完整版)帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題

1、帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題當某種物理現(xiàn)象變化為另一種物理現(xiàn)象或物體從一種狀態(tài)變化為另一種狀態(tài)時， 發(fā)生這 種質(zhì)的飛躍的轉(zhuǎn)折狀態(tài)通常稱為臨界狀態(tài)。粒子進入有邊界的磁場，由于邊界條件的不同， 而出現(xiàn)涉及臨界狀態(tài)的臨界問題， 如帶電粒子恰好不能從某個邊界射出磁場， 可以根據(jù)邊界 條件確定粒子的軌跡、 半徑、 在磁場中的運動時間等。 如何分析這類相關(guān)的問題是本文所討 論的內(nèi)容。一、帶電粒子在有界磁場中運動的分析方法1圓心的確定因為洛倫茲力 F 指向圓心，根據(jù) Fv ，畫出粒子運動軌跡中任意兩點（一般是射入和 射出磁場兩點） ，先作出切線找出 v 的方向再確定 F 的方向， 沿兩個洛倫茲力 F

2、的方向畫其 延長線， 兩延長線的交點即為圓心， 或利用圓心位置必定在圓中一根弦的中垂線上， 作出圓 心位置，如圖 1 所示。2半徑的確定和計算利用平面幾何關(guān)系， 求出該圓的可能半徑 （或圓心角）， 并注意以下兩個重要的幾何特 點：粒子速度的偏向角 等于轉(zhuǎn)過的圓心角 ，并等于 AB弦與切線的夾角（弦切角） 的 2 倍，如圖 2 所示，即 = =2。相對的弦切角 相等，與相鄰的弦切角 互補，即 + =180。3粒子在磁場中運動時間的確定若要計算轉(zhuǎn)過任一段圓弧所用的時間， 則必須確定粒子轉(zhuǎn)過的圓弧所對的圓心角， 利用 圓心角 與弦切角的關(guān)系，或者利用四邊形內(nèi)角和等于360計算出圓心角 的大小，并由表

3、達式 ，確定通過該段圓弧所用的時間，其中T 即為該粒子做圓周運動的周期，轉(zhuǎn)過的圓心角越大，所用時間 t 越長，注意 t 與運動軌跡的長短無關(guān)。4帶電粒子在兩種典型有界磁場中運動情況的分析穿過矩形磁場區(qū)：如圖 3 所示，一定要先畫好輔助線（半徑、速度及延長線）。a、帶電粒子在穿過磁場時的偏向角由sin =L/ R 求出；（ 、L 和 R 見圖標）b、帶電粒子的側(cè)移由R2=L2-（R-y）2解出；（ y 見所圖標）c、帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間由得出。穿過圓形磁場區(qū)： 如圖 4 所示，畫好輔助線 （半徑、 速度、 軌跡圓的圓心、 連心線）a、帶電粒子在穿過磁場時的偏向角可由求出；（ 、r 和 R

4、見圖標）b、帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間由得出。二、帶電粒子在有界磁場中運動類型的分析1給定有界磁場1 ）確定入射速度的大小和方向，判定帶電粒子出射點或其它【例 1】（2001 年江蘇省高考試題）如圖 5 所示，在 ylR，如圖 9 所示，因朝不同方向發(fā)射的粒子的圓軌跡都過S，由此可知，某一圓軌跡在圖中 N左側(cè)與 ab 相切，則此切點 P1就是粒子能打中的左側(cè)最遠點。為定出 P1點的位置，可作平行于 ab的直線 cd，cd到ab的距離為 R，以 S為圓心， R為半徑，作弧 交 cd 于 Q點，過 Q作 ab 的垂線，它與 ab 的交點即為 P1。，再考慮 N 的右側(cè)。任何粒子在運動中離S的距離不

5、可能超過 2R，以 2R 為半徑、 S為圓心作圓，交 ab于 N右側(cè)的 P2點，此即右側(cè)能打到的最遠點。由圖中幾何關(guān)系得，所求長度為 P1P2=NP1+NP2，代入數(shù)值得 P1P2=20cm。點評 ：本題給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射速度的大小， 其對應(yīng)的軌跡半徑也就 確定了。 但由于入射速度的方向發(fā)生改變， 從而改變了該粒子運動軌跡圖， 導致粒子的出射 點位置變化。 在處理這類問題時重點是畫出臨界狀態(tài)粒子運動的軌跡圖 （對應(yīng)的臨界狀態(tài)的 速度的方向），再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對應(yīng)的出射范圍。2給定動態(tài)有界磁場（ 1 ）確定入射速度的大小和方向，判定粒子出射點的位置【例 4】（2006

6、年天津市理綜試題）在以坐標原點O為圓心、半徑為 r 的圓形區(qū)域內(nèi)，存在磁感應(yīng)強度大小為 B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場，如圖10 所示。一個不計重力的帶電粒子從磁場邊界與 x 軸的交點 A處以速度 v 沿 -x 方向射入磁場， 恰好從磁場邊界與 y 軸的交點 C處沿 +y 方向飛出。（ 1）請判斷該粒子帶何種電荷，并求出其比荷q/m；（ 2）若磁場的方向和所在空間范圍不變， 而磁感應(yīng)強度的大小變?yōu)?B，該粒子仍從 A 處以相同的速度射入磁場，但飛出磁場時的速度方向相對于入射方向改變了60 角，求磁感應(yīng)強度 B多大？此次粒子在磁場中運動所用時間t 是多少？解析 ：（ 1）由粒子的飛行軌跡，利用

7、左手定則可知，該粒子帶負電荷。如圖 11 所示，粒子由 A 點射入，由 C點飛出，其速度方向改變了 90，則粒子軌跡半 徑 r=R ，又，則粒子的荷質(zhì)比為 。（ 2）粒子從 D點飛出磁場速度方向改變了 60角，故 AD弧所對圓心角 60，粒子做圓周運動的半徑 ，又 ，所以 ，粒子在磁場中飛行時間：點評 ：本題給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射速度的大小和方向， 但由于有界磁場 發(fā)生改變 （包括磁感應(yīng)強度的大小或方向的改變） ，從而改變了該粒子在有界磁場中運動的 軌跡圖， 導致粒子的出射點位置變化。 在處理這類問題時重點是畫出磁場發(fā)生改變后粒子運 動的軌跡圖，再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對應(yīng)的出

8、射點的位置。（2）確定入射速度和出射速度的大小和方向，判定動態(tài)有界磁場的邊界位置【例 5】（1994 年全國高考試題）如圖 12 所示，一帶電質(zhì)點，質(zhì)量為 m，電量為 q，以 平行于 Ox軸的速度 v 從 y 軸上的 a 點射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質(zhì)點能從x軸上的 b 點以垂直于 Ox軸的速度 v 射出，可在適當?shù)牡胤郊右粋€垂直于 xy 平面、 磁感應(yīng)強 度為 B 的勻強磁場。若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑。 重力忽略不計。解析 ：質(zhì)點在磁場中作半徑為 R的圓周運動，qvB=（Mv2） /R，得 R=（ MV）/ （ qB）。根據(jù)題意， 質(zhì)點在磁場區(qū)域

9、中的軌道是半徑等于 R的圓上的 1/4 圓周， 這段圓弧應(yīng)與入 射方向的速度、出射方向的速度相切。如圖 13 所示，過 a點作平行于 x 軸的直線，過 b點 作平行于 y軸的直線，則與這兩直線均相距 R的 O點就是圓周的圓心。質(zhì)點在磁場區(qū)域中 的軌道就是以 O為圓心、 R為半徑的圓（圖中虛線圓）上的圓弧MN， M點和 N點應(yīng)在所求圓形磁場區(qū)域的邊界上。在通過 M、N兩點的不同的圓周中， 最小的一個是以 MN連線為直徑的圓周。 所以本題所求的圓形磁場區(qū)域的最小半徑為：所求磁場區(qū)域如圖 13 所示中實線圓所示。點評 ：本題給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射速度和出射速度的大小和方向，但由于有界磁場

10、發(fā)生改變 （磁感應(yīng)強度不變， 但磁場區(qū)域在改變） ，從而改變了該粒子在有界磁 場中運動的軌跡圖， 導致粒子的出射點位置變化。 在處理這類問題時重點是畫出磁場發(fā)生改 變后粒子運動的軌跡圖， 確定臨界狀態(tài)的粒子運動軌跡圖， 再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定 對應(yīng)的磁場區(qū)域的位置。綜上所述， 運動的帶電粒子垂直進入有界的勻強磁場， 若僅受洛侖茲力作用時， 它一定 做勻速圓周運動， 這類問題雖然比較復雜， 但只要準確地畫出運動軌跡圖， 并靈活運用幾何 知識和物理規(guī)律，找到已知量與軌道半徑R、周期 T 的關(guān)系，求出粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度或距離以及運動時間不太難?！眷柟叹毩暋?（ 2005年理綜 I）如圖 1

11、4 所示，在一水平放置的平板 MN的上方有勻強磁場，磁感 應(yīng)強度的大小為 B，磁場方向垂直于紙面向里。 許多質(zhì)量為 m帶電量為 +q 的粒子， 以相同的 速率 v 沿位于紙面內(nèi)的各個方向， 由小孔 O射入磁場區(qū)域。 不計重力， 不計粒子間的相互影響。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域，其中。哪個圖是正確的？ABCD答案：A2（1999 年全國高考試題） 如圖 15 所示中虛線 MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線， 在平面右側(cè)的半空間存在一磁感強度為B 的勻強磁場，方向垂直紙面向外是 MN上的一點，從 O 點可以向磁場區(qū)域發(fā)射電量為 +q、質(zhì)量為 m、速率為 v 的粒子，粒子射入磁場時的速度 可在紙面內(nèi)各個方向已知先后射入的兩個粒子恰好在磁場中給定的P點相遇， P到 O的距離為 L 不計重力及粒子間的相互作用。（1）求所考察的粒子在磁場中的軌道半徑；（ 2）求這兩個粒子從 O點射入磁場的時間間隔。答案：（ 1） R=mv/qB；（ 2） t= 4marccos （ LqB/2 mv） /qB 。3（2007 年武漢市理綜模擬試題）如圖 16所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為 m、電量為 e 的電子從 y 軸上的 P（0，a）點