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文檔簡介
1、常見冪級數(shù)求和函數(shù)方法綜述引言級數(shù)是高等數(shù)學(xué)體系的重要組成部分,它是在生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗推動下逐步形成和發(fā)展起來的。中國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽早在公元263年創(chuàng)立了“割圓術(shù)”,其要旨是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓,從而求得圓的面積。這種“割圓術(shù)”就已經(jīng)建立了級數(shù)的思想方法,即無限多個數(shù)的累加問題。而將一個函數(shù)展開成無窮級數(shù)的概念最早來自于14世紀印度的馬徳哈瓦,他首先發(fā)展了冪級數(shù)的概念,對泰勒級數(shù)、麥克勞林級數(shù)、無窮級數(shù)的有理數(shù)逼近等做了研究。同時,他也開始討論判斷無窮級數(shù)的斂散性方法。到了19世紀,高斯、歐拉、柯西等各自給出了各種判別級數(shù)審斂法則,使級數(shù)理論全面發(fā)展起來。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在冪級數(shù)理
2、論研究上可謂一枝獨秀,清代數(shù)學(xué)家董祐誠、坎各達等運用具有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)特色的方法對三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等初等函數(shù)冪級數(shù)展開問題進行了深入的研究。而今,級數(shù)的理論已經(jīng)發(fā)展的相當(dāng)豐富和完整,在工程實踐中有著廣泛的應(yīng)用,級數(shù)可以用來表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)、也是進行數(shù)值計算的一種工具。它在自然科學(xué)、工程技術(shù)和數(shù)學(xué)本身方面都有廣泛的作用。冪級數(shù)是一類最簡單的函數(shù)項級數(shù),在冪級數(shù)理論中,對給定冪級數(shù)分析其收斂性,求收斂冪級數(shù)的和函數(shù)是重要內(nèi)容之一。但很多人往往對這一內(nèi)容感到困難。產(chǎn)生這一問題的一個重要原因是教材對這一問題討論較少,僅有的一兩個例題使得我們對冪級數(shù)求和中的諸多類型問題感到無從下手。事實上,求冪級數(shù)
3、和函數(shù)的方法與技巧是多種多樣的,一般要綜合運用求導(dǎo)、拼湊、分解等來求解,因此它是一個難度較大、技巧較高的有趣的數(shù)學(xué)問題。一、冪級數(shù)的基本概念 (一)、冪級數(shù)的定義 11、設(shè)是定義在數(shù)集上的一個函數(shù)列,則稱 為定義在上的函數(shù)項級數(shù),簡記為 。2、具有下列形式的函數(shù)項級數(shù)稱為在點處的冪級數(shù)。特別地,在中,令,即上述形式化為稱為在0點的冪級數(shù)。(二)、冪級數(shù)的和函數(shù) 2若對冪級數(shù)中的每一個都有,則稱為冪級數(shù)的和函數(shù)。 冪級數(shù)的部分和記為且部分和有如下性質(zhì) 二、冪級數(shù)求和函數(shù)的幾種方法以下所要介紹的幾種方法旨在分析不同類型的冪級數(shù)該如何進行求和,并且?guī)椭蠹艺莆战忸}技巧。(一)、定義法 3對于冪級數(shù),
4、若前項和函數(shù)列有極限,即 存在,則此冪級數(shù)收斂,且 。 例1:求冪級數(shù)的和函數(shù),其中,。解:當(dāng)時(二)、分項組合法我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)有些冪級數(shù)具有某些明顯的特征,比如可以將已知級數(shù)的通項拆項組合,再計算所拆得各項的和函數(shù),從而求得該級數(shù)的和函數(shù)。例2:求的和函數(shù)。解:易知該級數(shù)的收斂域為當(dāng)時,當(dāng)時 所以 (三)、逐項求導(dǎo)與逐項積分法 若冪級數(shù)的通項系數(shù)是自然數(shù)或相鄰的自然數(shù)相乘的形式,可考慮用“先積分,再求導(dǎo)”的做法;若冪級數(shù)的通項系數(shù)是自然數(shù)的倒數(shù)或相鄰的自然數(shù)乘積的倒數(shù),可考慮用“先求導(dǎo),再積分”的做法。定理 4:設(shè)冪級數(shù)在內(nèi)的和函數(shù)為,則1、 在內(nèi)每一點都是可導(dǎo)的,且有逐項求導(dǎo)公式:求
5、導(dǎo)后的冪級數(shù)與原冪級數(shù)有相同的收斂半徑。2、 在內(nèi)可以積分,且有逐項積分公式:其中是內(nèi)任意一點,積分后的冪級數(shù)與原冪級數(shù)有相同的收斂半徑。在函數(shù)項級數(shù)一致收斂的前提下,對其進行逐項微分或積分。通過逐項求導(dǎo)或逐項積分將給定的冪級數(shù)化為已知和函數(shù)的級數(shù)形式,從而得到新級數(shù)的和函數(shù);將得到的和函數(shù)做與之前相反的分析運算,便得到所求冪級數(shù)的和函數(shù)。例3:求冪級數(shù)的和函數(shù)。解:易知該級數(shù)的收斂域為,在任意區(qū)間上可以逐項積分令 所以 從而可得所求和函數(shù) 例4:求冪級數(shù)的和函數(shù)。解:易知收斂區(qū)間為當(dāng)時,當(dāng)時設(shè) 得出 綜上所述 (四)、代數(shù)方程法此種方法目的在于建立以所求冪級數(shù)的和為變量的代數(shù)方程,并解之,從
6、而得到原冪級數(shù)的和函數(shù)。例5:設(shè)有等差數(shù)列 : 等比數(shù)列 : 則各項為等差數(shù)列、等比數(shù)列對應(yīng)項的乘積所構(gòu)成的級數(shù)為求其和函數(shù),其中為常數(shù)。解:易知此級數(shù)的收斂域為所以 例6:求冪級數(shù) 的和函數(shù),其中 為 的 次多項式。解:記 則 其中 為的次多項式 再使用一次以上的運算方法可得 - 得 其中 為的次多項式 反復(fù)使用以上的方法可以得到這樣就可以求得 。(五)、微分方程法在冪級數(shù)中,有一類含有階乘運算的冪級數(shù),這種冪級數(shù)的和函數(shù)的求法,在現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材中涉及的不多,因此成為很多同學(xué)學(xué)習(xí)的一個盲點。此方法將通過實例介紹這類冪級數(shù)和函數(shù)的求法,把冪級數(shù)求和問題劃歸為求解微分方程的問題,也就是把冪級數(shù)
7、的和函數(shù)微分后,再與原來冪級數(shù)作某種運算,得到一個含有冪級數(shù)和函數(shù)以及和函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式,即微分方程。最后求解此微分方程即得和函數(shù)。例7:求冪級數(shù) 在下列情況下的和函數(shù): ,即公差為的等差數(shù)列,其中為常數(shù); ,即公比為的等比數(shù)列,其中為常數(shù)。解:易知該級數(shù)的收斂域為則 這是一個滿足初始條件的一階常系數(shù)的線性微分方程,解此微分方程得 易知該級數(shù)的收斂域為 這是一個滿足初始條件的一階常系數(shù)的線性微分方程,解此微分方程得 (六)、柯西方法5如果級數(shù) 與 都絕對收斂,作這兩個級數(shù)的乘積,其中,則也絕對收斂,且必有。例8:求冪級數(shù)的和函數(shù)解:令則 為絕對收斂級數(shù)再令為 的泰勒級數(shù):此級數(shù)在內(nèi)是絕對收斂的
8、。從而 所以(七)、差分算子求和法此方法適用于通項系數(shù)是以為自變量的有限次多項式的冪級數(shù)求和問題。若為任意實函數(shù),為差分算子,則定義函數(shù)的一階差分為 階差分為 定理6 :設(shè)為次多項式,則當(dāng)時收斂,而且其和函數(shù) 定理證明:當(dāng)時,冪級數(shù) 收斂,現(xiàn)在定義單位算子及位移算子分別為 則 即由于 所以 例9:求冪級數(shù) 的和函數(shù)解:令 則 故 所以由定理得 則 三、冪級數(shù)求和函數(shù)各種方法特點分析與評價以上介紹了七種求冪級數(shù)和函數(shù)的方法,這也只是若干種求冪級數(shù)和函數(shù)方法中一部分,其他更多的方法還有待探索發(fā)現(xiàn),在此不再進一步探究。下面就以上七種方法再做一點討論:(一)定義法的特點:此方法是根據(jù)求冪級數(shù)部分和函數(shù)
9、列的極限得出的,所以它自然適用于一切形式的冪級數(shù)求和。但是問題在于,對于一些通項比較復(fù)雜的冪級數(shù),冪級數(shù)部分和數(shù)列的極限很難求出,則此方法就會失效。例如冪級數(shù) 的部分和數(shù)列是否收斂就難以判斷,假如要用定義法進行求和,那么就會相當(dāng)困難而得不出結(jié)果。(二)分項組合法特點:要運用這一方法我們首先要對所求冪級數(shù)的各項進行細心的觀察。當(dāng)逐項觀察時發(fā)現(xiàn)不了什么規(guī)律,這時可以隔一項甚至兩項、三項再次觀察,也可以把通項稍作變形再觀察。如果發(fā)現(xiàn)了一題中存在不止一種規(guī)律,那么就把符合同一種規(guī)律的各項組合在一起進行分別計算,最終再聯(lián)列得出所求級數(shù)的和函數(shù)。這種方法在對通項進行拆項上技巧性很強,一般可以利用已知和函數(shù)
10、的冪級數(shù)來進行。(三)逐項求導(dǎo)與逐項積分法,這一方法使用起來比較簡單。遇到一個級數(shù),第一步將其通項單獨拿出來分析。如果開始比較復(fù)雜無從下手,可以試著進行逐次求導(dǎo)、逐次積分、先求導(dǎo)再積分、先積分再求導(dǎo),經(jīng)過幾次運算以后可以變成比較簡單、容易求和的級數(shù)的話,那么先求出新級數(shù)的和,接著再做與之前所做的相反的運算就可以得出原來的級數(shù)的和函數(shù)。這種方法運用時要熟記常見函數(shù)的麥克勞林展開式,此時的展開式就是常見冪級數(shù)的和函數(shù)公式,這種求冪級數(shù)和函數(shù)的方法還可以用來求一些簡單的數(shù)項級數(shù)的和。(四)代數(shù)方程法,看到所求冪級數(shù)時,要仔細觀察相鄰兩項之間是否存在有明顯的關(guān)系,比如:前后兩項之間只相差一個倍數(shù),前一
11、項乘以自變量、自變量的倍數(shù)或自變量的冪得到后一項。一旦發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律時我們就可以果斷的運用代數(shù)方程法求此冪級數(shù)的和函數(shù),這樣可以節(jié)約大量計算時間、帶來很大的方便、提高效率。同樣對于微分方程法,所求冪級數(shù)的一般項中通常含有階乘因子,使用之前先對原來的和函數(shù)做一定的變形,求其一階導(dǎo)數(shù)、必要時還要求其二階導(dǎo)數(shù)、三階導(dǎo)數(shù),將所得結(jié)果與原來和函數(shù)聯(lián)列。如果容易得到一個微分方程,那么就可以轉(zhuǎn)化為求解此微分方程的初值問題解:容易求出初值解,則此解為要求的冪級數(shù)的和函數(shù);若不易求初值解,此法就不再適用。(五)柯西方法、差分算子求和法,這兩種方法的適用條件比較明顯。只要所求級數(shù)的通項可以表示為另外兩個級數(shù)前 n
12、項相應(yīng)乘積之和,且這兩個級數(shù)的和函數(shù)容易求得,那么就可以使用柯西方法將已求得的兩個和函數(shù)相乘而得到所求冪級數(shù)的和函數(shù)。如果遇到通項系數(shù)是以 n 為自變量的有限次多項式的冪級數(shù),那么就可以嘗試使用差分算子求和法對其進行求解。上面是對七種求和函數(shù)的方法分別介紹的,但不是說對于任何一題只要使用其中的一種方法就可以得出結(jié)果,有時候會碰到稍微復(fù)雜的題目,這時可能使用以上任何一種方法都不能得出結(jié)果,而是要綜合使用其中的兩種、三種甚至四種方法才可以順利解答。例10:求冪級數(shù)和函數(shù) 其中 解:令 其中 所以 以上三式相加得 這是一個滿足初始條件的二階常系數(shù)的線性微分方程,解此微分方程得從而 例11:求 的和函
13、數(shù) 。解:易知該冪級數(shù)的收斂域為 令 則 令 所以 這兩題分別綜合用到了以上七種方法中的三個,這樣才得以成功解答。從中我們可以得到啟示,做題時自己的想法不能太單一、閉塞,所謂條條大路通羅馬,要敢于嘗試,相信肯定會有一種相對比較適合的方法的。參考文獻:1 李錚、周放.高等數(shù)學(xué) M .科學(xué)出版社,2001:3912 騰桂蘭、楊萬祿.高等數(shù)學(xué) M .天津大學(xué)出版社,2000:245-2463 王金金、李廣民、于力.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)(第二版) M .西安電子科技大學(xué)出版社,2002.4 陸少華.微積分(第二版) M .上海交通大學(xué)出版社,2002.5 盧丁著,趙慈庚等譯.數(shù)學(xué)分析原理 M .機械工業(yè)出版社,2004:646 黎力軍. 冪級數(shù)的算子求和法 J . 邵陽高專學(xué)報, 1994, 7( 4 ) :311
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