第三章參數(shù)方程、極坐標(biāo)教案 直線和圓的極坐標(biāo)方程 教案

1、億庫教育網(wǎng) http:/www.eku.cc第三章 參數(shù)方程、極坐標(biāo)教案 直線和圓的極坐標(biāo)方程教案教學(xué)目標(biāo)1理解建立直線和圓的極坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是將已知條件表示成與之間的關(guān)系式2初步掌握求曲線的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用方法和步驟3了解在極坐標(biāo)系內(nèi)，一個方程只能與一條曲線對應(yīng)，但一條曲線即可與多個方程對應(yīng)教學(xué)重點與難點建立直線和圓的極坐標(biāo)方程教學(xué)過程師：前面我們學(xué)習(xí)了極坐標(biāo)系的有關(guān)概念，了解到極坐標(biāo)系是不同于直角坐標(biāo)系的另一種坐標(biāo)系，那么在極坐標(biāo)系下可以解決點的軌跡問題嗎？問題：求過定圓內(nèi)一定點，且與定圓相切的圓的圓心的軌跡方程師：探求軌跡方程的前提是在坐標(biāo)系下，請你據(jù)題設(shè)先合理地建立一個坐標(biāo)系(巡視后，

2、選定兩個做示意圖，(如圖3-8，圖3-9)，畫在黑板上) 解 設(shè)定圓半徑為r，a(m，0)，軌跡上任一點p(x，y)(或p(，)(1)在直角坐標(biāo)系下：|a|=r-|o|，(兩邊再平方，學(xué)生都感到等式的右邊太繁了)師：在直角坐標(biāo)系下，求點p的軌跡方程的化簡過程很麻煩我們看在極坐標(biāo)系下會如何呢？(2)在極坐標(biāo)系下：在aop中|ap|2=|oa|2+|op|2-2|oa|op|cos，即(r-)2=m2+2-2mcos化簡整理，得2mcos-2r=m2-r2，師：對比兩種解法可知，有些軌跡問題在極坐標(biāo)系下解起來反而簡坐標(biāo)方程有什么不同呢？這就是今天這節(jié)課的討論內(nèi)容一、曲線的極坐標(biāo)方程的概念師：在直角

3、坐標(biāo)系中，曲線用含有變量x和y的方程f(x，y)=0表示那么在極坐標(biāo)系中，曲線用含有變量和的方程f(，)=0來表示，也就是說方程f(，)=0應(yīng)稱為極坐標(biāo)方程，如上面問題中的：=(投影)定義：一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果曲線c上的點與一個二元方程f(x，y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：1曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；2以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線師：前面的學(xué)習(xí)知道，坐標(biāo)(，)只與一個點m對應(yīng)，但反過來，點m的極坐標(biāo)都不止一個推而廣之，曲線上的點的極坐標(biāo)有無窮多個這無窮多個極坐標(biāo)都能適合方程f(，)=嗎？如曲線=上有一點(，)，它的

4、另一種形式(-，0)就不適合=方程，這就是說點(，)適合方程，但點(，)的另一種表示方法(-，0)就不適合而(-，0)不適合方程，它表示的點卻在曲線=上因而在定義曲線的極坐標(biāo)方程時，會與曲線的直角坐標(biāo)方程有所不同(先讓學(xué)生參照曲線的直角坐標(biāo)方程的定義敘述曲線的極坐標(biāo)方程的定義，再修正，最后打出投影：曲線的極坐標(biāo)方程的定義)曲線的極坐標(biāo)方程定義：如果極坐標(biāo)系中的曲線c和方程f(，0)=0之間建立了如下關(guān)系：1曲線c上任一點的無窮多個極坐標(biāo)中至少有一個適合方程f(，)=0；2坐標(biāo)滿足f(，)=0的點都在曲線c上，那么方程f(，)=0叫做曲線c的極坐標(biāo)方程師：下面我們學(xué)習(xí)最簡單的曲線：直線和圓的極坐

5、標(biāo)方程求直線和圓的極坐標(biāo)方程的方法和步驟應(yīng)與求直線和圓的直角坐標(biāo)方程的方法和步驟類似，關(guān)鍵是將已知條件表示成和之間的關(guān)系式解 設(shè)m(，)為射線上任意一點，因為xom=，師：過極點的射線的極坐標(biāo)方程的形式你能歸納一下嗎？生：是師：一條曲線可與多個方程對應(yīng)這是極坐標(biāo)方程的一個特點你能猜想一下過極點的直線的極坐標(biāo)方程是什么形式嗎？學(xué)生討論后，得出：=0(0是傾斜角，r)是過極點的直線的極坐標(biāo)方程師：把你認(rèn)為在極坐標(biāo)系下，有特殊位置的直線都畫出來例2 求適合下列條件的極坐標(biāo)方程：(1)過點a(3，)并和極軸垂直的直線；解 (1)設(shè)m(，)是直線上一點(如圖3-15)，即cos=-3為所示解 (2)設(shè)m

6、(，)是直線上一點，過m作mnox于n，則|mn|是點b到ox的距離，師：不過極點也不垂直極軸、不平行極軸的直線的極坐標(biāo)方程如何確立呢？例3 求極坐標(biāo)平面內(nèi)任意位置上的一條直線l的極坐標(biāo)方程(如圖3-17，圖3-18)讓學(xué)生根據(jù)以上兩個圖形討論確定l的元素是什么？結(jié)論直線l的傾斜角，極點到直線l的距離|on|可確定直線l的位置解設(shè)直線l與極軸的夾角為，極點o到直線l的距離為p(極點o到直線l的距離是唯一的定值，故、p都是常數(shù))直線l上任一點m(，)，則在rtmno中|om|sinomn=|on|，即sin(-)=p為直線l的極坐標(biāo)方程(如圖3-19，圖3-20)師：直線的極坐標(biāo)方程的一般式：s

7、in(-)=p，其中是直線的傾斜角，p是極點到l的距離，當(dāng)、p取什么值時，直線的位置是特殊情形呢？當(dāng)=時，sin=p，直線平行極軸；當(dāng)p=0時，=，是過極點的直線師：以上我們研究了極坐標(biāo)系內(nèi)的直線的極坐標(biāo)方程在極坐標(biāo)系中的圓的方程如何確立呢？如圖3-21：圓上任一點m(r，)，即指r時圓上任一點到極點的距離總是r，于是=r是以極點為圓心r為半徑的一個圓的極坐標(biāo)方程師：和在直角坐標(biāo)系中，把x=a和y=b看作是二元方程一樣，=0及=r也應(yīng)看作是二元方程在方程=0中，不出現(xiàn)，說明可取任何非負(fù)實數(shù)值；同樣，在方程=r中，不出現(xiàn)，說明可取任何實數(shù)值例4 求圓心是a(a，0)，半徑是a的圓的極坐標(biāo)方程(讓

8、學(xué)生畫圖，教師巡視參與意見)解設(shè)a交極軸于b，則|ob|=2a，圓上任意一點m(，)，則據(jù)直徑上的圓周角是直角可知：ommb，于是在rtobm中，|om|=|ob|cos，即=2acos就是所求圓的極坐標(biāo)方程如圖3-22師：在極坐標(biāo)系下，目前我們理解下面幾種情形下的圓的極坐標(biāo)方程即可讓學(xué)生自己得出極坐標(biāo)方程圖3-23：=2rcos；圖3-24：=-2rcos；圖3-25：=2rsin；圖3-26：=-2rsin師：建立直線和圓的極坐標(biāo)方程的步驟與建立直線和圓的直角坐標(biāo)方程的步驟一樣，你能小結(jié)一下嗎？(投影)分4個步驟：(1)用(，)表示曲線上任意一點m的坐標(biāo)；(2)寫出適合條件的點m的集合p=m|p(m)；(3)用坐標(biāo)表示條件(m)，列出方程f(，)=0；(4)化方程f(，)=0為最簡形式練習(xí)：分別作出下列極坐標(biāo)方程表示的曲線(2)cos=sin2(cos=0或=2sin)；設(shè)計說明直線和圓的極坐標(biāo)方程一節(jié)的教學(xué)重點是如何根據(jù)條件列出等式至于在極坐標(biāo)系中由于點的極坐標(biāo)的多值性，而帶來的曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)系中的方程有不同的性質(zhì)，這一點只需學(xué)生了解即可另外，由于刪除了3種