指：信道的檢、糾錯(cuò)編碼。 對(duì)46、對(duì)于bsc信道，信道編碼應(yīng)當(dāng)是一對(duì)一的編碼，因此，消息m的長度等于碼字c的長度。 錯(cuò)47、等重碼和奇（偶）校驗(yàn)碼都可以檢出全部的奇數(shù)位錯(cuò)。 對(duì)48、漢明碼是一種線性分組碼。對(duì)49、循環(huán)碼也是一種線性分組碼。 對(duì)50、卷積碼是一種特殊的線性分組碼。 錯(cuò)四、簡(jiǎn)答（每題4分）（20道）1、 信息的主要特征有哪些？（4）2、 信息的重要性質(zhì)有哪些？

25、（4）3、 簡(jiǎn)述幾種信息分類的準(zhǔn)則和方法。（5）4、 信息論研究的內(nèi)容主要有哪些？（8）5、 簡(jiǎn)述自信息的性質(zhì)。（13）6、 簡(jiǎn)述信源熵的基本性質(zhì)。（23）7、 簡(jiǎn)述信源熵、條件熵、聯(lián)合熵和交互熵之間的關(guān)系。（48）8、 信道的分類方法有哪些？（93-94）9、 簡(jiǎn)述一般離散信道容量的計(jì)算步驟。（107）10、簡(jiǎn)述多用戶信道的分類。（115-116）11、簡(jiǎn)述信道編碼定理。（128）12、簡(jiǎn)述率失真函數(shù)的性質(zhì)。（140-145）13、簡(jiǎn)述求解一般離散信源率失真函數(shù)的步驟。（146-149）14、試比較信道容量與信息率失真函數(shù)。（164）15、簡(jiǎn)述編碼的分累及各種編碼的目的。（168）16、簡(jiǎn)述

26、費(fèi)諾編碼的編碼步驟。（170）17、簡(jiǎn)述二元哈夫曼編碼的編碼步驟。（173）18、簡(jiǎn)述廣義的信道編碼的分類及各類編碼的作用。（188）19、簡(jiǎn)述線性分組碼的性質(zhì)。（196）20、簡(jiǎn)述循環(huán)碼的系統(tǒng)碼構(gòu)造過程。（221）“信息論與編碼”試題2007級(jí)碩士研究生2008年6月14日一、基本概念題（閉卷部分，每題4分，共40分。1小時(shí)內(nèi)完成并交卷）1.試證明n維隨機(jī)變量的共熵，不大于它們各自的熵之和。證明：即證明因?yàn)? i (x; y) = h(x) h(x/y)，所以h(x/y) h(x)。由共熵的定義和熵的鏈接準(zhǔn)則，有h(x 1, x 2) = h(x 1) +h(x 2/ x 1) h(x 1,

27、 x 2, x 3) = h(x 1)+h(x 2, x 3/ x 1) = h(x 1)+h(x 2/ x 1)+h(x 3/ x 2, x 1) h(x 1)+h(x 2) +h(x 3)證畢。2.請(qǐng)給出信源編碼器的主要任務(wù)以及對(duì)信源編碼的基本要求。解：信源編碼器的主要任務(wù)是完成輸入消息集合與輸出代碼集合之間的映射。對(duì)信源編碼有如下基本要求：（1）選擇合適的信道基本符號(hào)，以使映射后的代碼適應(yīng)信道。例如，ascii碼選用了16進(jìn)制數(shù)。（2）尋求一種方法，把信源發(fā)出的消息變換成相應(yīng)的代碼組。這種方法就是編碼，變換成的代碼就是碼字。（3）編碼應(yīng)使消息集合與代碼組集合中的元素一一對(duì)應(yīng)。3.請(qǐng)給出平

28、均碼長界定定理及其物理意義。解：平均碼長界定定理：若一個(gè)離散無記憶信源x，具有熵h(x)，對(duì)其編碼用d種基本符號(hào)，則總可以找到一種無失真信源編碼，構(gòu)成單義可譯碼，使其平均碼長滿足平均碼長界定定理的物理意義：編碼所追求的，是在單義可譯前提下尋求盡可能小的平均碼長。平均碼長界定定理指出，平均碼長的下界值。對(duì)于給定信源空間x，p(x)的離散信源，其熵h(x)是確定的數(shù)值，如果信道基本符號(hào)也是確定的，即d也是給定的，則也就定了。這意味著，如果不改變信源的統(tǒng)計(jì)特性，減小的潛力，到了其下界值也就到了極限了。因此，如果要進(jìn)一步提高編碼效率，必須對(duì)信源本身進(jìn)行研究，例如改變信源本身的統(tǒng)計(jì)特性，對(duì)其進(jìn)行擴(kuò)展。4

29、.請(qǐng)給出連續(xù)信源分別為均勻分布、高斯分布和指數(shù)分布時(shí)信源的相對(duì)熵。解：（1）均勻分布連續(xù)信源的相對(duì)熵為（2）高斯分布連續(xù)信源x的相對(duì)熵為中間步驟可以省略（3）指數(shù)分布連續(xù)信源x的相對(duì)熵為中間步驟可以省略5.請(qǐng)給出失真函數(shù)、平均失真度、保真度準(zhǔn)則、信息率失真函數(shù)的定義。解：失真函數(shù)定義：對(duì)于有失真的信息傳輸系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)于每一對(duì)（ai, bj）（n = 1, 2, r；j=1, 2, , s），定義一個(gè)非負(fù)實(shí)值函數(shù)表示信源發(fā)出符號(hào)ai而經(jīng)信道傳輸后再現(xiàn)成信道輸出符號(hào)集合中的bj所引起的誤差或失真，稱之為ai和bj之間的失真函數(shù)（distortion function），簡(jiǎn)寫為dij。平均失真度定義：

30、若信源和信宿的消息集合分別為x:a1, a2, , ar和y:b1, b2, , bs，其概率分別為p (ai)和p (bj) (i=1, 2, , r ; j=1, 2, , s )，信道的轉(zhuǎn)移概率為p (bj /ai)，失真函數(shù)為d (ai, bj)，則稱隨機(jī)變量x和y的聯(lián)合概率p (ai bj )對(duì)失真函數(shù)d (ai, bj)的統(tǒng)計(jì)平均值為該通信系統(tǒng)的平均失真度。保真度準(zhǔn)則定義：從平均的意義上來說，信道每傳送一個(gè)符號(hào)所引起的平均失真，不能超過某一給定的限定值d，即要求，稱這種對(duì)于失真的限制條件為保真度準(zhǔn)則。信息率失真函數(shù)定義：用給定的失真d為自變量來描述的信息傳輸速率，稱為信息率失真函數(shù)

31、，用r(d)表示。6. 試證明(n, k)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式g(x)是xn+1的因式。證明：將生成多項(xiàng)式g (x)乘以，得由于次數(shù)為n，故上式中q(x) = 1，而是g (x)循環(huán)左移k次所得，它是g(x)的倍式，設(shè)，故有證畢。7. 請(qǐng)給出域的定義并說明集合0, 1, 2可否構(gòu)成域及其理由。解：域的定義：非空元素集合f，若在f中定義了加和乘兩種運(yùn)算，且滿足(1) f關(guān)于加法構(gòu)成abel 群，其加法恒元記為0；(2) f中非零元素全體對(duì)乘法構(gòu)成abel 群，其乘法恒元記為1；(3) 加法和乘法間有如下分配律：a(b+c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca，則稱f是一個(gè)域。或者說，域是一個(gè)可換

32、的、有單位元的、非零元素有逆元的環(huán)。集合0, 1, 2可以構(gòu)成域。對(duì)該集合中的元素定義模3加和模3乘這兩種運(yùn)算，完全符合域必須滿足的3個(gè)條件。8. 請(qǐng)給出本原多項(xiàng)式的定義，并用一個(gè)實(shí)例來說明它的性質(zhì)。解：本原多項(xiàng)式的定義：若m次既約多項(xiàng)式p(x)除盡的xn+1的最小正整數(shù)n滿足n=2m1，稱p(x)為本原多項(xiàng)式。用實(shí)例來說明本原多項(xiàng)式有如下性質(zhì)：1）本原多項(xiàng)式一定是既約的（因?yàn)樗怯眉燃s多項(xiàng)式來定義的），但既約多項(xiàng)式不一定是本原的。例如：4次既約多項(xiàng)式x4+x+1能除盡x15 +1，但除不盡任何1 n n k +1，則循環(huán)碼不能檢測(cè)長為l的突發(fā)錯(cuò)誤所占的比值為2 ( n k )。因此，循環(huán)碼檢

33、測(cè)突發(fā)錯(cuò)誤非常有效。10. 請(qǐng)給出最佳自由距離卷積碼的定義并簡(jiǎn)要說明如何獲得具有最佳自由距離的卷積碼。解：最佳自由距離卷積碼的定義：對(duì)于相同的碼率r和相同的電路復(fù)雜性（存儲(chǔ)單元總數(shù)m等）的各種卷積碼，使得自由距離df最大的編碼稱為最佳自由距離（ofd，optimal free distance）碼。為了得到各種ofd碼，通常采用計(jì)算機(jī)搜索的方法，即對(duì)于給定的存儲(chǔ)單元總數(shù)m所有可能的卷積碼編碼器，首先排除惡性卷積碼，然后對(duì)應(yīng)每一可能的卷積碼編碼器求其自由距離df，逐一比較得到自由距離df最大者即為最佳自由距離卷積碼編碼器。二、綜合題（開卷部分，每題10分，共60分。閉卷部分交卷后方可參閱參考資料

34、）1. 某通信系統(tǒng)的信源輸出僅有2個(gè)符號(hào)a、b，擬采用lempel-ziv編碼后送信道傳輸，若某次通信需傳輸?shù)姆?hào)序列為“aaaaaaa bbbbbbb aaaaaaaa bbbbbbb a b aaaaaa bbbbbbb aaaaaaaaaaaaaaaaab”，請(qǐng)給出其lempel-ziv編碼結(jié)果并簡(jiǎn)要說明該編碼的性能。解：編碼結(jié)果編碼包 內(nèi)容aaaaaaa b bbbbbb a aaaaaaab bbbbbba b aaaaaabbbbbbba a aaaaaaaaaaaaaaab碼段符號(hào)數(shù) 8 7 16 15 16如果把a(bǔ)、b看作為1、0，對(duì)編碼結(jié)果（即每個(gè)編碼包）可以用4+4+1=9

35、-bit表示，傳輸該序列用5個(gè)編碼包即45-bit，而該序列有62-bit，因此該編碼起到壓縮作用。2若題1信源符合a、b的出現(xiàn)概率分別為0.9和0.1，擬對(duì)其采用3重?cái)U(kuò)展后再進(jìn)行霍夫曼編碼，請(qǐng)給出編碼過程及結(jié)果，并求該種信源編碼的效率。解：aaa：0.729aab：0.081aba：0.081abb：0.009baa：0.081bab：0.009bba：0.009bbb：0.001設(shè)aaa、aab、bbb分別為x1、x2、x9，按照概率大小依此排列，有x1x2x3x5x4x6x7x8具體編碼過程、結(jié)果、編碼效率略。3. 為了在有噪信道中獲得可靠的通信，擬對(duì)題2的霍夫曼編碼結(jié)果再進(jìn)行信道編碼，

36、若霍夫曼編碼的輸出序列為aabb baaa baba bbaa bbba abbb abab，試給出采用戈萊碼（23，12）編碼的第一個(gè)碼字；如果信道編碼不是采用戈萊碼而是采用縮短的bch（120，78）編碼，試給出構(gòu)造該種編碼的生成多項(xiàng)式的方法以及縮短的方法，分析其糾錯(cuò)和檢錯(cuò)能力，簡(jiǎn)述其編碼和譯碼過程。解：（1）對(duì)戈萊碼（23，12）采用生成多項(xiàng)式為g(x) = x11+ x10+ x6+ x5+ x4 + x2+1，即110001110101令a1，b0，則要編碼的序列為1100 0111 0101 0011 0001 1000 1010 ；由于戈萊碼是非本原bch碼，其編碼規(guī)則與bch碼

37、相同，現(xiàn)采用系統(tǒng)碼，第一個(gè)碼字的編碼過程如下：1100011101010000000000011000111010100000000000因此第一個(gè)戈萊碼碼字為110001110101 00000000000，即監(jiān)督位為全0（11位）。（2）縮短的bch（120，78）原碼為bch（127，85），構(gòu)造該種編碼的生成多項(xiàng)式，可以由 g(x) =lcmf 1(x) +f 2(x) + f 3(x) x6+f 2 t (x)對(duì)于本題，12727，fi(x)是gf(27)上的元素a i的最小多項(xiàng)式，求出a、a 3、a 5、a 7的最小多項(xiàng)式，將它們相乘即得到該種編碼能夠糾5個(gè)錯(cuò)的生成多項(xiàng)式（次數(shù)為1278542）?？s短的方法取原碼bch（127，85）中的一個(gè)子集，其消息位的前7位均為0，編碼方法與原碼相同，只是傳輸時(shí)前7位0不要傳送。由求其生成多項(xiàng)式的過程已知該種編碼的原碼能夠糾5個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤，至少能夠檢測(cè)10個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤，由于其監(jiān)督位的個(gè)數(shù)位42，它能夠檢測(cè)42個(gè)突發(fā)錯(cuò)誤并依概率檢測(cè)大于42個(gè)突發(fā)