考點36+橢圓-高考全攻略之備戰(zhàn)2019年高考數(shù)學(xué)(文)考點一遍過

1、（ 1）了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.（ 2）掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).（ 3）理解數(shù)形結(jié)合的思想 .（ 4）了解橢圓的簡單應(yīng)用 .一、橢圓的定義平面上到兩定點F1, F2 的距離的和為常數(shù)（大于兩定點之間的距離）的點P 的軌跡是橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩個定點之間的距離叫做橢圓的焦距，記作F1F22c .定義式：PF1PF22a(2 aF1 F2) .要注意，該常數(shù)必須大于兩定點之間的距離，才能構(gòu)成橢圓.二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在 x 軸上， x2y21(ab0) ；a2b2焦點在 y 軸上， y 2x21(ab0) .a2b

2、2說明： 要注意根據(jù)焦點的位置選擇橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，知道a,b, c 之間的大小關(guān)系和等量關(guān)系：a2c2b2 , a b 0, a c 0 .三、橢圓的圖形及其簡單幾何性質(zhì)i) 圖形焦點在 x 軸上焦點在 y 軸上ii)幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點焦點對稱性離心率x2y21xa( a,0) ，a 2b2( c,0)( ab0)yb(0,b)對稱軸： x0e 1 ，橢軸， y 軸，圓對稱中心：cey2x21ya(0,a) ，原點aa2b2(0,c)( ab0)xb( b,0)注意： 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法可以采用待定系數(shù)法，此時要注意根據(jù)焦點的位置選擇橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；也可以利用橢圓的定義及焦點位置

3、或點的坐標(biāo)確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.求橢圓的離心率主要的方法有：根據(jù)條件分別求出a 與 c ，然后利用 ec計算求得離心率；或者根a據(jù)已知條件建立關(guān)于a,b, c 的等量關(guān)系式或不等關(guān)系式，由此得到方程或不等式，通過解方程或不等式求解離心率的值或取值范圍.四、必記結(jié)論1設(shè)橢圓 x2y2上任意一點P( x, y)，則當(dāng)x0時，|OP |有最小值b， P 點在短軸a2b21(a b 0)端點處；當(dāng)xa 時， | OP | 有最大值 a， P點在長軸端點處2已知過焦點F1 的弦 AB，則 ABF2 的周長為 4A考向一橢圓定義的應(yīng)用1橢圓定義的集合語言: P M |MF1 MF2 |2a,2 a| F1

4、F2 | 往往是解決計算問題的關(guān)鍵，橢圓上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形稱為焦點三角形. 解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義和正弦定理、余弦定理 .以橢圓x2y21(a b0) 上一點 P( x0 , y0 ) ( y01 ( c，0) ，F(xiàn)2 ( c，0) 為頂點的PF1F2a2b20) 和焦點 F中，若 F1 PF2，注意以下公式的靈活運用：（1） | PF1PF2 | 2a ；（2） 4c2 | PF1 |2| PF2|2 2 | PF1 | PF2 |cos ；（3） SPF F21 | PF1 | PF2 |sin .122 解決已知橢圓的焦點位置求方程中的參數(shù)問題，應(yīng)注意結(jié)合焦點位置

5、與橢圓方程形式的對應(yīng)關(guān)系求解 .典例 1已知1， 2 是橢圓 x2y2P 在橢圓上F F1 的兩個焦點，點4 3（ 1）若點 P 到焦點 F1 的距離等于 1，則點 P 到焦點 F2 的距離為 _ ；（ 2）過 F1 作直線與橢圓交于 A，B 兩點，則 ABF2 的周長為 _ ；（ 3）若 PF1 F2120 ，則點 P 到焦點 F1 的距離為 _【答案 】（1） 3；（ 2） 8；（ 3） 6 5【解析 】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：a24 ， b23 ，故 a2 ， b3 ， ca2 b2431（ 3）在 PF1 F2 中，由余弦定理可得| PF2 |2 | PF1 |2| F1 F2 |22

6、| PF1 | F1F2 | cos PF1F2 ，即 |PF2 |2 |PF1|242| PF1 |，由橢圓的定義可得| PF1 | PF2 |2a，兩式聯(lián)立解得| PF1 |51已知 、是橢圓x2y21(a b0) 的兩個焦點，為橢圓上一點，且，若：b2a2的面積為9，則 的值為A1B 2C3D 4考向二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的方程有兩種方法:（ 1）定義法 . 根據(jù)橢圓的定義，確定 a2, b2 的值，結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程.（ 2）待定系數(shù)法 . 這種方法是求橢圓的方程的常用方法，其一般步驟是：第一步，做判斷. 根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在x 軸上，還是在y 軸上，還是兩個坐標(biāo)軸都有可

7、能（這時需要分類討論） .第二步，設(shè)方程 . 根據(jù)上述判斷設(shè)方程為x2y21(a b 0) 或 y2x21(a b0) .a2b2a2b2第三步，找關(guān)系 . 根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a, b, c 的方程組（注意橢圓中固有的等式關(guān)系c2a2b2 ） .第四步，得橢圓方程. 解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.【注意】用待定系數(shù)法求橢圓的方程時，要“先定型，再定量”，不能確定焦點的位置時，可進(jìn)行分類討論或把橢圓的方程設(shè)為mx2ny 21(m0， n0且 mn) .典例 2橢圓以 x 軸和 y 軸為對稱軸 , 經(jīng)過點 (2,0),長軸長是短軸長的2 倍 , 則橢圓的方程為A x2y 21B y 2

8、x214164C x2y 21 或 y2x21D x2y21 或 y2x21416444【答案】 C2已知 F1x2y21(a b 0)的兩個焦點 , 過點 F2作橢圓的弦 AB, 若 AF1 B 的周長為 16, 橢,F2 為橢2b2a圓的離心率 e3，則橢圓的方程為2A x2y21B x2y2143163C x2y21D x2y211612164考向三橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用1與幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，即使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形. 理解頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量之間的關(guān)系，深挖出它們之間的聯(lián)系，求解自然就不難了.2橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離

9、心率（或離心率的取值范圍）有兩種方法：c（1）求出 a, c，代入公式 e.a（2）只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a,b,c 的齊次式，結(jié)合 b2a2 c2 轉(zhuǎn)化為 a, c 的齊次式，然后等式（不等式）兩邊分別除以 a 或 a2 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 e 或 e2 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（ e 的取值范圍） .典例 3已知橢圓的方程為2x23y2 m， ( m0) ，則此橢圓的離心率為13A 3B321C 2D 2【答案】 Bx2y2【解析】 由題意，得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為m m 1，232m2m a ， b ，23222m c a b ，62c213 e a2 3，即 e 3 . 故選

10、B3設(shè)橢圓 E : x2y2221(a b 0) 的一個焦點為F1,0，點A1,1 為橢圓 E 內(nèi)一點，若橢圓E 上存ab在一點 P ，使得 PAPF9 ，則橢圓 E 的離心率的取值范圍是_1若方程 x2y 21 表示焦點在 y 軸上的橢圓，則實數(shù)m 的取值范圍是m4 mA m2B0m2C 2m 4D m22橢圓的焦點在 y 軸上 , 長軸長是短軸長的兩倍, 則 m=A 1B 142C2D 43 已知橢圓x2y2是線段 PF1 的中點，1001 上的一點到左焦點的距離為，點為坐標(biāo)原點，則36ABCD4已知橢圓的對稱軸與兩條坐標(biāo)軸重合，且長軸長是短軸長的倍，拋物線的焦點與橢圓的一個頂點重合，則橢

11、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為A x2y21B x2y214416C x2y21 或 y2x21D x2y21 或 x2y211644441622的離心率e1則實數(shù) m的取值范圍是5已知橢圓 x +my=1( ,1),2A(0,3)B (3, +)44C(0,3) (4, +)D (3,1) (1,4)434322表示的曲線是橢圓”的6對于常數(shù) m, n, “mn0”是“方程 mx+ny =1A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件7已知橢圓 C: x2+ y2=1( ab0) 的離心率為2 , 右頂點到直線x= a2( c 為橢圓的半焦距 ) 的距離為a2b22c2-2 , 則橢圓

12、C的方程為Ax22Bx2+y2=12+y =142C x2+y2=1D x2+ y2=14648已知橢圓 x2y21(ab 0) ，點 A, B 是長軸的兩個端點， 若橢圓上存在點P ，使得 APB 120，a2b2則該橢圓的離心率的最小值為A2B322C6D 3349已知的頂點、 在橢圓 x2y21上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊3上，則的周長是ABCD10如圖，橢圓x2y2的左、右焦點分別為點為其上的動點，當(dāng)F1PF2為鈍角時，則點91F1、F2，P4P 的橫坐標(biāo)的取值范圍是A35,35B3,35U35,35555C(2 5,2 5)D5 , 5553311已知點 是橢圓

13、 x2y21上一點，是橢圓的焦點，且滿足，則 MF1F2 的面積4為A 1BC 2D 412已知 F 是橢圓 C ： x2y21 的左焦點， P 為 C 上一點， A 1,4，則 PAPF 的最小值為953A 10B 1133C4D 13313已知 m, n, mn 成等差數(shù)列，m, n, mn 成等比數(shù)列，則橢圓x2y21 的離心率為mnA2B 122C 2D23314已知橢圓 x2y21 的兩個焦點是F1 ， F2 ， M 是橢圓上一點，MF1 MF21，則 MF1F2 的形34狀是A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D等邊三角形2215已知橢圓 x2y21(ab0) 的短軸長為 2，上頂

14、點為 A ，左頂點為 B ， F1 , F2 分別是橢圓的左、ab右焦點，且 F1 AB 的面積為2 3 ，點 P 為橢圓上的任意一點，則11PF1的取值范圍為2PF2A1,2B2, 3C2,4D 1,416設(shè)橢圓 x2y21(2 b2 ) 的焦點為 F1, F2 , M222,0 ,N,0 ，若 MN2 F1F2 ，2b2 b22b2則該橢圓離心率取得最小值時的橢圓方程為x2y21x22y21AB322C x2y21D x2y 21222317已知橢圓 x2+ y2=1( ab0) 的左、右焦點分別為F1( -c ,0),F2( c,0)，若橢圓上存在點P，使a2b2ac, 則該橢圓離心率的

15、取值范圍為sinPF1 F2sinPF2F1A (0,2 -1)B (2 ,1)2C (0,2 )D (2 -1,1)218橢圓 x2y21 的焦距等于 _4319 已知橢圓的兩焦點坐標(biāo)分別是2，0、 2，0 ，并且過點 23， 3，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_20已知 F1, F2 為橢圓的兩個焦點, 過 F1 且與橢圓的長軸垂直的直線交橢圓于A, B 兩點 , 若 ABF2 為正三角形 , 則橢圓的離心率為.21已知橢圓 C 的方程為x2y21 ， F1 、 F2 為橢圓上的兩個焦點，點P 在 C 上且 F1PF2168，則三3角形 F1PF2 的面積為 _22如圖 , A, B分別為橢圓 x2

16、y21(a b0) 的左、右頂點 , 點 P在橢圓上 , POB 是面積為 4 的等腰a2b2直角三角形 , 則 b=.23已知 A(1,1)為橢圓 x2y21 內(nèi)一點， F1 為橢圓的左焦點， P 為橢圓上一動點， 則1PA的最大1612PF值為 _.24已知橢圓 C : x2y21(ab 0) 的左、右焦點分別為 F1 , F2 ，離心率為3 ，過 F2 的直線 l 交 Ca2b23于 A, B 兩點，若 AF1B 的周長為 43 ，則橢圓 C 的方程為 _.25設(shè)橢圓 x2y2F1 , F2 , M 是橢圓上任一動點，則uuuur uuuur1 的兩個焦點分別為MF1MF2 的取值范圍4

17、為.26求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1) 焦點分別為 (0, - 2),(0,2),經(jīng)過點 (4,3);(2) 對稱軸為坐標(biāo)軸, 經(jīng)過點 P( - 6,0) 和 Q(0,8).27已知拋物線 C： x2 4y 的焦點為 F，橢圓 E 的中心在原點，焦點在x 軸上，點 F 是它的一個頂點，且其離心率=3 ，求橢圓E的方程e228已知橢圓的兩焦點分別為F1 0,1、F20,1 ，離心率為 1 .2（ 1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ 2）設(shè)點 P 在橢圓上，且PF1PF21，求 cosF1PF2 的值 .29已知橢圓 C的方程為x2y29 k1.k 1（ 1）求 k 的取值范圍；（ 2）若橢圓 C的

18、離心率 e6，求 k 的值 .71（ 2017 浙江）橢圓 x2y 21 的離心率是94A13B533C 2D 5392（ 2018 新課標(biāo)全國文）已知橢圓C ： x2y21 的一個焦點為 (2 ，0) ，則 C 的離心率為a24A 1B 132C2D 22233（ 2017 新課標(biāo)全國文）已知橢圓： x2y21(a b 0) 的左、右頂點分別為1， 2，且以線段1 2Cb2A AA Aa2為直徑的圓與直線 bx ay 2ab0 相切，則 C的離心率為A6B333C2D133x2y21長軸的兩個端點， 若 C上存在點 M滿足 AMB=120 ，4（ 2017 新課標(biāo)全國文） 設(shè) A，B 是橢圓

19、 C：3m則 m的取值范圍是A (0,1 U 9,)B (0,3 U 9,)C (0,1 U 4,)D (0,3 U 4,)5 （ 2018 新課標(biāo)全國文）已知F1 ， F2 是橢圓 C 的兩個焦點，P 是 C 上的一點，若PF1 PF2 ，且PF2 F160 ，則 C 的離心率為3A1B2 3 2C31D3122+y2uuuur uuuur6（ 2018 浙江）已知點 P(0 ，1) ，橢圓 x=m( m1) 上兩點 A，B 滿足 AP =2 PB ，則當(dāng) m=_時，4點 B 橫坐標(biāo)的絕對值最大7（ 2017 江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓x2y2FE :221(a b 0) 的

20、左、右焦點分別為，b1aF2 ，離心率為1 ，兩準(zhǔn)線之間的距離為8點 P 在橢圓 E 上，且位于第一象限，過點F1 作直線 PF1 的2垂線 l1 ，過點 F2 作直線 PF2 的垂線 l 2 （ 1）求橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ 2）若直線 l1 ， l2 的交點 Q 在橢圓 E 上，求點P 的坐標(biāo)（注：橢圓 x2y21(a b 0) 的準(zhǔn)線方程：xa2）a2b2c變式拓展1【答案】 C2【答案】 D【解析】由橢圓的定義得4a16 ，a4 ，又Q 橢圓的離心率 ecc32 3 ，a4，即 c2b2a2c216124 ，橢圓的方程為x2y 21.故選 D1643【答案】1 , 154考點沖關(guān)1【

21、答案】 Bx2y2m0【解析】若方程m0 ，m 41 表示焦點在 y 軸上的橢圓，則 4m4mm解得故選2【答案】 A【解析】橢圓x2my21的標(biāo)準(zhǔn)方程為： x2y 21 ，1mQ 橢圓 x2my21的焦點在 y 軸上，且長軸長是短軸長的兩倍，1m12，解得.m4故選 A.3【答案】 C4【答案】 D【解析】由于橢圓的長軸長是短軸長的2 倍，即有 a2b，又拋物線 y28x 的焦點2,0與橢圓 C 的一個頂點重合，得橢圓經(jīng)過點2,0 ，若焦點在 x 軸上，則 a2， b1，橢圓方程為 x2y21 ；4若焦點在 y 軸上，則 b2， a4，橢圓方程為y2x21 .164橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2

22、y21 或 x2y21 故選44165【答案】 C【解析】橢圓22x2y21.x +my=1 的標(biāo)準(zhǔn)方程為1m又 1e1, 所以 04;m3當(dāng)橢圓的焦點在y 軸上時 , a2=1, b2=1, 則 0m3.m4所以實數(shù) m的取值范圍是0m4.43【名師點睛】橢圓的性質(zhì)分兩類:(1)與坐標(biāo)系無關(guān)的 , 如軸長、焦距、離心率;(2) 與坐標(biāo)系有關(guān)的 , 如頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo) .6【答案】B【解析】由mn0, 得或.m022=1表示的曲線是橢圓, 得 n0 .由方程 mx+nymn故“ mn0”是“方程mx2+ny2=1 表示的曲線是橢圓”的必要不充分條件.7【答案】 A8【答案】 C【解析】設(shè) M

23、為橢圓短軸一端點，則由題意得AMBAPB 120 , 即 AMO 60 ,因為 tanOMAa ，所以 atan603,bb即 a3b, a23 a2c2 ，則 2a23c2 , e22 , e6,選C339【答案】 C【解析】由橢圓x2y21知 a=，長軸長2 =3a，設(shè)直線BC過橢圓的右焦點F2，根據(jù)橢圓的定義可知：|AB|+|BF2|=2 a=， |AC|+|F2C|=2 a=三角形的周長為|AB|+|BF2|+|AC|+|F2C|=4 a=故選C.10【答案】 A11【答案】A【解析】因為, 所以,所以| MF1|2| MF2|2| F1F2|212 .由題意得|MF1| MF2|4

24、, 即| MF1 |2| MF2|22|MF1|MF2 | 16,即122| MF1 |MF2 |16, 解得 |MF1 | MF2 |2.所以的面積1選 MF1 F2S|MF1 |MF2 | 1.A212【答案】 D13【答案】 A【解析】由題意m, n, m n 成等差數(shù)列，知 2nmm n ，所以 n2m ，由 m,n, mn 成等比數(shù)列，得 n2m2 n ，所以 nm2，所以 m22m ，則 m 2 ， n4 ，又橢圓 x2y21，所以 a24, b22 ，mn從而有 c22 ，c2，故選 A所以 e2a14【答案】 B【解析】由題意知MF1 MF24，又 MF1 MF21 ，聯(lián)立后可解得MF15, MF23，2222 F1F22c 2 4 3 2 ， 223255，242 MF2F1F2 ， MF1F2 是直角三角形故選B15【答案】