吉林省長春市第一中學2021屆高三數(shù)學上學期期末考試試題理202101180398

1、吉林省長春市第一中學2021屆高三數(shù)學上學期期末考試試題 理試題說明： 1.本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，考試時間120分鐘，滿分150分。2答第卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡的指定區(qū)域內。3. 請將第I卷的答案用2B鉛筆涂到答題卡，將第II卷的答案用黑色中性筆答在答題卡的規(guī)定位置處。第I卷（選擇題 60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1設集合，2，3，則（ ）.A，2，3，B，C，3，D2已知復數(shù)，則（ ）.AB3CD53. 命題“”的否定為（ ）

2、.ABCD4. （ ）.ABCD5. 一個等比數(shù)列的前n項和為48，前2n項和為60，則前3n項和為（ ）.A63B108C75D836. 若實數(shù)，滿足不等式組，則的最大值是（ ）.ABC3D77已知 為正實數(shù)，且，則的最小值為（ ）.A4B7C9D118. 在ABC中，角的對邊分別為，若，則（ ）.ABCD9. （ ）.ABC2D10. 對于函數(shù)，有以下四種說法：函數(shù)的最小值是圖象的對稱軸是直線圖象的對稱中心為函數(shù)在區(qū)間上單調遞增其中正確的說法的個數(shù)是（ ）.A1 B2 C3 D411若函數(shù)恰好有三個不同的單調區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（ ）.ABCD12.斜率為的直線經過拋物線的焦點，且與拋

3、物線相交于兩點，則的值為（ ）.A B1 C2 D4第卷（非選擇題 90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13. 已知向量，若，則實數(shù)等于_.14數(shù)列1，的前n項之和_.15已知函數(shù)在R上是單調函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_.16. 已知在銳角ABC中，,則的取值范圍是_.三、解答題（本大題共6小題，共70分.）17. (本題滿分10分)在ABC中，內角，所對的邊分別為，若，（1）求；（2）若ABC外接圓的面積為，求邊長18(本題滿分12分)已知等差數(shù)列的前項和為，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.19. (本題滿分12分) 如圖，在四棱錐中，底面，底面為

4、菱形，為的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.20. (本題滿分12分) 已知橢圓：.（1）求與方程焦點相同，且過的橢圓方程.（2）若直線交橢圓于，兩點，且，試求ABC的面積.21. (本題滿分12分)已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若在上恒成立，求整數(shù)的最大值22. (本題滿分10分)在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）若與相交于，兩點，設，求2020-2021學年上學期高三年級期末考試數(shù)學答案(理科)1設集合，2，3，則（ ）A，2，3，

5、B，C，3，D【答案】C解：，2，3，3，故選：C.2已知復數(shù)，則（ ）AB3CD5【答案】D【分析】先利用復數(shù)的乘法計算，再利用模長公式即可求解.【詳解】，所以，故選：D3. 命題“”的否定為（ ）ABCD【答案】D【分析】由含有一個量詞的命題的否定的定義進行求解，即由全稱命題的否定為特稱命題可直接得解【詳解】命題“，”的否定為“”故選：D4. （ ）ABCD【答案】D【分析】利用誘導公式和二倍角的正弦公式可求三角函數(shù)式的值.【詳解】，故選：D.5. 一個等比數(shù)列的前n項和為48，前2n項和為60，則前3n項和為（ ）A63B108C75D83【答案】A【分析】利用等比數(shù)列的前項和公式的性質

6、：成等比數(shù)列即可求解.【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，其前項和為，則成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，即，解得.故選：A6. 若實數(shù)，滿足不等式組，則的最大值是（ ）ABC3D7【答案】C【分析】作圖可行域，再由，平移直線，縱截距最小值即為最大.【詳解】作出可行域如圖所示：令，則平移直線，當經過點時，最大，故選：C.7已知 為正實數(shù)，且，則的最小值為（ ）A4B7C9D11【答案】C【分析】由，展開后利用基本不等式求最值【詳解】 且 ，當且僅當，即時，等號成立的最小值為9故選：C8. 在ABC中，角的對邊分別為，若，則（ ）ABCD【答案】D【分析】根據同角的三角函數(shù)關系式，結合正弦定理進行求解即可.【詳解】

7、因為角是三角形的內角，所以，由，可得：，由正弦定理可知：，因為，所以.故選：D9. （ ）ABC2D【答案】D【分析】由定積分的運算性質，得到，再結合定積分的計算公式和定積分的幾何意義，即可求解.【詳解】由定積分的運算性質，可得，又由，根據定積分的幾何意義，可知定積分表示所表示的圖形的面積，即所表示的上半圓的面積，其中面積為，所以.故選：D.10. 對于函數(shù)，有以下四種說法：函數(shù)的最小值是圖象的對稱軸是直線圖象的對稱中心為函數(shù)在區(qū)間上單調遞增其中正確的說法的個數(shù)是（ ）A1B2C3D4【答案】B【分析】求出函數(shù)的最值，對稱中心坐標，對稱軸方程，以及函數(shù)的單調區(qū)間，即可判斷正誤【詳解】函數(shù)，當時

8、，即，函數(shù)取得最小值為，故正確；當時，即，函數(shù)的圖象的對稱軸是直線，故錯誤；當時，即，函數(shù)的圖象的對稱中心為，故錯誤；當，即，函數(shù)的遞增區(qū)間為，當時，的遞增區(qū)間為，故正確故選：B【點睛】關鍵點點睛：函數(shù)的遞增區(qū)間轉化為的遞減區(qū)間.11若函數(shù)恰好有三個不同的單調區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【分析】求得，由題意可知，有兩個不同的零點，可得出，進而可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意得，函數(shù)恰好有三個不同的單調區(qū)間，有兩個不同的零點，所以，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題利用函數(shù)的單調區(qū)間個數(shù)求參數(shù)，解題的關鍵就是結合題意確定函數(shù)的極值點的個數(shù)，結

9、合二次函數(shù)的基本性質解題.12.斜率為的直線經過拋物線的焦點，且與拋物線相交于兩點，則的值為（ ）AB1C2D4【答案】B【分析】將直線的方程和拋物線的方程聯(lián)立，消去得到關于的一元二次方程， 將用，表示出來，再利用韋達定理化簡即可【詳解】由得，可得直線方程為，聯(lián)立，消去得設，則，又，所以故故選：【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是利用焦半徑公式得到，.13. 已知向量，若，則實數(shù)等于_.【答案】7【分析】根據向量垂直的坐標表示運算即可.【詳解】因為向量，所以，因為，所以，解得，故答案為：714數(shù)列1，的前n項之和_.【答案】【分析】先歸納出通項公式，然后再分組求和【詳解】由題意，故答案為：。1

10、5已知函數(shù)在R上是單調函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_.【答案】【詳解】由題意知，因為在R上是單調函數(shù)，且的圖象開口向下，所以在R上恒成立，故，即16. 已知在銳角ABC中，,則的取值范圍是_.【答案】（0，12）【詳解】由題，由余弦定理，又銳角中，且，聯(lián)立解得，由可得.17在ABC中，內角，所對的邊分別為，若，（1）求；（2）若外接圓的面積為，求邊長【答案】（1）；（2）【分析】（1）由題中條件，根據余弦定理，求出，進而可求出；（2）根據題中條件，先求出外接圓半徑，再由正弦定理，即可求出結果.【詳解】（1）由余弦定理得又，又為三角形的內角，所以；（2）外接圓的面積為，設該圓半徑為，則，由正弦定理

11、得：，所以.18已知等差數(shù)列的前項和為，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設數(shù)列的公差為，根據題中條件列出方程求解，得出首項和公差，即可求出通項公式；（2）由（1）的結果，利用裂項相消的方法，即可求出結果.【詳解】（1）設數(shù)列的公差為，由題意有，解得，所以，故數(shù)列的通項公式為；（2）由所以.【點睛】結論點睛：裂項相消法求數(shù)列和的常見類型：（1）等差型，其中是公差為的等差數(shù)列；（2）無理型；（3）指數(shù)型；（4）對數(shù)型.19如圖，在四棱錐中，底面，底面為菱形，為的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）證明

12、見解析；（2）.【分析】（1）在菱形中證明，再由已知的線面垂直得線線垂直，從而可證得線面垂直（2）以為坐標原點，向量，方向分別為、軸建立如圖所示空間直角坐標系，用空間向量法求二面角【詳解】（1）證明：連底面為菱形，平面，平面，平面，平面（2）由（1）知，又由，可得，可得、兩兩垂直令，可得，以為坐標原點，向量，方向分別為、軸建立如圖所示空間直角坐標系可得點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，由（1）可知為平面的法向量設平面的法向量為，有，取，可得由，有故平面與平面所成二面角的正弦值為.【點睛】方法點睛：本題考查用空間向量法求二面角求二面角的方法：（1）幾何法，通過作證算三個

13、步驟求解，即作出二面角的平面角，并證明，然后計算出這個角（2）空間向量法：建立空間直角坐標系，用空間向量法求角，即求出二面角兩個面的法向量，由法向量的夾角與二面角相等或互補得解20已知橢圓：.（1）求與方程焦點相同，且過的橢圓方程.（2）若直線交橢圓于，兩點，且，試求ABC的面積.【答案】（1）；（2）3.【分析】（1）設出橢圓方程，可得出，求出即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓，利用韋達定理求出，再利用弦長公式求出，利用點到直線距離公式求出到直線的距離，即可得出面積.【詳解】解：（1）由題意得：橢圓的焦點為和，設橢圓的方程為，且過，可建立方程組，解得或（舍）.橢圓的方程為.（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程

14、，得，消得，由韋達定理得，.解得滿足，則，.應該是3.【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設交點為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關于（或）的一元二次方程；（3）寫出韋達定理；（4）將所求問題或題中關系轉化為形式；（5）代入韋達定理求解.21. 已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若在上恒成立，求整數(shù)的最大值【答案】（1）單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；（2）4.【分析】（1）將代入，求出定義域以及，設，再次求導，判斷在上單調遞減，且，根據導數(shù)與函數(shù)單調性之間的關系即可求解.（2）解法1：原不等式等價于，在上恒成立，分離參數(shù)可得，利用導數(shù)求出的最

15、小值即可；解法2：原不等式等價于在上恒成立，設，求出導函數(shù)，討論或，只需即可求解.【詳解】（1）解：若，函數(shù)的定義域為，得.設，則.故在上單調遞減，且，故當時，即，單調遞增：當時，即，單調遞減.綜上，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）解法1：原不等式等價于，即在上恒成立.設，.則，設，則.所以在上單調遞增.又，根據零點存在性定理，可知在上有唯一零點，設該零點為，則，且，即.當時，即，故在上單調遞減；當時，即，故在上單調遞增；所以由題意可知，又，得，因為.所以整數(shù)的最大值為4.解法2：原不等式等價于在上恒成立.設，則.（）當時，在上恒成立，所以在上單調遞增.故在上恒成立.（）當時，令，得當

16、時，故）在上單調遞減：當時，故在上單調遞增.要使在上恒成立，只需.令，則，所以在上單調遞減.又，所以在上存在唯一的零點且，從而的解為.因為，所以整數(shù)的最大值為4.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)研究函數(shù)單調性的方法：（1）確定函數(shù)的定義域；求導函數(shù)，由（或）解出相應的的范圍，對應的區(qū)間為的增區(qū)間（或減區(qū)間）；（2）確定函數(shù)的定義域；求導函數(shù)，解方程，利用的根將函數(shù)的定義域分為若干個子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討論的正負，由符號確定在子區(qū)間上的單調性.不等式恒成立問題一般采用分離參數(shù)法求參數(shù)范圍若不等式（是實參數(shù)）恒成立，將轉化為或恒成立，進而轉化為或，求的最值即可.22. 在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），