動力氣象學(xué)第十二章 Hydrodynamic Instability

1、Hydrodynamic Instability,通常把未受擾動前系統(tǒng)的狀態(tài)稱為平衡態(tài)(大氣中平衡態(tài)多指按一定方式分布的基本流動)。 擾動使運動離開平衡位置后仍回到它原有的平衡位置，就說平衡態(tài)是穩(wěn)定的；反之，若運動趨向于達到一個新的位置，平衡態(tài)就是不穩(wěn)定的。 大氣中許多充分發(fā)展的有限振幅波動往往是小振幅波不穩(wěn)定發(fā)展的結(jié)果，看成是基本狀態(tài)(層結(jié)、基本氣流等)對于小擾動的不穩(wěn)定性。小擾動隨時間增強，稱基本狀態(tài)是不穩(wěn)定的，有時也說波是不穩(wěn)定的。 流體運動穩(wěn)定性研究的方法有正交模方法(normal mode approach)和整體方法(global approach)，后者包括能量法和Liapuno

2、v直接方法。 以下先用氣塊法求解慣性穩(wěn)定度和層結(jié)穩(wěn)定度的判據(jù)。,1. Inertial stability 假定大氣是正壓的，背景場位勢高度滿足地轉(zhuǎn)平衡關(guān)系：,運動方程則為：,（8.1）,（8.2）,設(shè)初始時刻在y=y0處有一隨基本流移動的氣塊。假定氣塊在與基本氣流垂直的方向上的位移為y，則氣塊的速度通過積分(8.1)得到： (8.3) 相應(yīng)在y0+y的基本流場風(fēng)速為 (8.4),代入(8.2)式可得,于是有 (8.5) 其中定義了絕對動量(absolute momentum)： (8.5)式的解取決于M/y的符號，所以,我們更熟悉的寫法是： (8.6) 因為fug/y就是基本流的絕對渦度。觀

3、測表明，天氣尺度的絕對渦度幾乎總為正，所以大尺度運動一般來說是慣性穩(wěn)定的；慣性不穩(wěn)定一般出現(xiàn)在急流切變區(qū)域或低緯區(qū)域。負的絕對渦度在任意大范圍內(nèi)的出現(xiàn)將立刻引起慣性不穩(wěn)定運動，它會使流體發(fā)生側(cè)向混合，減小切變直到絕對渦度變正為止。,2. STATIC STABILITY 由于 如果d說明隨高度增大，這樣的層結(jié)就是靜力穩(wěn)定的(statically stable)，或稱做穩(wěn)定層結(jié)(stably stratified)。氣塊在穩(wěn)定層結(jié)內(nèi)平衡位置附近的絕熱振蕩稱之為浮力振蕩(buoyancy oscillations)。考慮氣塊在垂直方向發(fā)生一個不引起環(huán)境擾動的位移z，則可知,根據(jù)氣塊法的假定，再利用

4、狀態(tài)方程，便有： 假定氣塊起始高度z=0處位溫為0，在z處環(huán)境位溫為： 絕熱過程中位溫守恒，即氣塊的位溫(z)= 0。上式即為,層結(jié)穩(wěn)定度判據(jù),3. Symmetric Instability,正交模方法,只有當(dāng)ci不為零時，波的振幅才可能隨時間增長出現(xiàn)不穩(wěn)定，此為不穩(wěn)定出現(xiàn)的必要條件。kci稱之為不穩(wěn)定增長率。,BAROTROPIC INSTABILITY 在正壓渦度方程 (8.7) 中令,代入(8.7)式，得,(8.8),令 (8.9) 其中，=r+ii 為y的復(fù)函數(shù)。將(8.9)代入(8.8)，得,(8.10) 通常假定擾動運動限制在y = L的緯向通道內(nèi)，于是(8.10)的邊界條件可取

5、為： (y)=0 at y=L (8.11) 已知(y)的分布，只對相速c的某些值才能求出(8.10)滿足(8.11)的解。也就是只有當(dāng)相速c是一個有正虛部的復(fù)數(shù)時，擾動振幅將隨時間指數(shù)增長。,將(8.10)除以(-c)，便有 (8.12),令,把方程(8.12)分為實部和虛部： (8.13) (8.14),(8.13)式乘以i，(8.14)式乘以r，然后相減 注意到 上式可重寫為： (8.15),將(8.15)對y積分，并利用邊界條件 i=r=0 at y=L,不穩(wěn)定擾動必須存在i0(即ci0)。因為|20在域內(nèi)處處成立，只有當(dāng)d2/dy2在LyL內(nèi)改變符號時，(8.16)式才能滿足不穩(wěn)定波

6、的(必要)條件。即郭曉嵐(H. L. Kuo)定理：,(8.16),(8.17),(8.12) 將 *乘以(8.12) ，再積分，由于,便有,把實部和虛部分開，得,上式因左邊恒為正，于是有,即,Fjortoft定理(正壓不穩(wěn)定第二必要條件)：,正壓不穩(wěn)定的必要條件就是在域內(nèi)某處平均氣流絕對渦度的梯度為零。下圖是非洲東風(fēng)急流區(qū)的絕對渦度廓線，陰影區(qū)為渦度梯度負值區(qū)，它滿足正壓不穩(wěn)定必要條件(8.17)式。,正壓不穩(wěn)定性不僅由基本氣流的特性水平切變所確定，而且擾動必須具有傾斜的空間結(jié)構(gòu)，以致擾動速度分量之間存在一定的相關(guān)性，即基本氣流與擾動的適當(dāng)耦合才能決定波動的穩(wěn)定性。如急流北側(cè)的曳式波或急流南

7、側(cè)的導(dǎo)式波。下面將證明這一結(jié)論 將(8.10)分為實部和虛部，得,上兩式分別乘以的虛部和實部，然后相減，得：,將上式在通道內(nèi)積分，得：,可以證得(參見賀海晏，1982，氣象學(xué)報，40(4)：409-415)：,分母代表一個緯向波長上的平均波動動能。不穩(wěn)定波的增長率與其本身動能成反比，增長率的符號由分子(平均動能和擾動動能的轉(zhuǎn)換項)決定。 絕熱無摩擦正壓大氣中，擾動的發(fā)展所需的能量只能來自于基本氣流的動能轉(zhuǎn)換。,雖然正壓不穩(wěn)定對非洲波提供了一個滿意的發(fā)生機制，也可能在赤道太平洋地區(qū)也起作用，但必須注意到，只有在平均緯向流切變保持不穩(wěn)定時，波動才能從平均流中汲取能量使正壓不穩(wěn)定擾動得以持續(xù)。觀測表

8、明赤道擾動經(jīng)常出現(xiàn)在沒有強的側(cè)向切變的氣流中，所以在熱帶洋面上正壓不穩(wěn)定似乎不是波持續(xù)的主要能源。正壓不穩(wěn)定性并不是只出現(xiàn)在熱帶大氣中，在正壓渦度方程中科氏參數(shù)只是以的形式出現(xiàn)的，所以正壓流在熱帶地區(qū)并沒有特殊的意義。正壓不穩(wěn)定也可以出現(xiàn)在中緯的急流區(qū)，然而，中緯地區(qū)天氣擾動起源與發(fā)展的更重要的機制是斜壓不穩(wěn)定。,Baroclinic Instability: Cyclogenesis 大尺度天氣擾動的發(fā)展常稱作cyclogenesis。這一過程可看成是迭加在不穩(wěn)定緯向流場的微擾動的增幅。在增幅過程中小擾動從基流中汲取勢能和(或)動能。 討論斜壓不穩(wěn)定問題時，首先要給出大氣的垂直結(jié)構(gòu)。處理一般

9、情形下的斜壓不穩(wěn)定問題在數(shù)學(xué)上比較困難，本節(jié)將采用兩層模式來討論。,（8.18）,（8.19）,In middle latitudes baroclinic instability is the most important cyclogenetic process. In baroclinic instability it turns out, as we shall show later, that the potential energy of the basic state flow is converted to potential and kinetic energy of the

10、 perturbation. Thermal advection processes are essential to the development of synoptic systems. The barotropic and modified barotropic models do not allow temperature advection; therefore they cannot forecast the development of new systems. In fact barotropic models are really merely extrapolation

11、formulas which state that the vertical vorticity distribution at any instant is advected isobarically by the wind field.,The fact that barotropic prognoses are quite effective in predicting the evolution of midtropospheric flow for periods of up to two or three days indicates that in the short range

12、, barotropic vorticity advection is the primary mechanism governing the flow. This fact simply reflects the quasi-horizontal and quasi-nondivergent character of midlatitude synoptic scale flows. However, mere advection of the initial circulation field is clearly not satisfactory if we wish to produc

13、e forecasts which are consistently reliable. It is necessary, in addition, to predict the development of new systems.,To include thermal advection processes which are essential for baroclinic development we must use a model which involves more than one data level in the atmosphere. We must also expl

14、icitly use the thermodynamic energy equation. More than a single data level is required because to compute temperature advection we must know the thickness, which in turn requires measurement of the difference in geopotential between two levels in the vertical.,兩層模式中把大氣分成由編號為0, 2,和4的面隔開的兩層，如下圖所示。,將渦

15、度方程(8.18)寫在面1、面3兩個中間層上，但要先估計散度項/p在每一面上的值。將有限差分(finite difference)近似用與垂直導(dǎo)數(shù)項可得： p為02和24面之間的氣壓差，下標表示在(04)某一面上。,1、3面上的渦度方程分別為 (8.20) (8.21) 為簡單起見，已假定4=0，這對于水平地表是近似成立的。,再將熱力學(xué)能量方程(8.19)寫在面2上，用以下差分形式估算/p： 能量方程變成 (8.22) (8.22)右邊第一項是500hPa風(fēng)場對250-750hPa厚度場的平流。然而，在此模式中，500hPa的流函數(shù)2不是預(yù)報值。,所以2必須由250和750hPa之間的線性內(nèi)插

16、而得到： (8.23) 各變量的排列如圖9.1所示。假定流函數(shù)1和3由只依賴于y的基本部分和隨 x和t變化的擾動部分組成，即,(8.24),在面1和面3上的緯向風(fēng)為U1和U3，于是擾動場只與經(jīng)向和垂直速度場有關(guān)。把(8.24)代入(8.20)(8.22)再線性化，便得擾動方程組： (8.25) (8.26) (8.27) 這里使用了-平面近似，V2由1和3線性內(nèi)插得到。,令 , , (8.28) 代入(8.25)(8.27)中得到關(guān)于振幅A，B和C的線性代數(shù)方程組： (8.29) (8.30) (8.31),在系數(shù)行列式為零時，才有非平凡解(nontrivial solutions)。因此，相

17、速c滿足 可解出c的二次方程： (8.32) 推導(dǎo)中已經(jīng)取 ，長度尺度-1稱作變形半徑(radius of deformation)。,或從(8.29)(8.31)消去A、B或C任意兩個也可得到(8.32)。(8.32)關(guān)于相速的解為 (8.33) 其中 Um和UT分別為垂直平均緯向風(fēng)和間隔2p的背景熱成風(fēng)，即,我們已經(jīng)證明了只有相速度滿足(8.33)時，(8.28)是 (8.25)(8.27)的一個解，而方程(8.33)的形式非常復(fù)雜。 如果注意到當(dāng)0時，相速度存在虛部，擾動將指數(shù)增長。在詳細討論(8.33)式的一般性質(zhì)之前，先考慮兩個特例。 一是基流為正壓，UT=0，背景流場沒有熱成風(fēng)，此

18、時相速度為： (8.34),(8.35),它們都是方程(8.32)的解。正壓基流的兩層模式自由擾動有對應(yīng)的實數(shù)值。相速c1就是一維正壓Rossby波的頻散關(guān)系。把(8.34)代入(8.29)(8.31)可求出A=B，C=0，所以擾動是正壓的。另一方面，(8.35)可以解釋為內(nèi)斜壓Rossby波的相速度。注意，c2是具有自由面的均值海洋中類似于Rossby波速的頻散關(guān)系。但在兩層模式中分母中用22代替了海洋中的f02/gH。兩種情形中都有垂直運動伴隨著Rossby波，所以靜力穩(wěn)定性對波速有影響?？梢宰C明，把c2代入(8.29)(8.31)可看出1和3場的位相相差180，所以擾動是斜壓的，雖然基態(tài)

19、是正壓的。同時，2場與250 hPa位勢場相差1/4周期(于是最大上升運動出現(xiàn)在250 hPa槽的西側(cè))。,垂直運動這種型可以這樣理解，因c2Um0，所以擾動型相對于平均氣流是向西移動的。在一個隨平均風(fēng)移動的坐標系中，渦度的變化僅由行星渦度平流和輻散項引起，同時，厚度的變化必須唯一地依賴于垂直運動引起的絕熱加熱或冷卻。因此，為使系統(tǒng)的西移造成的厚度變化就必須在250hPa槽西有上升運動。比較(8.34)和(8.35)可以看出，斜壓模的相速通常比正壓模的小得多，因為，對中緯對流層平均環(huán)境中而言，2210-12m-2，它和緯向波長為4500km的波數(shù)k的平方相當(dāng)。,第二種特殊情形就是假定=0。它相

20、當(dāng)于實驗室中的情形，有上下邊界限制、在水平面上旋轉(zhuǎn)的流體，其重力和旋轉(zhuǎn)矢量處處平行。在此情形下 (8.36) 對緯向波數(shù)滿足 的波動，(8.36)有虛部。因此，對所有超過臨界波長 的波都將發(fā)展。從的定義可知， 對典型的對流層來說，(2)1/2210-3N-1m3s-1。因此，當(dāng)p=500 hPa，f0=10-4s-1時，Lc3000km。,從公式還可以看出，斜壓不穩(wěn)定臨界波長隨靜力穩(wěn)定度而增加。對于短波，靜力穩(wěn)定度增加斜壓穩(wěn)定性的作用定性的理解為：對一正弦擾動，相對渦度以及其涵差平流都隨波數(shù)的平方而增加，涵差渦度平流的存在會產(chǎn)生二級垂直環(huán)流。 所以對一有固定振幅的位勢擾動，和它相伴的垂直環(huán)流相

21、對強度一定隨擾動波長的減小而增強。由于靜力穩(wěn)定性限制垂直位移，最短的波將趨穩(wěn)定。同時使我們感興趣的是，=0時不穩(wěn)定的判據(jù)不依賴于基態(tài)熱成風(fēng) UT.的大小，所有波長大于Lc的波即使在很小的垂直切變條件下都是不穩(wěn)定的。然而，擾動的增長率卻依賴于UT。,從(8.28)知指數(shù)增長率=kci，在此情形下 (8.37) 所以增長率隨平均熱成風(fēng)線性增長。 回到(8.33)式各項都全的一般情形，穩(wěn)定度判據(jù)的最容易理解方式就是計算所謂的中性曲線(neutral curve)，它表示了=0時UT和k的關(guān)聯(lián)，此時流動是邊緣穩(wěn)定的(marginally stable)。從(8.33)知，條件=0意味著 (8.38),

22、這種UT和k之間復(fù)雜的關(guān)系可通過(8.38)式對k4/24求解來顯示，即 在圖8.3中橫坐標為無量綱量k2/22,，它是緯向波長的一個度量；縱坐標是無量綱參數(shù)2UT/,，它正比于熱成風(fēng)。在UT-k平面圖上中性線就是穩(wěn)定區(qū)和不穩(wěn)定區(qū)的分界線。可清楚的看出，效應(yīng)使流動趨于穩(wěn)定，因為此時不穩(wěn)定根存在的條件為,另外，對不穩(wěn)定增長，UT的極小值強烈依賴于k。因此，效應(yīng)使波譜中最長一端(k0)的波受到最強地穩(wěn)定作用。,小于臨界波長的波總是穩(wěn)定的。這種和效應(yīng)相聯(lián)系的長波的穩(wěn)定性作用是由快速西傳的長波(即Rossby波傳播)造成的，只有模式中包含效應(yīng)時才出現(xiàn)?？梢宰C明，斜壓不穩(wěn)定波的傳播速度總是在平均緯向風(fēng)速

23、的極大值和極小值之間。因此，對我們的兩層模式，在中緯度不穩(wěn)定波的通常情形是U1U30，U3crU1。對長波和弱切變基流有crU3 的解，不穩(wěn)定增長不會出現(xiàn)。,將(8.38)對k求導(dǎo)，然后令dUT/dk=0，當(dāng) 時不穩(wěn)定波可能存在的UT有極小值，這個波數(shù)對應(yīng)著最大不穩(wěn)定性(maximum instability)波。觀測到的擾動波數(shù)似乎應(yīng)該接近這個最大不穩(wěn)定性波數(shù)，因為如果UT從零逐漸增大，波數(shù)為k=21/4的擾動首先變得不穩(wěn)定。那些波動就會增幅，在此過程中從平均熱成風(fēng)中吸收能量，反過來使UT減小，使流動趨于穩(wěn)定。在標準靜力穩(wěn)定度條件下，最大不穩(wěn)定性波長大約是4000 km，接近于中緯度天氣系統(tǒng)

24、的平均波長。,另外，此波長的邊緣穩(wěn)定度只要求熱成風(fēng)為UT4ms-1，意味著250和750 hPa之間的切變?yōu)?ms-1。中緯度平均緯向流通常都大于這一切變量，所以，觀測到的中緯天氣系統(tǒng)的變化和這種系統(tǒng)起源于基流斜壓不穩(wěn)定的微擾的假設(shè)是一致的。 當(dāng)然，在實際大氣中，還有其它因素可能影響天氣系統(tǒng)的發(fā)展，如急流區(qū)的側(cè)切變不穩(wěn)定、有限振幅擾動的非線性相互作用、以及潛熱的釋放。然而，觀測研究、實驗室模擬和數(shù)值模式的結(jié)果都表明斜壓不穩(wěn)定是中緯度天氣尺度波動發(fā)展的主要機制。,VERTICAL MOTION IN BAROCLINICALLY UNSTABLE WAVES 兩層模式來自于準地轉(zhuǎn)系統(tǒng)的方程組，強迫的垂直運動應(yīng)符合大氣同時滿足兩個限制的物理機制。這一小節(jié)里將驗證它的正確性，并證明兩層模式的簡化有助于闡明輻散二級環(huán)流的某些方面的特征。 準地轉(zhuǎn)運動要求大氣運動同時滿足渦度變化是準地轉(zhuǎn)的，溫度變化是準靜力平衡的這兩個限制條件。于是渦度和溫度都正比于位勢場的導(dǎo)數(shù)。這就要求垂直運動場必須隨時調(diào)整以使散度場維持渦度變化的準地轉(zhuǎn)性、垂直運動場保持溫度變化的準靜力平衡性。這些準地轉(zhuǎn)模式的特性在兩層模式中得到非常清楚地揭示。,(8.29) (8.30) (8.31) 由(8.29-8.31)消去C，可得： (8.39),(8.40),于是 (8.41) 若令