平行四邊形法則與勾股定理

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載平行四邊形法則與勾股定理-內(nèi)積與范數(shù)所謂的范數(shù)，就是向量長(zhǎng)度這個(gè)概念在一般向量空間中的推廣。簡(jiǎn)單地講就是從向量空間 一個(gè)函數(shù)丨丨|,滿足如下條件：1）廠卜八：，并且 21 =貶當(dāng)且僅當(dāng)一.13) I - - - I - I - II在一個(gè)內(nèi)積空間中，由內(nèi)積表達(dá)式就可以定義岀一個(gè)范數(shù)，這個(gè)范數(shù)稱為由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)。不是所有的范數(shù)都是由內(nèi)積誘導(dǎo)岀來的。例如，在I,“中，定義范數(shù) II :1 它確實(shí)是范數(shù)但沒有內(nèi)積可以誘導(dǎo)岀這個(gè)范數(shù)。因?yàn)?，?nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)滿足平行四邊形法則：|u + v|2+|-ir| F = 2|u|a + 2|v|a即平行四邊形四邊的平方和等于兩對(duì)角線的平方和。

2、而上面舉的例子顯然不滿足這個(gè)特性。那么是不是一個(gè)范數(shù)只要滿足平行四邊形法則，它就必然是由某個(gè)內(nèi)積誘導(dǎo)岀來的呢？答案是肯定的。證 明見下面。那么平行四邊形法則到底是什么東西？為什么有這么大的魔力，使它成為一個(gè)范數(shù)是否有內(nèi)積背景的唯一 門檻？如果一個(gè)范數(shù)丨丨1是由內(nèi)積誘導(dǎo)的，也就是存在內(nèi)積ArP滿足 計(jì)一新，述 那么它必然帶有內(nèi)積的某些特性，尤其是，內(nèi)積是個(gè)雙線性函數(shù)（復(fù)數(shù)空間上是半雙線性函數(shù)），這就表明內(nèi)積是個(gè)二次式， 導(dǎo)致范數(shù)的平方本身也應(yīng)該是個(gè)二次式。更確切地講，內(nèi)積的半雙線性直接導(dǎo)致余弦定理：|u + |2 = | 恤 | + |v|2 + 幽時(shí)淞一訓(xùn)=訓(xùn)F + |訓(xùn)F 一 2血佃砂但是，

3、這兩個(gè)公式中依然有一個(gè)內(nèi)積，所以無法用這個(gè)來判斷某個(gè)范數(shù)是否由內(nèi)積誘導(dǎo)的，原因是這個(gè)時(shí) 候還不知道內(nèi)積為何物。依照勾股定理的證明，當(dāng)丨 I的時(shí)候，我們可以消除內(nèi)積的身影，即勾股定理的如下形式：當(dāng)冷, -時(shí)，i一討J這樣，這個(gè)條件之中完全沒有內(nèi)積的參與，并且它是范數(shù)由內(nèi)積誘導(dǎo)的必要條件。但是，它是否是充要條 件暫且不論，我們?cè)谟盟袛嗟臅r(shí)候就可能遇到麻煩。因?yàn)橐獢喽ㄒ粋€(gè)范數(shù)不是由內(nèi)積誘導(dǎo)（大多數(shù)情況 下不是），就需要找到兩個(gè)向量滿足I i-I但不滿足 一扛廣亠 這在某些情況下是有困難的還有一種從余弦定理中消除內(nèi)積的方法，就是不管是否有丨- I,我們將余弦定理兩個(gè)式子相加，從而消掉內(nèi)積得到了平行四

4、邊形法則|u + v|2+|u-ir| F = 2|o|a + 2|v|3它是一個(gè)范數(shù)由內(nèi)積誘導(dǎo)的充要條件。從平行四邊形法則，可知，定義于丁曠-上的p-范數(shù)n|（%帀.嚴(yán)j| =（工I巧鬥啟1=1當(dāng)且僅當(dāng)p=2時(shí)是由內(nèi)積誘導(dǎo)的。值得注意的是勾股定理、余弦定理、平行四邊形法則和內(nèi)積誘導(dǎo)范數(shù)之間的關(guān)系，它們?cè)谙旅娴囊饬x下是 等價(jià)的：命題1 :數(shù)域 包含實(shí)數(shù)域，在的一個(gè)賦范向量空間中，如果范數(shù)滿足以下條件之一，那么這個(gè)范數(shù)是由內(nèi)積誘導(dǎo)的。1）滿足平行四邊形法則2）范數(shù)形式勾股定理1 :如果丨!-那么|u-Fav|2 = | + |rw|2TVs E 1R3）范數(shù)形式勾股定理2 :叨比：一匕?。簭V尹叭

5、定義在實(shí)數(shù)域上的函數(shù)：川存在一點(diǎn)滿足n+門=+八：匕匸F為了證明這個(gè)命題，需要首先研究一下定義在實(shí)數(shù)域上的實(shí)值函數(shù). :丨-II，如果一廣則它是常值函數(shù)；否則如果 勺；打線性相關(guān)，則它是一個(gè)絕對(duì)值函數(shù) . 1丨 Ho但在更一般的情況下，它不是一個(gè)規(guī)則的函數(shù)。它有以下一些性質(zhì)：性質(zhì)i:連續(xù)性，在；一“二二：上連續(xù)性質(zhì)2 :若時(shí)那么!x性質(zhì)3 :當(dāng)/ -時(shí)，如果的圖像有對(duì)稱軸，那么它的對(duì)稱軸只有一條。證明：連續(xù)性可由三角不等式得岀：If何一子仙）1 = III卻一訓(xùn)一 |列一訓(xùn) |M-yv| = |雷一訓(xùn)|訓(xùn)。性質(zhì)2同樣也是由三角不等式證明：汁匚= 心-卜初| - |- 江|第三條可以根據(jù)前兩條得

6、出，因?yàn)槿绻麍D像有兩條對(duì)稱軸和，那么有 H= 3飛一匚:和子（b + 町=子（”一耳），將兩式中的 遲分別換成 霄一収和弗一由，有，因此有-:-:.-，:，這說明是周期函數(shù)，又根據(jù)性質(zhì)1知道它是有界的，與性質(zhì) 2矛盾。接下來證明命題1。如果只考慮實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上的向量空間，我們可以由1）-2）-3）-內(nèi)積誘導(dǎo)范數(shù)這樣的順序進(jìn)行證明，可能這樣比較自然一些。但是用 1）證明2）,3）中的任何一條都比較麻煩。因此還是 按照通常的辦法先證明滿足平行四邊形法則的范數(shù)是由內(nèi)積誘導(dǎo)的。命題1的證明：1）如果一個(gè)范數(shù)滿足平行四邊形法則，考察函數(shù) 嘰：；一|； 丨一 W - 首先證明 桃匕丨迅/ =磁唏卜筑汕戶

7、與扳w） = w；y，其中是任意實(shí)數(shù)。要證明 了 廠|上_ |訂* 一 ”1=|包十訓(xùn)F |u訓(xùn)+恤+廿if |w 訓(xùn): 在等式左邊加上I I I 二，根據(jù)平行四邊形法則，左邊等于卜：一： J- I - I I-，與右邊合并同類項(xiàng)，即證明等式 :- - - 一，再次利用平行四邊形法則即可得證。接著證明對(duì)任意實(shí)數(shù)，詁：FT = *製、心。根據(jù)剛才的論述以及前述結(jié)論，了S再I是關(guān)于實(shí)數(shù)x的連續(xù)函數(shù)，且滿足加法的線性，因此它也滿足實(shí)數(shù)乘法的線性。對(duì)于實(shí)數(shù)向量空間，定義內(nèi)積可知它滿足雙線性、對(duì)稱性，以及時(shí)- 奇I對(duì)于復(fù)數(shù)向量空間，定義內(nèi)積也=1血+訓(xùn)*一1恤一叫嚴(yán)+“卩TI即一玩容易驗(yàn)證它滿足半雙線性

8、，共軛對(duì)稱性，以及說 -I ?接下來我們用2）證明3），3）證明1），并用內(nèi)積的性質(zhì)證明 2），從而三個(gè)條件等價(jià)。如果2）滿足，那么 I仁:-匕丁：廣尹心，考慮實(shí)數(shù)域上的函數(shù) ：二 |，根據(jù)前述性質(zhì)，它必有最小值，并且如果不是它的最小值那么必存在異于的點(diǎn)使得 畑=3 這樣,對(duì)于：訃_丄宀，有I. V，即卩I -: -:： I :； -IL這樣再根據(jù)條件2）容易看出 汕就是對(duì)稱軸且是最小值。并且條件3）成立。如果條件3）成立，那么 護(hù),如果廠一則1）顯然成立，否則，取實(shí)變量實(shí)值函數(shù)-：II- - T,其對(duì)稱點(diǎn)為，那么 F T|fT八廣+ I占廠I I U I： - I，I I ；丨匚 - I-：

9、U I：從以上三式容易得到平行四邊形法則即1）成立。如果滿足1），那么這個(gè)范數(shù)是由內(nèi)積誘導(dǎo)出來的，根據(jù)內(nèi)積的性質(zhì)，如果丨- I- |，那么根據(jù)余弦定理，對(duì)于任何實(shí)數(shù)有丘、逬忙=憶ik宀=吒，從而2）成立。命題i證完?？梢?，平行四邊形法則和勾股定理一樣，都是在表達(dá)同樣的意思：由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)的一個(gè)本質(zhì)特征，就 是它是一個(gè)二次根式，且根號(hào)內(nèi)也是二次的。但這些表達(dá)方式里只有平行四邊形法則是最簡(jiǎn)潔的。在命題i的證明中我們還可以注意到這樣的一個(gè)事實(shí)：復(fù)數(shù)向量空間中任何兩個(gè)向量生尹,都可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)使得 氏:訂一-=廠。在命題i中我們是通過分析的方式利用范數(shù)的性質(zhì)解決的，現(xiàn)在用代數(shù)的方法證明這個(gè)命題。因

10、為氏:訂主一當(dāng)且僅當(dāng)- :- 八丨汀，當(dāng)于時(shí)我們可以令，當(dāng)廠時(shí)任何 都滿足條件。從上面分析可看岀，只要讓的實(shí)部滿足一定的條件，即可使勾股定理I - -I得到滿足。用向量的內(nèi)積證明勾股定理一一體會(huì)代數(shù)的威力勾股定理是幾何中一條非常重要的定理，如果少了它，幾何中幾乎所有關(guān)于長(zhǎng)度的計(jì)算公式都將失效，我 們?cè)僖矡o法通過兩點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算它們之間的距離，無法計(jì)算一條曲線的長(zhǎng)度，無法知道圓的方程是二次曲 線，它還間接地影響三角函數(shù)和復(fù)數(shù)等眾多領(lǐng)域，可以說如果沒有勾股定理，數(shù)學(xué)中大部分的內(nèi)容將不得 不被砍掉。勾股定理的證明有很多種，其中有一些證法很麻煩，有一些較簡(jiǎn)潔，我國(guó)的商高、趙爽和古希臘的歐幾里 德都是在直

11、角三角形的三邊上各畫一個(gè)正方形，然后用割補(bǔ)法證明直角邊的兩個(gè)三角形面積之和等于斜邊 上的三角形面積。近現(xiàn)代出現(xiàn)了很多簡(jiǎn)化的證明，其中有很多以面積為工具，有些已相似形理論為工具， 等等。近年來又岀現(xiàn)了利用微積分方法的證明，但它們都沒有逃脫幾何的影子，在證明中都是直接地考察 一個(gè)直角三角形的幾何圖形。關(guān)于代數(shù)與幾何的關(guān)系，初中生有時(shí)候在做零星的幾何題時(shí)會(huì)有所體會(huì)，比如，用方程的方式求解一條線 段的長(zhǎng)度，或求解一個(gè)角，或證明兩個(gè)值之間的關(guān)系，等等。這些代數(shù)的零散應(yīng)用依然沒有逃岀幾何的框 架。代數(shù)第一次大規(guī)模進(jìn)軍幾何領(lǐng)域應(yīng)該是笛卡爾的解析幾何。有了平面或空間上的坐標(biāo)系，每一個(gè)點(diǎn)都有了 一個(gè)坐標(biāo)，使用兩

12、個(gè)或三個(gè)數(shù)組成的數(shù)組就可以表示一個(gè)點(diǎn)，幾何的問題就通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成了代數(shù)中的方 程或計(jì)算的問題。不管多么困難的幾何問題，通過轉(zhuǎn)換，原則上都是可以用代數(shù)方法解決的。不過，勾股定理在這個(gè)過程中起到了一個(gè)更加基礎(chǔ)的作用，坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式就是由勾股定理 得出的，因此無法在解析幾何中用這個(gè)公式再證明勾股定理了?？梢?，在高中的解析幾何中，雖然代數(shù)方法已經(jīng)可以在幾何領(lǐng)域大顯身手，但幾何還是占據(jù)了十分重要的 基礎(chǔ)地位。真正將幾何代數(shù)化，我認(rèn)為是在向量被引入數(shù)學(xué)之后。從此，代數(shù)思想占據(jù)了幾何中更加基礎(chǔ)的位置。從 勾股定理的向量證法中可以很深地體會(huì)這一點(diǎn)。記向量U和v的內(nèi)積為VU,V ，表示U向v投影的長(zhǎng)

13、度與v長(zhǎng)度的乘積，再根據(jù)投影后的U和v是同向還 是異向取正號(hào)或負(fù)號(hào)。顯然 u,v 垂直時(shí) =0，并且可以很容易地證明 vu+v,w=vu,w+vv,w，vu,v+w=vu,v+vu,w，還有，一個(gè)向量的長(zhǎng)度的平方就是它和它自己的內(nèi)積：|u|2=vu,u。有了這些簡(jiǎn)單得近乎顯然的性質(zhì)，就可以輕松地推岀勾股定理： 設(shè)直角三角形兩邊對(duì)應(yīng)向量分別為u,v，那么斜邊的長(zhǎng)度就等于|u+v| ，那么|u+v|2=vu+v,u+v=vu,u+v+vv,u+v=vu,u+vu,v+vv,u+vv,v。因?yàn)?vu,u=|u|2，=|v|2，vu,v=vv,u=0，故得勾股定理：當(dāng)u,v兩向量互相垂直時(shí)，|u+v|

14、2=|u|2+|v|2。我相信有一些人在第一次見到這個(gè)證明的時(shí)候，都和我一樣地感到驚奇，沒有畫任何圖形，甚至沒有考慮 圖形上的任何細(xì)節(jié)和特征，輕描淡寫地幾步運(yùn)算，竟然就這么容易地推出了幾何中一條基本定理！它像魔 法師的兔子一樣跳到你面前，你即使知道了證明的過程，還是不理解它究竟是為什么可以這么證明。你期 望看到魔術(shù)師帽子里的秘密，或者，也許你能發(fā)現(xiàn)下面隱藏著循環(huán)論證的錯(cuò)誤也說不定呢，就像用解析幾 何證明勾股定理一樣的錯(cuò)誤。也許，把它原原本本地還原為一個(gè)幾何的證明會(huì)對(duì)我們的理解有幫助，看看在這奇跡的背后究竟發(fā)生了怎 樣的過程。第一步，|u+v|2=vu+v,u+v，這步?jīng)]什么可說的。第二步，vu

15、+v,u+v=vu,u+v+vv,u+v，這步應(yīng)用了內(nèi)積的線性性質(zhì)，是關(guān)鍵的一步。在圖形上跟蹤一下這個(gè)過程：我們?cè)谝粋€(gè)直角三角形中畫出斜邊上的高，將U+V向自己的投影分解成 U向U+V的投影和v到U+V的投影之和，在圖中U和V向斜邊(U+V)的投影分別是直角三角形斜邊上的頂點(diǎn)到垂足和垂足到另一頂點(diǎn)的向 量，即AD和DC。把這一步還原成幾何的語(yǔ)言就是AC2=AC*(AD+CD)。第三步，=vu,u+vu,v=vu,u=|u|2，和 =+vv,v=vv,v=|v|2，這一步中有意思的是這里， 既可以看成U向U+V投影之后再與U+V乘積，也可以看成U+V到U 的投影與u的乘積，即u的長(zhǎng)度平方，因此這

16、步翻譯成幾何的語(yǔ)言就是AB2=AD*AC。同樣地有=|v|2 等價(jià)于BC2=AC*DC。而這正是初中生都熟知的射影定理。由AC2=AC*(AD+CD) 和AB2=AD*AC、BC2=AC*DC 立即可以得到勾股定理。至此，它背后的秘密算是完全揭開了：內(nèi)積的實(shí)質(zhì)就是投影，內(nèi)積是線性的，是因?yàn)橥队坝成涫蔷€性的，內(nèi)積的交換律也是由投影下形成的相似三角形性質(zhì)決定的，它的特例就是射影定理，因此，用內(nèi)積證明勾 股定理，其實(shí)質(zhì)就是用射影定理證明勾股定理。但是，我還是覺得很神奇，因?yàn)樵谟孟蛄糠治龅臅r(shí)候，我們只是在計(jì)算，雖然它實(shí)質(zhì)上是射影定理，但在 用向量?jī)?nèi)積推導(dǎo)的過程中我絲毫沒有覺察岀它跟幾何有什么聯(lián)系，與絞

17、盡腦汁的幾何證明題相比，我似乎 在不知不覺中就被帶到了真理的地方?？梢?，用向量方法分析和直接用射影定理證明勾股定理，其思維方 式上是有很大差別的。這就是代數(shù)思維和幾何思維的不同之處。為了使直線上的幾何問題代數(shù)化，人們引入正數(shù)和負(fù)數(shù)，為了使平面和空間的幾何問題代數(shù)化，人們引入 坐標(biāo)系，這些都內(nèi)在蘊(yùn)含了向量的思想，但是都沒有明確地把向量的概念提岀來。隨著經(jīng)典力學(xué)的發(fā)展， 隨著人們對(duì)力、加速度、速度和位移這些概念之間關(guān)系的深入研究，矢量這個(gè)概念逐漸被人們認(rèn)識(shí)并加以抽象概括，形成了向量代數(shù)。用向量描述世界，比以前的數(shù)和幾何對(duì)象有更高的概括性和統(tǒng)一性，現(xiàn)在， 以向量空間和它們之間的變換為主要研究對(duì)象的線

18、性代數(shù)已經(jīng)在各個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域中發(fā)揮著無法替代的作用。我們?cè)倏匆幌略谖锢淼哪芰渴睾阌^點(diǎn)下的勾股定理。設(shè)想你把一個(gè)石塊從手中斜拋岀去，石塊初始速度為v0，v0可以分解為水平速度 v1和豎直速度v2，按照向量的寫法，有 你=行!心。石塊的初始動(dòng)能 為挪城,經(jīng)過一段時(shí)間，石塊豎直方向的速度變?yōu)榱?，只剩下水平速度v1，這時(shí)它的動(dòng)能為乍V ，因此有示療洛嘯i舅j的動(dòng)能減少，而勢(shì)能增加量恰好是曲匸一亍汀書，注意它們之間的關(guān)系，當(dāng)且僅當(dāng)- - ： - -7時(shí)，總的機(jī)械能是守恒的。也許，上帝在創(chuàng)造世界的時(shí)候，為了能讓他的能量守恒原 則成立，不得不承認(rèn)勾股定理，或者反過來，因?yàn)橐獎(jiǎng)?chuàng)造一個(gè)滿足勾股定理的世界而使這個(gè)世界上的能量 守恒。想一想在這個(gè)過程中是什么發(fā)揮了主要作用，其中主要的決定性因素就是水平與豎直方向上的運(yùn)動(dòng)互不干 擾，可以說兩個(gè)方向無關(guān)，真實(shí)物體的運(yùn)動(dòng)是兩個(gè)無關(guān)方向上運(yùn)動(dòng)的線性疊加，這樣重力做功才跟路徑無 關(guān)，機(jī)