數(shù)學(xué)本科畢業(yè)論文

1、目 錄摘要 1abstract1第一章 緒論21.1前言21.2歸納與類比法的作用21.2.1歸納法的作用21.2.2類比法的作用2第二章歸納與類比法的定義及其特點(diǎn)22.1歸納法與類比法的定義.22.1.1歸納法的定義22.1.類比法的定義22.2歸納法與類比法的特點(diǎn)32.2.1歸納法的特點(diǎn)32.2.1類比法的特點(diǎn)3第三章 歸納與類比的例題33.1歸納與類比在代數(shù)中應(yīng)用43.2歸納與類比在幾何中應(yīng)用53.3歸納與類比在函數(shù)中應(yīng)用63.4歸納與類比的綜合應(yīng)用8第四章 結(jié)論9參考文獻(xiàn)10致謝11歸納與類比在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用學(xué)生：指導(dǎo)教師：摘要：所謂數(shù)學(xué)歸納法，就是從特殊的具體的認(rèn)識(shí)推進(jìn)到一般的

2、抽象的認(rèn)識(shí)的一種思維方式,它是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種常用的有效的思維方式. 類比法是根據(jù)兩個(gè)或兩類事物在某些屬性上相同或相似，而推出它們?cè)谄渌麑傩陨弦蚕嗤蛳嗨频姆椒?。關(guān)鍵詞：歸納法；類比法；數(shù)學(xué)教學(xué)；特例；證明 summarize and analogy in middle school mathematics teaching applicationstudent: guo li zhang supervisor: occurrence yuanabstract : so-called mathematical induction, is from the special specific kno

3、wledge advances into general abstract know a way of thinking, it is of scientific discovery with a long effective way of thinking. the analogy method is based on two or two things in some properties on the same or similar, and introduced them in other attributes on the same or similarkey word: induc

4、tion , the analogy method , mathematics teaching exceptions , proof第一章 緒論1.1 前言歸納法和類比法是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的基本方法。本文在給出歸納法和類比法定義及其特點(diǎn)的基礎(chǔ)上分析了其在數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展教學(xué)中的重要作用。并分別從歸納與類比在代數(shù)、幾何、函數(shù)等例題中再逐步體會(huì)歸納與類比在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.1.2歸納與類比法的作用1.2.1 歸納法的作用歸納法在數(shù)學(xué)上是證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的一種方法。它包括兩個(gè)步驟：(1)驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)自然數(shù)值n=n1(n1=1，2或其他常數(shù))時(shí)，命題正確；(2)假設(shè)當(dāng)n取某一自然數(shù)k時(shí)命題正確，以此

5、類推出當(dāng)n=k+1時(shí)這個(gè)命題也正確。從而就可斷定命題對(duì)于從n1開始的所有自然數(shù)都成立。 1.2.2類比法的作用類比法的作用是“由此及彼”。如果把“此”看作是前提，“彼”看作是結(jié)論，那么類比思維的過程就是一個(gè)推理過程。古典類比法認(rèn)為，如果我們?cè)诒容^過程中發(fā)現(xiàn)被比較的對(duì)象有越來越多的共同點(diǎn)，并且知道其中一個(gè)對(duì)象有某種情況而另一個(gè)對(duì)象還沒有發(fā)現(xiàn)這個(gè)情況，這時(shí)候人們頭腦就有理由進(jìn)行類推，由此認(rèn)定另一對(duì)象也應(yīng)有這個(gè)情況?，F(xiàn)代類比法認(rèn)為，類比之所以能夠“由此及彼”，之間是經(jīng)過了一個(gè)歸納和演繹程序的即：從已知的某個(gè)或某些對(duì)象具有某情況，經(jīng)過歸納得出某類所有對(duì)象都具有這情況，然后再經(jīng)過一個(gè)演繹得出另一個(gè)對(duì)象也

6、具有這個(gè)情況。所謂演繹就是。第二章歸納與類比法的定義及其特點(diǎn)2.1 歸納法與類比法的定義2.1.1 歸納法的定義從許多個(gè)別事例中獲得一個(gè)較具概括性的規(guī)則。這種方法主要是從收集到的既有資料，加以抽絲剝繭地分析，最后得以做出一個(gè)概括性的結(jié)論。2.1.2 類比法的定義類比法是根據(jù)兩個(gè)或兩類事物在某些屬性上相同或相似，而推出它們?cè)谄渌麑傩陨弦蚕嗤蛳嗨频耐评矸椒?，它是一種從特殊到特殊的推理方法，屬于一種橫向思維2.2歸納法與類比法的特點(diǎn)2.2.1歸納法的特點(diǎn)歸納法是依據(jù)若干已知的不完盡的現(xiàn)象推斷上屬未知的現(xiàn)象,因而結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)；歸納法的前提是單個(gè)事實(shí)、特殊情況,所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)的

7、基礎(chǔ)上的.2.2.2類比法的特點(diǎn) 類比法是“先比后推”。“比”是類比的基礎(chǔ)，“比”既要共同點(diǎn)也要“比”不同點(diǎn)。對(duì)象之間的共同點(diǎn)是類比法是否能夠施行的前提條件，沒有共同點(diǎn)的對(duì)象之間是無法進(jìn)行類比推理的。類比不僅是一種從特殊到特殊的推理方法，也是一種探索解題思路、猜測(cè)問題答案或結(jié)論的一種有效的方法。這對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)造性思維能力有著極其重要作用?，F(xiàn)在我先以歸納法為例簡(jiǎn)單的說明一下：多面體的面數(shù)f、頂點(diǎn)數(shù)v和棱數(shù)e之間有什么關(guān)系呢?應(yīng)該從何處著手來研究這個(gè)問題呢?最容易下手的莫過于拿幾個(gè)多面體來看,具體地?cái)?shù)一數(shù)它們的面、頂點(diǎn)和棱，于是產(chǎn)生了下面的表:多 面 體面數(shù)(f)頂點(diǎn)數(shù)(v)

8、棱數(shù)(e)長(zhǎng) 方 體6812三 棱 柱569五 棱 柱71015 三 棱 錐 446 五 棱 錐6610從分析這些特例的數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上就可以歸納出一個(gè)結(jié)論:.（2-1） 盡管這時(shí)還不能認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是正確的,但是它畢竟為我們提供一個(gè)研究的方向,即根據(jù)這個(gè)結(jié)論再去證實(shí)它符合一般多面體的情形.在此就不證明了（這個(gè)很好的運(yùn)用到了歸納法）第三章 歸納與類比的例題歸納與類比法在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用十分廣泛，代數(shù)幾何函數(shù)中都有所用到。下面我將從這幾方面的例題中逐一的介紹和論述。3.1 在代數(shù)中應(yīng)用例1. 已知數(shù)列，。s為其前n項(xiàng)和，求s、s、s、s，推測(cè)s公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明?！窘狻?（就講其中的一種解法）：計(jì)

9、算得s，s，s，s ， 猜測(cè)s (nn)。 （3-1-1） 當(dāng)n1時(shí)，等式顯然成立；假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，即s， （3-1-2）當(dāng)nk1時(shí)，ss , （3-1-3）由此可知，當(dāng)nk1時(shí)等式也成立。綜上所述，等式對(duì)任何nn都成立?！咀ⅰ?把要證的等式s作為目標(biāo)，先通分使分母含有(2k3)，再考慮要約分，而將分子變形，并注意約分后得到（2k3）1。這樣證明的過程簡(jiǎn)潔一些，有效地確定了證題的方向。本題的思路是從試驗(yàn)、觀察出發(fā)，用不完全歸納法做出歸納猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明，這是關(guān)于探索性問題的常見證法，在數(shù)列問題中經(jīng)常見到。 假如猜想后不用數(shù)學(xué)歸納法證明，結(jié)論不一定正確，即使正確，解答過程也

10、不嚴(yán)密。必須要進(jìn)行三步：試值 猜想 證明。例 2：計(jì)算下列式子的值 分析：以上式子是有理數(shù)的除法的運(yùn)算，其中含有整數(shù)和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算。首先我們先看第一個(gè)式子 這是整數(shù)相除，我們可以把它轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)計(jì)算，根據(jù)小學(xué)學(xué)過的分?jǐn)?shù)概念：兩數(shù)相除，可以表示成分?jǐn)?shù)的形式，（運(yùn)用到類比的方法：小學(xué)分?jǐn)?shù)與初中有理數(shù)的除法） ，再看第二個(gè)式子這個(gè)式子是分?jǐn)?shù)相除，我們把它與乘法進(jìn)行比較把轉(zhuǎn)化成 得出？=1，這是在上新課的時(shí)候用的方法即可以把看作得出有理數(shù)除法的法則?！窘狻浚?在解的過程中，一定要注意進(jìn)行類比的相同之處和不同之處轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的要求是什么？分母不能為零和書寫的要求 3.2 在幾何中的運(yùn)用例 3： n個(gè)半圓的圓心

11、在同一條直線上，這n個(gè)半圓每?jī)蓚€(gè)都相交，且都在直線的同側(cè)，問這些半圓被所有的交點(diǎn)最多分成多少段圓弧？分析：設(shè)這些半圓最多互相分成f (n)段圓弧，采用由特殊到一般的方法，進(jìn)行猜想和論證 當(dāng)n=2時(shí)，由圖(1)兩個(gè)半圓交于一點(diǎn)，則分成4段圓弧，故f (2)=4=22當(dāng)n=3時(shí)，由圖(2)三個(gè)半徑交于三點(diǎn)，則分成9段圓弧，故f (3)=9=32由n=4時(shí)，由圖(3)三個(gè)半圓交于6點(diǎn)，則分成16段圓弧，故f(4)=16=42由此猜想滿足條件的n個(gè)半圓互相分成圓弧段有f(n)=n2用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：證明：當(dāng)n=2時(shí)，上面已證設(shè)n=k時(shí)，f (k)=k2，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1個(gè)半圓與原k個(gè)半

12、圓均相交，為獲得最多圓弧，任意三個(gè)半圓不能交于一點(diǎn)，所以第k+1個(gè)半圓把原k個(gè)半圓中的每一個(gè)半圓中的一段弧分成兩段弧，這樣就多出k條圓??；另外原k個(gè)半圓把第k+1個(gè)半圓分成k+1段，這樣又多出了k+1段圓弧 f (k+1)=k2+k+(k+1) =k2+2k+1=(k+1)2 滿足條件的k+1個(gè)半圓被所有的交點(diǎn)最多分成(k+1)2段圓弧由、可知，滿足條件的n個(gè)半圓被所有的交點(diǎn)最多分成n2段圓弧注意；增加一個(gè)半圓時(shí)，圓弧段增加了多少條？可以從f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f(4)=f(3)+3+4中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：f(k+1)=f(k)+k+(k+1)例4：已知p是abc所在平面外一

13、點(diǎn)，已知pa、pb、pc兩兩垂直，ph平面abc于h，求證：證明：連ch延長(zhǎng)交ab于d pcpa，pcpb， pc平面pab pcab，又ph平面abc phab ab平面pch，pdab又papb，由三角形面積公式有 ，又， 同理 3.3 在函數(shù)中的運(yùn)用例 5 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：coscoscos.cos =證畢。這是一道往年的高考題，我們觀察上式中的左邊可以發(fā)現(xiàn)一定的規(guī)律，如單個(gè)式子歸納猜想出從而一步一步的進(jìn)行代換，最后剩下和右邊的式子相同。從而得到證明，在解此類題目的時(shí)候解題前的分析十分重要注意觀察題目中的關(guān)系。運(yùn)用以前學(xué)過的方法公示等計(jì)算。例 6：已知函數(shù)，試求它的反函數(shù)以及反函數(shù)

14、的定義域和值域。 (1-y)=y, （3-3-1） （3-3-2） （3-3-3）反函數(shù)的定義域?yàn)?0，1)，值域?yàn)閥r解析：這道題主要運(yùn)用類比的方法求反函數(shù)的定義域和值域，在學(xué)過反函數(shù)后我們都知道反函數(shù)和原函數(shù)的定義域和值域剛好相反，在解此類題時(shí)，我們只需求出原函數(shù)的定義域和值域那么反函數(shù)的定義域和值域就知道了。3.4 歸納與類比的綜合運(yùn)用例 7：如果空間有n個(gè)平面，其中任何3個(gè)平面至少有1個(gè)公共點(diǎn)，任何3個(gè)平面不共一條直線，任何4個(gè)平面不共有同一點(diǎn)，那么這n個(gè)平面能夠把空間分成幾個(gè)部分？分析：把問題“退”到“平面問題”任何3條直線不相交于同一點(diǎn)，那么這n條直線能夠把平面分成幾個(gè)部分？分1條

15、、2條、3條.直線的個(gè)別情況，運(yùn)用歸納推理，有： k=1,f(1)=f(0)+1=1+1=2； （3-4-1） k=2,f(2)=f(1)+2=2+2=4； （3-4-2） k=3,f(3)=f(2)+3=4+3=7； （3-4-3）k=4,f(4)=f(3)+4=7+4=11； （3-4-4）推測(cè)：k=n,f(n)=f(n-1)+n. （3-4-5）將以上幾個(gè)式子相加，得f(n)=f(0)+(1+2+3+4+n)=1+n(n+1)(nn). （3-4-6） 即平面內(nèi)符合題意的n條直線將該平面分成1+n(n+1)個(gè)部分。第四章 結(jié)論通過以上幾個(gè)例子我們可以簡(jiǎn)單的了解到歸納與類比在中學(xué)中的應(yīng)用十

16、分廣泛的，幾乎可以在中學(xué)數(shù)學(xué)的所有內(nèi)容中看到。本文結(jié)合實(shí)例，對(duì)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行了介紹和論述大量實(shí)踐表明：解數(shù)學(xué)問題時(shí)，首先必須按照問題的要求確立一個(gè)解題目標(biāo)，然后比較初始條件、中間狀態(tài)、解題目標(biāo)之間的差異，以此確定和控制解題方向，再進(jìn)行推理運(yùn)算，使差異逐步縮小，最終實(shí)現(xiàn)解題眾所周知，數(shù)學(xué)歸納法與類比法是重要的證明方法，是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一大難點(diǎn)，為了解決這一難點(diǎn)，可以將目標(biāo)意識(shí)運(yùn)用在數(shù)學(xué)歸納與類比法中。經(jīng)過多年的探索和嘗試,數(shù)學(xué)歸納與類比法在人類的各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)都有很大的貢獻(xiàn)，是科學(xué)研究最基本的方法.參考文獻(xiàn)【1】 黃壽鈺歸納與類比在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2 0 0 0，（ 1 1）【 1 】【2】 陳吉云，郭朋貴，蔣永紅數(shù)學(xué)創(chuàng)新方法漫談（二）歸納法與類比法高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2006，（2） 【2】致謝值此論文完成之際,謹(jǐn)向關(guān)心、