動(dòng)力氣象學(xué)第十二章 Hydrodynamic Instability

1、Hydrodynamic Instability,通常把未受擾動(dòng)前系統(tǒng)的狀態(tài)稱為平衡態(tài)(大氣中平衡態(tài)多指按一定方式分布的基本流動(dòng))。 擾動(dòng)使運(yùn)動(dòng)離開平衡位置后仍回到它原有的平衡位置，就說(shuō)平衡態(tài)是穩(wěn)定的；反之，若運(yùn)動(dòng)趨向于達(dá)到一個(gè)新的位置，平衡態(tài)就是不穩(wěn)定的。 大氣中許多充分發(fā)展的有限振幅波動(dòng)往往是小振幅波不穩(wěn)定發(fā)展的結(jié)果，看成是基本狀態(tài)(層結(jié)、基本氣流等)對(duì)于小擾動(dòng)的不穩(wěn)定性。小擾動(dòng)隨時(shí)間增強(qiáng)，稱基本狀態(tài)是不穩(wěn)定的，有時(shí)也說(shuō)波是不穩(wěn)定的。 流體運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究的方法有正交模方法(normal mode approach)和整體方法(global approach)，后者包括能量法和Liapuno

2、v直接方法。 以下先用氣塊法求解慣性穩(wěn)定度和層結(jié)穩(wěn)定度的判據(jù)。,1. Inertial stability 假定大氣是正壓的，背景場(chǎng)位勢(shì)高度滿足地轉(zhuǎn)平衡關(guān)系：,運(yùn)動(dòng)方程則為：,（8.1）,（8.2）,設(shè)初始時(shí)刻在y=y0處有一隨基本流移動(dòng)的氣塊。假定氣塊在與基本氣流垂直的方向上的位移為y，則氣塊的速度通過(guò)積分(8.1)得到： (8.3) 相應(yīng)在y0+y的基本流場(chǎng)風(fēng)速為 (8.4),代入(8.2)式可得,于是有 (8.5) 其中定義了絕對(duì)動(dòng)量(absolute momentum)： (8.5)式的解取決于M/y的符號(hào)，所以,我們更熟悉的寫法是： (8.6) 因?yàn)閒ug/y就是基本流的絕對(duì)渦度。觀

3、測(cè)表明，天氣尺度的絕對(duì)渦度幾乎總為正，所以大尺度運(yùn)動(dòng)一般來(lái)說(shuō)是慣性穩(wěn)定的；慣性不穩(wěn)定一般出現(xiàn)在急流切變區(qū)域或低緯區(qū)域。負(fù)的絕對(duì)渦度在任意大范圍內(nèi)的出現(xiàn)將立刻引起慣性不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，它會(huì)使流體發(fā)生側(cè)向混合，減小切變直到絕對(duì)渦度變正為止。,2. STATIC STABILITY 由于 如果d說(shuō)明隨高度增大，這樣的層結(jié)就是靜力穩(wěn)定的(statically stable)，或稱做穩(wěn)定層結(jié)(stably stratified)。氣塊在穩(wěn)定層結(jié)內(nèi)平衡位置附近的絕熱振蕩稱之為浮力振蕩(buoyancy oscillations)?？紤]氣塊在垂直方向發(fā)生一個(gè)不引起環(huán)境擾動(dòng)的位移z，則可知,根據(jù)氣塊法的假定，再利用

4、狀態(tài)方程，便有： 假定氣塊起始高度z=0處位溫為0，在z處環(huán)境位溫為： 絕熱過(guò)程中位溫守恒，即氣塊的位溫(z)= 0。上式即為,層結(jié)穩(wěn)定度判據(jù),3. Symmetric Instability,正交模方法,只有當(dāng)ci不為零時(shí)，波的振幅才可能隨時(shí)間增長(zhǎng)出現(xiàn)不穩(wěn)定，此為不穩(wěn)定出現(xiàn)的必要條件。kci稱之為不穩(wěn)定增長(zhǎng)率。,BAROTROPIC INSTABILITY 在正壓渦度方程 (8.7) 中令,代入(8.7)式，得,(8.8),令 (8.9) 其中，=r+ii 為y的復(fù)函數(shù)。將(8.9)代入(8.8)，得,(8.10) 通常假定擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)限制在y = L的緯向通道內(nèi)，于是(8.10)的邊界條件可取

5、為： (y)=0 at y=L (8.11) 已知(y)的分布，只對(duì)相速c的某些值才能求出(8.10)滿足(8.11)的解。也就是只有當(dāng)相速c是一個(gè)有正虛部的復(fù)數(shù)時(shí)，擾動(dòng)振幅將隨時(shí)間指數(shù)增長(zhǎng)。,將(8.10)除以(-c)，便有 (8.12),令,把方程(8.12)分為實(shí)部和虛部： (8.13) (8.14),(8.13)式乘以i，(8.14)式乘以r，然后相減 注意到 上式可重寫為： (8.15),將(8.15)對(duì)y積分，并利用邊界條件 i=r=0 at y=L,不穩(wěn)定擾動(dòng)必須存在i0(即ci0)。因?yàn)閨20在域內(nèi)處處成立，只有當(dāng)d2/dy2在LyL內(nèi)改變符號(hào)時(shí)，(8.16)式才能滿足不穩(wěn)定波

6、的(必要)條件。即郭曉嵐(H. L. Kuo)定理：,(8.16),(8.17),(8.12) 將 *乘以(8.12) ，再積分，由于,便有,把實(shí)部和虛部分開，得,上式因左邊恒為正，于是有,即,Fjortoft定理(正壓不穩(wěn)定第二必要條件)：,正壓不穩(wěn)定的必要條件就是在域內(nèi)某處平均氣流絕對(duì)渦度的梯度為零。下圖是非洲東風(fēng)急流區(qū)的絕對(duì)渦度廓線，陰影區(qū)為渦度梯度負(fù)值區(qū)，它滿足正壓不穩(wěn)定必要條件(8.17)式。,正壓不穩(wěn)定性不僅由基本氣流的特性水平切變所確定，而且擾動(dòng)必須具有傾斜的空間結(jié)構(gòu)，以致擾動(dòng)速度分量之間存在一定的相關(guān)性，即基本氣流與擾動(dòng)的適當(dāng)耦合才能決定波動(dòng)的穩(wěn)定性。如急流北側(cè)的曳式波或急流南

7、側(cè)的導(dǎo)式波。下面將證明這一結(jié)論 將(8.10)分為實(shí)部和虛部，得,上兩式分別乘以的虛部和實(shí)部，然后相減，得：,將上式在通道內(nèi)積分，得：,可以證得(參見(jiàn)賀海晏，1982，氣象學(xué)報(bào)，40(4)：409-415)：,分母代表一個(gè)緯向波長(zhǎng)上的平均波動(dòng)動(dòng)能。不穩(wěn)定波的增長(zhǎng)率與其本身動(dòng)能成反比，增長(zhǎng)率的符號(hào)由分子(平均動(dòng)能和擾動(dòng)動(dòng)能的轉(zhuǎn)換項(xiàng))決定。 絕熱無(wú)摩擦正壓大氣中，擾動(dòng)的發(fā)展所需的能量只能來(lái)自于基本氣流的動(dòng)能轉(zhuǎn)換。,雖然正壓不穩(wěn)定對(duì)非洲波提供了一個(gè)滿意的發(fā)生機(jī)制，也可能在赤道太平洋地區(qū)也起作用，但必須注意到，只有在平均緯向流切變保持不穩(wěn)定時(shí)，波動(dòng)才能從平均流中汲取能量使正壓不穩(wěn)定擾動(dòng)得以持續(xù)。觀測(cè)表

8、明赤道擾動(dòng)經(jīng)常出現(xiàn)在沒(méi)有強(qiáng)的側(cè)向切變的氣流中，所以在熱帶洋面上正壓不穩(wěn)定似乎不是波持續(xù)的主要能源。正壓不穩(wěn)定性并不是只出現(xiàn)在熱帶大氣中，在正壓渦度方程中科氏參數(shù)只是以的形式出現(xiàn)的，所以正壓流在熱帶地區(qū)并沒(méi)有特殊的意義。正壓不穩(wěn)定也可以出現(xiàn)在中緯的急流區(qū)，然而，中緯地區(qū)天氣擾動(dòng)起源與發(fā)展的更重要的機(jī)制是斜壓不穩(wěn)定。,Baroclinic Instability: Cyclogenesis 大尺度天氣擾動(dòng)的發(fā)展常稱作cyclogenesis。這一過(guò)程可看成是迭加在不穩(wěn)定緯向流場(chǎng)的微擾動(dòng)的增幅。在增幅過(guò)程中小擾動(dòng)從基流中汲取勢(shì)能和(或)動(dòng)能。 討論斜壓不穩(wěn)定問(wèn)題時(shí)，首先要給出大氣的垂直結(jié)構(gòu)。處理一般

9、情形下的斜壓不穩(wěn)定問(wèn)題在數(shù)學(xué)上比較困難，本節(jié)將采用兩層模式來(lái)討論。,（8.18）,（8.19）,In middle latitudes baroclinic instability is the most important cyclogenetic process. In baroclinic instability it turns out, as we shall show later, that the potential energy of the basic state flow is converted to potential and kinetic energy of the

10、 perturbation. Thermal advection processes are essential to the development of synoptic systems. The barotropic and modified barotropic models do not allow temperature advection; therefore they cannot forecast the development of new systems. In fact barotropic models are really merely extrapolation

11、formulas which state that the vertical vorticity distribution at any instant is advected isobarically by the wind field.,The fact that barotropic prognoses are quite effective in predicting the evolution of midtropospheric flow for periods of up to two or three days indicates that in the short range

12、, barotropic vorticity advection is the primary mechanism governing the flow. This fact simply reflects the quasi-horizontal and quasi-nondivergent character of midlatitude synoptic scale flows. However, mere advection of the initial circulation field is clearly not satisfactory if we wish to produc

13、e forecasts which are consistently reliable. It is necessary, in addition, to predict the development of new systems.,To include thermal advection processes which are essential for baroclinic development we must use a model which involves more than one data level in the atmosphere. We must also expl

14、icitly use the thermodynamic energy equation. More than a single data level is required because to compute temperature advection we must know the thickness, which in turn requires measurement of the difference in geopotential between two levels in the vertical.,兩層模式中把大氣分成由編號(hào)為0, 2,和4的面隔開的兩層，如下圖所示。,將渦

15、度方程(8.18)寫在面1、面3兩個(gè)中間層上，但要先估計(jì)散度項(xiàng)/p在每一面上的值。將有限差分(finite difference)近似用與垂直導(dǎo)數(shù)項(xiàng)可得： p為02和24面之間的氣壓差，下標(biāo)表示在(04)某一面上。,1、3面上的渦度方程分別為 (8.20) (8.21) 為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，已假定4=0，這對(duì)于水平地表是近似成立的。,再將熱力學(xué)能量方程(8.19)寫在面2上，用以下差分形式估算/p： 能量方程變成 (8.22) (8.22)右邊第一項(xiàng)是500hPa風(fēng)場(chǎng)對(duì)250-750hPa厚度場(chǎng)的平流。然而，在此模式中，500hPa的流函數(shù)2不是預(yù)報(bào)值。,所以2必須由250和750hPa之間的線性內(nèi)插

16、而得到： (8.23) 各變量的排列如圖9.1所示。假定流函數(shù)1和3由只依賴于y的基本部分和隨 x和t變化的擾動(dòng)部分組成，即,(8.24),在面1和面3上的緯向風(fēng)為U1和U3，于是擾動(dòng)場(chǎng)只與經(jīng)向和垂直速度場(chǎng)有關(guān)。把(8.24)代入(8.20)(8.22)再線性化，便得擾動(dòng)方程組： (8.25) (8.26) (8.27) 這里使用了-平面近似，V2由1和3線性內(nèi)插得到。,令 , , (8.28) 代入(8.25)(8.27)中得到關(guān)于振幅A，B和C的線性代數(shù)方程組： (8.29) (8.30) (8.31),在系數(shù)行列式為零時(shí)，才有非平凡解(nontrivial solutions)。因此，相

17、速c滿足 可解出c的二次方程： (8.32) 推導(dǎo)中已經(jīng)取 ，長(zhǎng)度尺度-1稱作變形半徑(radius of deformation)。,或從(8.29)(8.31)消去A、B或C任意兩個(gè)也可得到(8.32)。(8.32)關(guān)于相速的解為 (8.33) 其中 Um和UT分別為垂直平均緯向風(fēng)和間隔2p的背景熱成風(fēng)，即,我們已經(jīng)證明了只有相速度滿足(8.33)時(shí)，(8.28)是 (8.25)(8.27)的一個(gè)解，而方程(8.33)的形式非常復(fù)雜。 如果注意到當(dāng)0時(shí)，相速度存在虛部，擾動(dòng)將指數(shù)增長(zhǎng)。在詳細(xì)討論(8.33)式的一般性質(zhì)之前，先考慮兩個(gè)特例。 一是基流為正壓，UT=0，背景流場(chǎng)沒(méi)有熱成風(fēng)，此

18、時(shí)相速度為： (8.34),(8.35),它們都是方程(8.32)的解。正壓基流的兩層模式自由擾動(dòng)有對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)值。相速c1就是一維正壓Rossby波的頻散關(guān)系。把(8.34)代入(8.29)(8.31)可求出A=B，C=0，所以擾動(dòng)是正壓的。另一方面，(8.35)可以解釋為內(nèi)斜壓Rossby波的相速度。注意，c2是具有自由面的均值海洋中類似于Rossby波速的頻散關(guān)系。但在兩層模式中分母中用22代替了海洋中的f02/gH。兩種情形中都有垂直運(yùn)動(dòng)伴隨著Rossby波，所以靜力穩(wěn)定性對(duì)波速有影響?？梢宰C明，把c2代入(8.29)(8.31)可看出1和3場(chǎng)的位相相差180，所以擾動(dòng)是斜壓的，雖然基態(tài)

19、是正壓的。同時(shí)，2場(chǎng)與250 hPa位勢(shì)場(chǎng)相差1/4周期(于是最大上升運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)在250 hPa槽的西側(cè))。,垂直運(yùn)動(dòng)這種型可以這樣理解，因c2Um0，所以擾動(dòng)型相對(duì)于平均氣流是向西移動(dòng)的。在一個(gè)隨平均風(fēng)移動(dòng)的坐標(biāo)系中，渦度的變化僅由行星渦度平流和輻散項(xiàng)引起，同時(shí)，厚度的變化必須唯一地依賴于垂直運(yùn)動(dòng)引起的絕熱加熱或冷卻。因此，為使系統(tǒng)的西移造成的厚度變化就必須在250hPa槽西有上升運(yùn)動(dòng)。比較(8.34)和(8.35)可以看出，斜壓模的相速通常比正壓模的小得多，因?yàn)?，?duì)中緯對(duì)流層平均環(huán)境中而言，2210-12m-2，它和緯向波長(zhǎng)為4500km的波數(shù)k的平方相當(dāng)。,第二種特殊情形就是假定=0。它相

20、當(dāng)于實(shí)驗(yàn)室中的情形，有上下邊界限制、在水平面上旋轉(zhuǎn)的流體，其重力和旋轉(zhuǎn)矢量處處平行。在此情形下 (8.36) 對(duì)緯向波數(shù)滿足 的波動(dòng)，(8.36)有虛部。因此，對(duì)所有超過(guò)臨界波長(zhǎng) 的波都將發(fā)展。從的定義可知， 對(duì)典型的對(duì)流層來(lái)說(shuō)，(2)1/2210-3N-1m3s-1。因此，當(dāng)p=500 hPa，f0=10-4s-1時(shí)，Lc3000km。,從公式還可以看出，斜壓不穩(wěn)定臨界波長(zhǎng)隨靜力穩(wěn)定度而增加。對(duì)于短波，靜力穩(wěn)定度增加斜壓穩(wěn)定性的作用定性的理解為：對(duì)一正弦擾動(dòng)，相對(duì)渦度以及其涵差平流都隨波數(shù)的平方而增加，涵差渦度平流的存在會(huì)產(chǎn)生二級(jí)垂直環(huán)流。 所以對(duì)一有固定振幅的位勢(shì)擾動(dòng)，和它相伴的垂直環(huán)流相

21、對(duì)強(qiáng)度一定隨擾動(dòng)波長(zhǎng)的減小而增強(qiáng)。由于靜力穩(wěn)定性限制垂直位移，最短的波將趨穩(wěn)定。同時(shí)使我們感興趣的是，=0時(shí)不穩(wěn)定的判據(jù)不依賴于基態(tài)熱成風(fēng) UT.的大小，所有波長(zhǎng)大于Lc的波即使在很小的垂直切變條件下都是不穩(wěn)定的。然而，擾動(dòng)的增長(zhǎng)率卻依賴于UT。,從(8.28)知指數(shù)增長(zhǎng)率=kci，在此情形下 (8.37) 所以增長(zhǎng)率隨平均熱成風(fēng)線性增長(zhǎng)。 回到(8.33)式各項(xiàng)都全的一般情形，穩(wěn)定度判據(jù)的最容易理解方式就是計(jì)算所謂的中性曲線(neutral curve)，它表示了=0時(shí)UT和k的關(guān)聯(lián)，此時(shí)流動(dòng)是邊緣穩(wěn)定的(marginally stable)。從(8.33)知，條件=0意味著 (8.38),

22、這種UT和k之間復(fù)雜的關(guān)系可通過(guò)(8.38)式對(duì)k4/24求解來(lái)顯示，即 在圖8.3中橫坐標(biāo)為無(wú)量綱量k2/22,，它是緯向波長(zhǎng)的一個(gè)度量；縱坐標(biāo)是無(wú)量綱參數(shù)2UT/,，它正比于熱成風(fēng)。在UT-k平面圖上中性線就是穩(wěn)定區(qū)和不穩(wěn)定區(qū)的分界線。可清楚的看出，效應(yīng)使流動(dòng)趨于穩(wěn)定，因?yàn)榇藭r(shí)不穩(wěn)定根存在的條件為,另外，對(duì)不穩(wěn)定增長(zhǎng)，UT的極小值強(qiáng)烈依賴于k。因此，效應(yīng)使波譜中最長(zhǎng)一端(k0)的波受到最強(qiáng)地穩(wěn)定作用。,小于臨界波長(zhǎng)的波總是穩(wěn)定的。這種和效應(yīng)相聯(lián)系的長(zhǎng)波的穩(wěn)定性作用是由快速西傳的長(zhǎng)波(即Rossby波傳播)造成的，只有模式中包含效應(yīng)時(shí)才出現(xiàn)?？梢宰C明，斜壓不穩(wěn)定波的傳播速度總是在平均緯向風(fēng)速

23、的極大值和極小值之間。因此，對(duì)我們的兩層模式，在中緯度不穩(wěn)定波的通常情形是U1U30，U3crU1。對(duì)長(zhǎng)波和弱切變基流有crU3 的解，不穩(wěn)定增長(zhǎng)不會(huì)出現(xiàn)。,將(8.38)對(duì)k求導(dǎo)，然后令dUT/dk=0，當(dāng) 時(shí)不穩(wěn)定波可能存在的UT有極小值，這個(gè)波數(shù)對(duì)應(yīng)著最大不穩(wěn)定性(maximum instability)波。觀測(cè)到的擾動(dòng)波數(shù)似乎應(yīng)該接近這個(gè)最大不穩(wěn)定性波數(shù)，因?yàn)槿绻鸘T從零逐漸增大，波數(shù)為k=21/4的擾動(dòng)首先變得不穩(wěn)定。那些波動(dòng)就會(huì)增幅，在此過(guò)程中從平均熱成風(fēng)中吸收能量，反過(guò)來(lái)使UT減小，使流動(dòng)趨于穩(wěn)定。在標(biāo)準(zhǔn)靜力穩(wěn)定度條件下，最大不穩(wěn)定性波長(zhǎng)大約是4000 km，接近于中緯度天氣系統(tǒng)

24、的平均波長(zhǎng)。,另外，此波長(zhǎng)的邊緣穩(wěn)定度只要求熱成風(fēng)為UT4ms-1，意味著250和750 hPa之間的切變?yōu)?ms-1。中緯度平均緯向流通常都大于這一切變量，所以，觀測(cè)到的中緯天氣系統(tǒng)的變化和這種系統(tǒng)起源于基流斜壓不穩(wěn)定的微擾的假設(shè)是一致的。 當(dāng)然，在實(shí)際大氣中，還有其它因素可能影響天氣系統(tǒng)的發(fā)展，如急流區(qū)的側(cè)切變不穩(wěn)定、有限振幅擾動(dòng)的非線性相互作用、以及潛熱的釋放。然而，觀測(cè)研究、實(shí)驗(yàn)室模擬和數(shù)值模式的結(jié)果都表明斜壓不穩(wěn)定是中緯度天氣尺度波動(dòng)發(fā)展的主要機(jī)制。,VERTICAL MOTION IN BAROCLINICALLY UNSTABLE WAVES 兩層模式來(lái)自于準(zhǔn)地轉(zhuǎn)系統(tǒng)的方程組，強(qiáng)迫的垂直運(yùn)動(dòng)應(yīng)符合大氣同時(shí)滿足兩個(gè)限制的物理機(jī)制。這一小節(jié)里將驗(yàn)證它的正確性，并證明兩層模式的簡(jiǎn)化有助于闡明輻散二級(jí)環(huán)流的某些方面的特征。 準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)要求大氣運(yùn)動(dòng)同時(shí)滿足渦度變化是準(zhǔn)地轉(zhuǎn)的，溫度變化是準(zhǔn)靜力平衡的這兩個(gè)限制條件。于是渦度和溫度都正比于位勢(shì)場(chǎng)的導(dǎo)數(shù)。這就要求垂直運(yùn)動(dòng)場(chǎng)必須隨時(shí)調(diào)整以使散度場(chǎng)維持渦度變化的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)性、垂直運(yùn)動(dòng)場(chǎng)保持溫度變化的準(zhǔn)靜力平衡性。這些準(zhǔn)地轉(zhuǎn)模式的特性在兩層模式中得到非常清楚地揭示。,(8.29) (8.30) (8.31) 由(8.29-8.31)消去C，可得： (8.39),(8.40),于是 (8.41) 若令