北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第一章《證明(二)》知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題匯編

1、bd=cd(中點(diǎn)定義)，abdacd(sss)ad=ad(公共邊)，學(xué)習(xí)-好資料1等腰三角形知識(shí)點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)述為等邊對(duì)等角)用符號(hào)語言表示為：如圖11所示，在abc中，abac，bc定理的證明：取bc的中點(diǎn)d，連接adab=ac(已知),bc(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)定理的作用：證明同一個(gè)三角形中的兩個(gè)內(nèi)角相等拓展等腰三角形還具有其他性質(zhì)(1)等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等，都等于45(2)等腰三角形的底角只能是銳角，不能是鈍角或直角，但頂角可以是銳角、鈍角或直角(3)等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為b，則b2a(4)等腰三

2、角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為a，底角為b，c，則a180bc1802b1802c知識(shí)點(diǎn)2等腰三角形的性質(zhì)定理的推論推論1：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡(jiǎn)稱“三線合一”)(1)用符號(hào)語言表示為：如圖13所示，在abc中，abac，12，adbcbddc；在abc中，abac，adbc，12，bddc；在abc中，abac，bddc，12，adbc(2)推論1的證明在abc中，abac，12，adad，abdacd(sas)bddc，adbadc90adbc在abc中，adbc，adbadc90更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料abac，bc又adad，adbadc(aas)12，

3、bdcd在abc中，abac，adad，bdcd，abdacd(sss)12，adbadc90，adbc.(3)推論1的作用：證明角相等、線段相等或垂直.推論2：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60(1)用符號(hào)語言表示為：如圖14所示，在abc中，abbcac，abc60(2)推論2的證明：abac，bcabbc，acabc又a+b+c180，即3a180，abc60知識(shí)點(diǎn)3等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(簡(jiǎn)述為等角對(duì)等邊)用符號(hào)語言表示為：如圖16所示，在abc中，bc，abac判定定理的證明：如圖16所示過a作adbc于d，則adbad

4、c90bc，ad，abdacd(aas)，abac判定定理的作用：證明同一個(gè)三角形中的邊相等拓展如圖16所示，在abc中，更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料(1)如果adbc，12，那么abac；(2)如果adbc，bddc，那么abac；(3)如果12，bddc，那么abac知識(shí)點(diǎn)4等腰三角形的判定定理的推論推論1(1)推論1的內(nèi)容：有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形(2)用符號(hào)語言表示為：如圖18所示，在abc中，abac，a60(或b60或c60)，abacbc(3)推論1的證明：在abc中，abac，bc1800-a又a60，bc602abacbc(或b60，a1802b60abacbc或

5、c60，a1802c60abacbc)推論2(1)推論2的內(nèi)容：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形(2)用符號(hào)語言表示為：如圖18所示，在abc中，abc，abacbc(3)推論2的證明：在abc中，ab，bcac(等角對(duì)等邊)又bc，abac(等角對(duì)等邊)abacbc(4)推論1和推論2的作用：證明一個(gè)三角形是等邊三角形拓展判定一個(gè)三角形是等邊三角形主要有以下三種方法：(1)根據(jù)等邊三角形的定義，證明三條邊相等；(2)根據(jù)推論1，證明兩條邊相等，有一個(gè)角是60；(3)根據(jù)推論2，證明三個(gè)角都相等推論3。(1)推論3的內(nèi)容：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半更

6、多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料(2)用符號(hào)語言表示為：如圖19所示，在abc中，c90，a30，bc(3)推論3的作用：證明一條線段是另一條線段的一半或2倍12ab1=2(角平分線定義),ad=ad(公共邊),1、如圖110所示，在abc中，abac，ad2知識(shí)點(diǎn)5反證法先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后從假設(shè)出發(fā)，推導(dǎo)出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而否定假設(shè)，證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱為反證法拓展反證法是一種常用的間接證明方法，用反證法的一般步驟是：(1)假設(shè)命題不成立；(2)從假設(shè)出發(fā)推導(dǎo)出矛盾；(3)否定假設(shè)，從而肯定命題的結(jié)論規(guī)律方法小結(jié)1轉(zhuǎn)化思想：在等腰三角形的性質(zhì)

7、定理和判定定理的證明過程中，都是通過構(gòu)造全等三角形，轉(zhuǎn)化為全等得以證明的2類比思想：采用類比思想，把等腰三角形的性質(zhì)和判定對(duì)照著學(xué)習(xí)3用反證法進(jìn)行證明時(shí)，注意推理的規(guī)范性和邏輯的嚴(yán)密性，不能忽略任何一種可能的情況探究交流想一想：還有其他方法證明等腰三角形的性質(zhì)定理嗎？解析有，作等腰三角形abc的頂角平分線ad，如圖12所示.ab=ac(已知),abdacd(sas).bc(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)課堂檢測(cè)2ac，aeab求證bdce33更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料2、如圖112所示，已知點(diǎn)d，e在abc的邊bc上，abac，adae求證bdce3、如圖113所示，已知cae是abc的一個(gè)外角，12

8、，adbc，求證abc是等腰三角形的高為h，若點(diǎn)p在邊bc上，如圖117(1)所示，此時(shí)h0，可得結(jié)論：h+h+hh4、下面是數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)學(xué)習(xí)片段，閱讀后，回答問題學(xué)習(xí)等腰三角形的有關(guān)內(nèi)容后，張老師請(qǐng)同學(xué)們交流討論這樣一個(gè)問題：已知等腰三角形abc的a等于30，求其余兩角“同學(xué)們經(jīng)過片刻的思考與交流后，李明同學(xué)舉手說：其余兩角是30和120”王華同學(xué)說：其余兩角是75和75”還有一些同學(xué)也提出了不同的看法假如你也在課堂上，你的意見如何?為什么?5、已知等邊三角形abc和點(diǎn)p，設(shè)點(diǎn)p到abc三邊ab，ac，bc的距離分別是h1，h2，h3，abc3123請(qǐng)直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：點(diǎn)p在a

9、bc內(nèi)，如圖117(2)所示點(diǎn)p在abc外，如圖117(3)所示，這兩種情況時(shí)，上述結(jié)論是否還成立?若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，h，h，h與h之間又有怎樣的關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想，不123需證明更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料體驗(yàn)中考1、已知等腰三角形abc的周長(zhǎng)為10若設(shè)腰長(zhǎng)為x，則x的取值范圍是2、如圖120所示，在abc和def中，abde，becf，b1求證acdf(要求：寫出證明過程中的重要依據(jù))知識(shí)概覽圖2直角三角形勾股定理：a2+b2c2（a，b為直角邊長(zhǎng)，c為斜邊長(zhǎng)）勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這直角三角形個(gè)三角形是直角三角形互逆命題與互逆定理直角三角

10、形全等的判定：斜邊、直角邊定理（）知識(shí)點(diǎn)1勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即c2a2+b2(c為斜邊長(zhǎng))勾股定理的作用(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊(2)已知直角三角形的一條邊，求另外兩條邊的數(shù)量關(guān)系(3)用于證明平方關(guān)系的問題(4)利用勾股定理作出長(zhǎng)為n的線段勾股定理的各種表達(dá)形式更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料在rtabc中，c90，a，b，c的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則a2c2b2，b2c2a2，c2a2+b2，ca2+b2，ac2-b2，bc2-a2勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形勾股定理的逆定理的

11、作用：判定某一三角形是否是直角三角形勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理直角三角形的判定(1)首先確定最大邊(如c)(2)驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系若c2a2+b2，則abc是直角三角形；若c2a2+b2，則abc不是直角三角形勾股數(shù)(1)能夠成為直角三角形三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)或勾股弦數(shù)(2)勾股數(shù)必須是正整數(shù)如3，4，5；5，12，13等拓展應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須是在同一直角三角形中；應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形時(shí)，一定是最長(zhǎng)邊所對(duì)的角是直角，其他兩邊所對(duì)的角是銳角知識(shí)點(diǎn)2互逆命題與互逆定理在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件

12、和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題拓展每個(gè)命題都有逆命題原命題是真命題，而它的逆命題不一定是真命題原命題和逆命題的真假性一般有四種情況：真、假；真、真；假、假；假、真更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理稱為互逆定理，其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆定理拓展每個(gè)命題都有逆命題但不是所有的定理都有逆定理.知識(shí)點(diǎn)3直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等這一定理可以簡(jiǎn)單地用“斜邊、直角邊”或“hl”表示定理的作用：判定兩個(gè)直角三角形

13、全等定理的證明：如圖130所示，已知rtabc，rtbc，cc90，abab，acac，求證rtabcrtabc證明：在abc和abc中，cc90，bcab2-ac2，bcab2-ac2.abab，acac，bcbcrtabcrtbc(sss)知識(shí)拓展“hl”是直角三角形所獨(dú)有的判定定理，對(duì)于一般三角形不成立判定兩個(gè)直角三角形全等時(shí)，這兩個(gè)直角三角形已經(jīng)有一對(duì)直角相等的條件，只需找出另外兩個(gè)條件即可，而這兩個(gè)條件中必須有一個(gè)是邊對(duì)應(yīng)相等與一般三角形全等一樣，只有三個(gè)角相等的兩個(gè)直角三角形不一定全等課堂檢測(cè)1、寫出命題“同位角相等，兩直線平行”的逆命題，并判斷真假更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料2、如圖131所示，在rtabc中，acb90，ab50，30，cdab于點(diǎn)d，求cd的長(zhǎng)bc3、在正方形abcd中，如圖132所示，f為dc的中點(diǎn)，e為bc上一點(diǎn)，且ecbc，14求證efa904、試判斷三邊長(zhǎng)分別為2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1(n0)的三角形是否是直角三角形5、如圖1-38所示，一艘貨輪向正北方向航行，在點(diǎn)a處測(cè)得mad30，貨輪以每小時(shí)20海里的速度航行，1小時(shí)后到達(dá)b處，測(cè)得