高考反函數(shù)問(wèn)題常見(jiàn)類(lèi)型解析

1、高考反函數(shù)問(wèn)題常見(jiàn)類(lèi)型解析反函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要概念之一，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一。在歷年高考中占有一定的比例。為了更好地掌握反函數(shù)相關(guān)的內(nèi)容，本文重點(diǎn)分析關(guān)于反函數(shù)的幾種題型及其解法。一. 條件存在型例1.函數(shù)在區(qū)間上存在反函數(shù)的充要條件是（ ）a. b. c. d. 解析：因?yàn)槎魏瘮?shù)不是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，但在其定義域的子區(qū)間或上是單調(diào)函數(shù)。而已知函數(shù)在區(qū)間1，2上存在反函數(shù)，所以或者，即或。故選（c）點(diǎn)評(píng)：函數(shù)在某一區(qū)間上存在反函數(shù)的充要條件是該函數(shù)在這一區(qū)間上是一一映射。特別地：如果二次函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，那么函數(shù)f（x）必存在反函數(shù)；如果函數(shù)f（x）不是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，但

2、在其定義域的某個(gè)子區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，那么函數(shù)f（x）在這個(gè)子區(qū)間上必存在反函數(shù)。二. 式子求解型例2.函數(shù)的反函數(shù)是（ ）a. b. c. d. 解析：由可得，故，從解得因，所以即其反函數(shù)是故選（b）。點(diǎn)評(píng)：反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域，所以求反函數(shù)時(shí)應(yīng)先求出原函數(shù)的值域，不應(yīng)該直接求反函數(shù)的定義域。三.求定義域值域型例3.若為函數(shù)的反函數(shù)，則f1（x）的值域?yàn)開(kāi)。解析：通法是先求出f（x）的反函數(shù)，可求得f1（x）的值域?yàn)?，而利用反函?shù)的值域就是原函數(shù)的定義域這條性質(zhì)，立即得f1（x）的值域?yàn)?。點(diǎn)評(píng)：這種類(lèi)型題目可直接利用原函數(shù)的定義域、值域分別是反函數(shù)的值域和定義域這一性質(zhì)求解。四.性質(zhì)

3、判斷型例4. 函數(shù)的反函數(shù)是（ ）a. 奇函數(shù)，在（）上是減函數(shù)；b. 偶函數(shù)，在（）上是減函數(shù)c. 奇函數(shù)，在（）上是增函數(shù)；d. 偶函數(shù)，在（）上是增函數(shù)解析：因?yàn)樵冢ǎ┥鲜窃龊瘮?shù)，在（）上是減函數(shù)，所以在（）上是增函數(shù)易知為奇函數(shù)利用函數(shù)與f1（x）具有相同的單調(diào)性，奇函數(shù)的反函數(shù)也為奇函數(shù)這兩條性質(zhì)，立即選（c）。五. 反函數(shù)求值型例5. 設(shè)，已知 y=g(x)的圖象與的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x 對(duì)稱(chēng)，則 g(3)= 。解析 ：我們知道， 反函數(shù)有一個(gè)非常重要的性質(zhì)，即若點(diǎn)（a，b）在原函數(shù)上，則（b，a）一定在反函數(shù)上，反之也成立。于是可設(shè)（4，a）為 y=g(x) 圖象上的任一點(diǎn)，則（a

4、，4）為圖象上的一點(diǎn)，（a+1，4）為圖象上的一點(diǎn)，從而（4，a+1）為 y=f(x) 圖象上的一點(diǎn),代入y=f(x)的解析式，有。點(diǎn)評(píng)：在反函數(shù)求值時(shí)經(jīng)常要用到這條性質(zhì)：當(dāng)函數(shù)f（x）存在反函數(shù)時(shí)，若，則。得來(lái)全不費(fèi)工夫，反函數(shù)的一個(gè)簡(jiǎn)單而又重要的性質(zhì)發(fā)揮了威力，這是逆向思維在解題中的重要體現(xiàn)。六.方程關(guān)聯(lián)型例6.已知函數(shù)，則方程f1（x）=4的解x=_。解析：當(dāng)函數(shù)f（x）存在反函數(shù)時(shí)，若，則。所以只需求出的值即為f1（x）=4中的x的值。易知，所以即為所求的值。點(diǎn)評(píng)：此題除了這種方法外，也可以用常規(guī)方法去求。即先求出反函數(shù)f1（x）的解析式，再解方程f1（x）=4，也可得。七.不等式關(guān)聯(lián)

5、型例7.設(shè)f1（x）是函數(shù)的反函數(shù)，則f1（x）1成立時(shí)x的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 解析：由，知函數(shù)f（x）在r上為增函數(shù)，所以f1（x）在r上也為增函數(shù)。故由f1（x）1，有而，可得，故選（a）。點(diǎn)評(píng)：此題除了這種方法外，也可以用常規(guī)方法去求，但比較繁瑣。八.圖象挖掘型例8.已知函數(shù)的反函數(shù)是，則的圖象是（ ）解析：由題意知，則所以的圖象可由的圖象向右平移1個(gè)單位而得到。故選（c）。點(diǎn)評(píng)：解反函數(shù)的圖象問(wèn)題，通常方法有：平移法，對(duì)稱(chēng)法等。對(duì)稱(chēng)法是指根據(jù)原、反函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)來(lái)求解；特殊地，若一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)是它本身，則它的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，這種函數(shù)稱(chēng)為自反函數(shù)。九.問(wèn)題綜合型例9.設(shè)，f（x）是奇函數(shù)，且。（1）試求f（x）的反函數(shù)f1（x）的解析式及f1（x）的定義域；（2）設(shè)，若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解析：（1）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，且，所以，得所以，可求得，令，反解出，從而（2）因?yàn)?，所以，由得所以，即?duì)恒成立。令其在上為單調(diào)遞減函數(shù)，