拉普拉斯積分變換

1、拉普拉斯積分變換,1, 拉普拉斯(Laplace)積分變換,拉普拉斯積分變換,2,1 拉氏變換的概念,定義 設(shè)函數(shù),當(dāng),時有定義，而且積分,（s是一個復(fù)參量）,在s的某一域內(nèi)收斂，則由此積分所確定的函數(shù),稱為函數(shù),的拉普拉斯變換式（簡稱拉氏變換式）,記為,F(s)稱為,的拉氏變換（或稱為象函數(shù)）。,一、拉氏變換,拉普拉斯積分變換,3,若F(s)是,的拉氏變換，則稱,為F(s)的拉,氏逆變換（或稱為象原函數(shù)），記為,可以看出，,的拉氏變換，實際上就是,的傅氏變換。,拉普拉斯積分變換,4,例1 求單位階躍函數(shù),的拉氏變換。,解 由拉氏變換的定義,此積分在,時收斂，且,所以,拉普拉斯積分變換,5,例

2、2 求指數(shù)函數(shù),的拉氏變換（k為,解,積分在,時收斂，且有,所以,實數(shù)）。,拉普拉斯積分變換,6,2. 拉氏變換的存在定理,可以看出，拉氏變換存在的條件要比傅氏變換存在的條件弱得多。對于一個函數(shù)，滿足什么條件時，它的拉氏變換一定存在呢？,拉普拉斯積分變換,7,當(dāng),時，,的增長速度不超過某一指數(shù)函,，使得,成立（滿足此條件的函數(shù)，稱它的增大是指數(shù)級,的，c為它的增長指數(shù)）。,拉氏變換的存在定理 若函數(shù),滿足下列條件：,在,的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)；,數(shù)，亦即存在常數(shù)M0及,拉普拉斯積分變換,8,則,的拉氏變換,在半平面,上一定存在，右端的積分在,上絕對收斂而且一致收斂，,并且在,的半平面內(nèi)，,為

3、解析函數(shù)。,拉普拉斯積分變換,9,例3 求正弦函數(shù),（k為實數(shù)）的拉,解,同樣可得余弦函數(shù)的拉氏變換：,氏變換。,拉普拉斯積分變換,10,例6 求單位脈沖函數(shù),的拉氏變換。,利用性質(zhì)：,，有,解,拉普拉斯積分變換,11,例7 求函數(shù),的拉氏變換。,解,在實際工作中，求函數(shù)的拉氏變換可通過拉氏變換表查得。,拉普拉斯積分變換,12,3拉氏變換的性質(zhì),為了敘述方便起見，假定要求拉氏變換的函數(shù)都滿足拉氏變換存在定理中的條件，并且把這些函數(shù)的增長指數(shù)都統(tǒng)一地取為c。以下均設(shè),拉普拉斯積分變換,13,a. 線性性質(zhì) 若,是常數(shù)，則有,根據(jù)定義，利用積分性質(zhì)就可推出這個性質(zhì)。,此性質(zhì)表明：函數(shù)線性組合的拉氏

4、變換等于各函數(shù)拉氏變換的線性組合。,拉普拉斯積分變換,14,b 微分性質(zhì),證 由定義并利用分部積分法得,這個性質(zhì)表明：一個函數(shù)求導(dǎo)后取拉氏變換等于這個函數(shù)的拉氏變換乘以參變數(shù)s，再減去函數(shù)的初值。,拉普拉斯積分變換,15,推論:,特別，當(dāng)初值,時，有,此性質(zhì)使我們有可能將,的微分方程轉(zhuǎn)化為F(s)的,代數(shù)方程，因此它對分析線性系統(tǒng)有著重要的作用。,拉普拉斯積分變換,16,例 求函數(shù),的拉氏變換。,解 由于,由微分性質(zhì)有,即,移項化簡得,拉普拉斯積分變換,17,例 求函數(shù),的拉氏變換，其中m是正整數(shù),解 由于,而,所以,拉普拉斯積分變換,18,即,而,所以,由拉氏變換存在定理，可得到象函數(shù)的微分

5、性質(zhì)：,一般地，有,拉普拉斯積分變換,19,例 求函數(shù),的拉氏變換。,解 因為,根據(jù)象函數(shù)的微分性質(zhì),同理可得，,拉普拉斯積分變換,20,c積分性質(zhì),證 設(shè),，則有,，且,由微分性質(zhì)，有,即,這個性質(zhì)表明：一個函數(shù)積分后再取拉氏變換等于這個函數(shù)的拉氏變換除以復(fù)參數(shù)s。,拉普拉斯積分變換,21,重復(fù)應(yīng)用積分性質(zhì)可得：,此外，由拉氏變換存在定理，還可以得到象函數(shù) 的積分性質(zhì)：,或,一般地，有,拉普拉斯積分變換,22,例 求函數(shù),的拉氏變換。,解 因為,據(jù)象函數(shù)的積分性質(zhì)可知,拉普拉斯積分變換,23,其中,這一公式，常用來計算某些積分。,存在，在象函數(shù)的積分性質(zhì)公式中取s = 0，則有,如果積分,拉

6、普拉斯積分變換,24,例 求積分,解 因為,且,所以,拉普拉斯積分變換,25,d位移性質(zhì) 若,，則有,證,上式右方只是在,中把s換成,，所以,這個性質(zhì)表明：一個象原函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù),eat的拉氏變換等于其象函數(shù)作位移a。,拉普拉斯積分變換,26,例 求,解 因為,利用位移性質(zhì)，可得,拉普拉斯積分變換,27,例 求,解 因為,由位移性質(zhì)得,拉普拉斯積分變換,28,5. 延遲性質(zhì) 若,，又,時,則對于任一非負(fù)實數(shù),有,或,證,拉普拉斯積分變換,29,由于,時，,，所以上式右端第一,個積分為零。對于第二個積分，令,，則,拉普拉斯積分變換,30,函數(shù),與f(t)相比，f(t)是從t = 0開始有非零數(shù)

7、值，,而,是從,開始才有非零數(shù)值，即延遲了一個,時間,。從它們的圖象來講，,的圖象是由f(t)的,圖象沿t 軸向右平移距離而得。,象函數(shù)乘以指數(shù)因子,。,這個性質(zhì)表明，時間函數(shù)延遲,的拉氏變換等于它的,拉普拉斯積分變換,31,例 求函數(shù),的拉氏變換。,解 由于,根據(jù)延遲性質(zhì)，有,拉普拉斯積分變換,32,二、拉氏逆變換,在實際應(yīng)用中常會碰到的問題是：已知象函數(shù),求它的象原函數(shù)f(t)。,由拉氏變換的概念可知，函數(shù) 的拉氏變換就是 的傅氏變換。,拉普拉斯積分變換,33,于是，當(dāng),滿足傅氏積分定理的條件時，,按傅氏積分公式，在,連續(xù)點處有:,拉普拉斯積分變換,34,等式兩邊乘以 ，并考慮到它與積分變

8、量 無關(guān)，則,令 ，有,這就是從象函數(shù)F(s)求它的象原函數(shù)f(t)的一般公式，右端的積分稱為拉氏反演積分。,拉普拉斯積分變換,35,此公式是一個復(fù)變函數(shù)的積分，通常計算起來 比較困難，但當(dāng)F(s)滿足一定條件時，可以用 留數(shù)學(xué)方法來計算這個反演積分，特別當(dāng)F(s) 為有理函數(shù)時更為簡單。,拉普拉斯積分變換,36,定 理,若 是函數(shù) 的所有奇點（適當(dāng)選取 使這些奇點全在 的范圍內(nèi)），且當(dāng) 時， ，則有,即,拉普拉斯積分變換,37,例1：求,的逆變換。,解 : F(s)有兩個一級極點,由拉氏反演積分公式得,拉普拉斯積分變換,38,例2： 求,的逆變換。,解: s=0 為一級極點，s=1為二級極點

9、，拉氏反演積 分公式得,拉普拉斯積分變換,39,例3： 求,的逆變換。,解 : 利用部分分式的方法將F(s)化成,所以,拉普拉斯積分變換,40,卷 積,拉氏變換的卷積性質(zhì)，不僅被用來求某些函數(shù)的逆變換及一些積分值，而且在線性系統(tǒng)的分析中起著重要的作用。,拉普拉斯積分變換,41,1. 卷積的概念,傅氏變換中兩個函數(shù)的卷積是指,在拉氏變換中函數(shù) 如果都滿足條件：當(dāng)t0時，,則上式可寫成,今后如不特別聲明，都假定這些函數(shù)在t0時恒為零。,拉普拉斯積分變換,42,例1 求函數(shù) 和 的卷積， 即求 。,解：根據(jù)定義得：,拉普拉斯積分變換,43,卷積的性質(zhì)：,拉普拉斯積分變換,44,2. 卷積定理,假定

10、， 滿足拉氏變換存在定理中的條件， 且 ，則 的拉 氏變換一定存在，且,或,拉普拉斯積分變換,45,推論,若 滿足拉氏變換存在定理中 的條件，且 ，則有,在拉氏變換的應(yīng)用中，卷積定理起著十分重要的作用。下面舉例說明它在求函數(shù)的逆變換中的應(yīng)用。,拉普拉斯積分變換,46,例2 設(shè) ，求f(t)。,解:,令,則,根據(jù)卷積定理和例1得,拉普拉斯積分變換,47,例3 設(shè) ，求f(t)。,解：,所以,拉普拉斯積分變換,48,例4 設(shè) ，求f(t)。,解：,根據(jù)位移性質(zhì)，,所以,拉普拉斯積分變換,49,拉普拉斯積分變換,50,微分方程的拉氏變換解法,利用拉氏變換的線性性質(zhì)和微分性質(zhì)來解常微分方程，其方法是先取拉氏變換把微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程，根據(jù)這個代數(shù)方程求出象函數(shù)，然后再對象函數(shù)取逆變換就得出原來微分方程的解。解法的的過程如下圖所示。,拉普拉斯積分變換,51,拉普拉斯積分變換,52,例1 求方程 的解。 滿足初始條件,解: 設(shè)Ly(t)=Y(s)。在方程兩邊取拉氏變換，并 考慮到初始條件，得,這是含未知量Y(s)的代數(shù)方程，整理后解 出Y(s)，得所求函數(shù)的拉氏變換,拉普拉斯積分變換,53,取它的逆變換便可以得出所求函數(shù)y(t)。,取逆變換得到所求微分方程的解,拉普拉斯積分變換,54,例2 求方程組,滿足初始條件 的解。,解 設(shè)Ly(t)=Y(s),L