全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題答案

1、2016年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題答案一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.（1）若反常積分收斂，則（ ）【答案】（c）【解析】在（時收斂），可知，而此時不影響同理，（時收斂），而此時不影響（2）已知函數(shù)，則的一個原函數(shù)是（ ）【答案】（d）【解析】由已知可得，取，故選d（3）若是微分方程的兩個解，則（ ）【答案】（a）【解析】是一階齊次微分方程的解，代入得，所以，根據(jù)解的性質(zhì)得，是的解。所以有.（4）已知函數(shù)，則（ ）（a）是的第一類間斷點 （b）是的第二類間斷點（c）在處連續(xù)但不可

2、導(dǎo) （d）在處可導(dǎo)【答案】（d）【解析】由于，,故選d。（5）設(shè)a，b是可逆矩陣，且a與b相似，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）（a）與相似 （b）與相似 （c）與相似 （d）與相似【答案】（c）【解析】此題是找錯誤的選項。由與相似可知，存在可逆矩陣使得，則此外，在（c）中，對于，若，則，而未必等于，故（c）符合題意。綜上可知，（c）為正確選項。（6）設(shè)二次型，則在空間直角坐標(biāo)下表示的二次曲面為（ ）（a）單葉雙曲面 （b）雙葉雙曲面 （c）橢球面 （d）柱面【答案】（b）【解析】對于二次型， 其矩陣為，接下來由， 可得其特征值為（一正兩負(fù)），因此其正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)分別為1,2.故二次型的規(guī)范形

3、為，即，對應(yīng)的曲面為雙葉雙曲面。（7）設(shè)隨機(jī)變量，記，則（ ）（a）隨著的增加而增加 （b）隨著的增加而增加（c）隨著的增加而減少 （d）隨著的增加而減少【答案】（b）【解析】 所以概率隨著的增大而增大。（8）隨機(jī)試驗有三種兩兩不相容的結(jié)果，且三種結(jié)果發(fā)生的概率均為，將試驗獨立重復(fù)做2次，表示2次試驗中結(jié)果發(fā)生的次數(shù)，表示2次試驗中結(jié)果發(fā)生的次數(shù)，則與的相關(guān)系數(shù)為（ ）【解析】 ， 所以二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9）【答案】【解析】（10）向量場的旋度【答案】【解析】由旋度公式得，11、設(shè)函數(shù)可微，有方程確定，則【答案】【解析】兩邊分別關(guān)于

4、求導(dǎo)得，將代入得，（12）設(shè)函數(shù)，且，則【答案】（13）行列式_.【答案】【解析】（14）設(shè)為來自總體的簡單隨機(jī)樣本，樣本均值，參數(shù)的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間的置信上限為10.8，則的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間為_.【答案】【解析】因為，所以所以置信下限.三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）已知平面區(qū)域，計算二重積分.【答案】【解析】（16）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)滿足方程其中.證明：反常積分收斂；若求的值.【答案】【解析】（1）特征方程為，由可知，特征方程有兩個不相同的特征根，且，由二階

5、常系數(shù)齊次線性方程的求解可知，由于極限存在，故收斂.(2) 由，可知，解得代入可知（17）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)滿足且是從點到點的光滑曲線，計算曲線積分，并求的最小值【答案】3【解析】(1) 由可知： 又 可知 因此 因此，積分與路徑無關(guān) (2) 可知 有唯一駐點 因此 時 有最小值（18）設(shè)有界區(qū)域由平面與三個坐標(biāo)平面圍成，為整個表面的外側(cè)，計算曲面積分【答案】【解析】由高斯公式可知，（19）（本題滿分10分）已知函數(shù)可導(dǎo)，且，設(shè)數(shù)列滿足，證明：（i）級數(shù)絕對收斂；（ii）存在，且.【證明】顯然，收斂因此，絕對收斂；（2）的前項和記為易知，由第一問可知極限存在，因此存在（*）i)由已知，易

6、知不等式兩邊取極限，可知，即；ii)若，則（*）矛盾；iii)若，則由（*）可知，而，顯然矛盾綜上，（20）（本題滿分11分）設(shè)矩陣當(dāng)為何值時，方程無解、有唯一解、有無窮多解？【答案】時，無解；時，有無窮多解，；且時，有唯一解，【解析】（20）（本題滿分11分）設(shè)矩陣當(dāng)為何值時，方程無解、有唯一解、有無窮多解？【答案】時，無解；時，有無窮多解，；且時，有唯一解，【解析】對的增廣陣做初等變換（21）（本題滿分11分）已知矩陣（i）求（ii）設(shè)3階矩陣滿足，記將分別表示為的線性組合?！敬鸢浮浚?）（2）【解析】（）利用相似對角化。由，可得的特征值為，故.當(dāng)時，由，解出此時的屬于特征值的特征向量為;當(dāng)時，由，解出此時的屬于特征值的特征向量為;當(dāng)時，由，解出此時的屬于特征值的特征向量為.設(shè)，由可得，對于，利用初等變換，可求出，故（），由于，故，因此，（22）（本題滿分11分）設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布，令（i）寫出的概率密度；（ii）問與是否相互獨立？并說明理由；（iii）求的分布函數(shù).【答案】（i）（ii）與不獨立，因為；（iii）的分布函數(shù)【解析】（1）區(qū)域d的面積，因為服從區(qū)域d上的均勻分布，所以（2） x與u不獨立.因為所以,故x與u不獨立。（3）又，所以（23）設(shè)總體的概率密度為，其中為未知參數(shù)，為來自總體