平面的法向量與平面的向量表示

1、3.2 3.2.2 平面的法向量與平面的向量表示,理解教材新知,把握熱點(diǎn)考向,應(yīng)用創(chuàng)新演練,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,第三章 空間向量與立體幾何,考點(diǎn)三,32.2平面的法向量與平面的向量表示,若l1，l2是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，且l1，l2. 問題1：若l1l2，則與有什么位置關(guān)系？ 提示：. 問題2：若l1l2，則、有什么位置關(guān)系？ 提示：.,1平面的法向量 已知平面，如果向量n的基線與平面 ，則向量n叫做平面的法向量或說向量n與平面正交 2平面的向量表示式 設(shè)A是空間任一點(diǎn)，n為空間內(nèi)任一非零向量，適合條件 n0的點(diǎn)M構(gòu)成的圖形是過點(diǎn)A并且與向量n垂直的 ， 通常稱為一個(gè)平面的向量表示

2、式,垂直,平面,3兩平面平行、垂直的判定 設(shè)n1，n2分別是平面，的法向量，則 或與重合 ； 4正射影與三垂線定理 (1)正射影： 已知平面和一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作的垂線l與相交于點(diǎn) A，則A就是點(diǎn)A在平面內(nèi)的 ，簡稱 ,n1n2,n1n2,n1.n2=0,正射影,射影,(2)三垂線定理： 如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的 垂直，則它也和這條斜線垂直 (3)三垂線定理的逆定理： 如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在平面內(nèi)的 垂直,射影,射影,1用向量法證明線線、線面、面面之間的垂直關(guān)系，主要是找出直線的方向向量、平面的法向量之間的關(guān)系，因此求直線的方向

3、向量及平面的法向量是解題關(guān)鍵 2一個(gè)平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時(shí)，可以根據(jù)需要進(jìn)行選取，一個(gè)平面的所有法向量共線,例1已知點(diǎn)A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)，求平面ABC的一個(gè)法向量,思路點(diǎn)撥,一點(diǎn)通利用待定系數(shù)法求法向量的解題步驟：,1已知平面內(nèi)的兩個(gè)向量a(2，3，1)，b(5，6，4)， 則該平面的一個(gè)法向量為 () A(1，1，1)B(2，1，1) C(2，1，1) D(1，1，1),答案：C,思路點(diǎn)撥建立空間坐標(biāo)系求出平面ADE與平面A1D1F的法向量求解,一點(diǎn)通設(shè)直線l的方向向量a(a1，b1，c1)，平面的法向量u(a2，b2，c2)，平面的法向量v(a3

4、，b3，c3)，且l，與不重合，則 (1)lauau0a1a2b1b2c1c20； (2)lau(a1，b1，c1)(a2，b2，c2)； (3)uv(a2，b2，c2)m(a3，b3，c3)； (4)uvu0a2a3b2b3c2c30.,3在正方體ABCDA1B1C1D1中，求證：平面A1BD平面 CD1B1.,4正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中 點(diǎn)，求證：平面AED平面A1FD1.,證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.,例3在正方體ABCDA1B1C1D1 中，求證：A1C平面BDC1.,思路點(diǎn)撥根據(jù)正方體中的垂直關(guān)系，找到A1C在平面ABCD和平面CDD

5、1C1內(nèi)的射影，由三垂線定理證明BDA1C，C1DA1C.,精解詳析在正方體中，AA1 平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD 內(nèi)的射影，又ACBD，所以BDA1C. 同理D1C是A1C在平面CDD1C1內(nèi)的射影 所以C1DA1C.又C1DBDD，所以A1C平面BDC1.,一點(diǎn)通 (1)三垂線定理及其逆定理主要用于證明空間兩條直線的垂直問題對于同一平面內(nèi)的兩直線垂直問題也可用“平移法”，將其轉(zhuǎn)化為空間兩直線的垂直問題，用三垂線定理證明 (2)當(dāng)圖形比較復(fù)雜時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形，證題的思維過程是“一定二找三證”，即“一定”是定平面和平面內(nèi)的直線，“二找”是找平面的垂線、斜線和斜線在平面內(nèi)的射

6、影，“三證”是證直線垂直于射影或斜線,5正三棱錐PABC中，求證：BCPA.,證明：在正三棱錐PABC中，P在底 面ABC內(nèi)的射影O為正三角形ABC的 中心，連接AO，則AO是PA在底面A BC內(nèi)的射影，且BCAO，所以BC PA.,6在空間四邊形ABCD中，A在平面BCD內(nèi)的射影O1是 BCD的垂心，試證明B在平面ACD內(nèi)的射影O2必是ACD的垂心,證明：連接DO1、BO1、AO2、CO2. O1是BCD的垂心，DO1BC. 又AO1平面BCD，BCAD(三垂 線定理) BC是平面ACD的斜線，BO2平面ACD，CO2是BC在平面ACD內(nèi)的射影， CO2AD(三垂線定理的逆定理)同理，AO2CD. 故O2是ACD的垂心,1確定平面的法向量通常有兩種方法： (1)利用幾何體中已知的線面垂直關(guān)系； (2)用待定系數(shù)法，設(shè)出法向量，根據(jù)它和內(nèi)不共線 兩向量的垂直關(guān)系建立方程組進(jìn)行求解由于一個(gè)平面 的法向量有無數(shù)個(gè)，故可從方程組的解中取一個(gè)最簡單 的作為平面的法向量 2用空間向量處理平行問題的常用方法： (1)線線平行轉(zhuǎn)化為直線的方向向量平行 (2)線面平行轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量垂直,(3)面面平行轉(zhuǎn)化為平面法向量的平行 (4)線線垂直轉(zhuǎn)化為直線的方向向量垂直 (5)線面垂直轉(zhuǎn)化為直線