高斯消元法(完整)

1、精選文檔 高斯消元法解線性方程組 在工程技術(shù)和工程管理中有許多問(wèn)題經(jīng)常可以歸結(jié)為線性方程組類型的數(shù)學(xué) 模型，這些模型中方程和未知量個(gè)數(shù)常常有多個(gè)，而且方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)也 不一定相同。那么這樣的線性方程組是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解 不唯一，解的結(jié)構(gòu)如何呢？這就是下面要討論的問(wèn)題。 一、線性方程組 a11X1 a12X2 a1nXn b1 a21X1 a22 X2 a2nXn b2 am1X1 am2X2 amnXn bm 日 3.1) 設(shè)含有 n 個(gè)未知量、有 m 個(gè)方程式組成的方程組 xi是未知量（也稱為未知數(shù)）。當(dāng)右端常數(shù)項(xiàng)b1, 其中系數(shù)aj ,常數(shù)bj都是已知數(shù)， b2,

2、bm不全為0時(shí)，稱方程組（3.1）為非齊次線性方程組；當(dāng)b1 = b2 =bm 0 時(shí)，即 a11X1 a12X2 a1nXn 0 a21X1 a22X2 a2nXn 0 am1X1 am2 X2 amn Xn 0 3.2) 5 稱為齊次線性方程組 。 k1 , k2 ,kn ），如果將它 3.1）中的每個(gè)方程都變成恒 由n個(gè)數(shù)k1, k2,kn組成的一個(gè)有序數(shù)組（ 們依次代入方程組（3.1）中的x1, x2,xn后， 等式，則稱這個(gè)有序數(shù)組（k1, k2,kn）為方程組（3.1）的一個(gè)解。顯然由X1=0, X2=0,Xn=0組成的有序數(shù)組（0, 0,0）是齊次線性方程組（3.2）的一個(gè)解，

3、稱之為齊次線性方程組（ 3.2）的零解，而當(dāng)齊次線性方程組的未知量取值不全為 零時(shí)，稱之為 非零解。 （利用矩陣來(lái)討論線性方程組的解的情況或求線性方程組的解是很方便的。 因此，我們先給出線性方程組的矩陣表示形式。） 非齊次線性方程組（ 3.1）的矩陣表示形式為： 其中 AX = B a11 a12 a1n X1 b1 a21 a22 a2n ， X = X2 b2 ， B =2 am1 am2 amn Xn bn A = 稱A為方程組（3.1）的系數(shù)矩陣,X為未知矩陣，B為常數(shù)矩陣。將系數(shù)矩陣 A 和常數(shù)矩陣 B 放在一起構(gòu)成的矩陣 a11 a21 A B= a12 a22 a1n a2n b

4、i b2 am1 am2 amn bm 稱為方程組（3.1）的增廣矩陣。 AX = O 齊次線性方程組（3.2）的矩陣表示形式為: 二、高斯消元法 （下面介紹利用矩陣求解方程組的方法，那么矩陣初等行變換會(huì)不會(huì)改變方 程組的解呢？我們先看一個(gè)定理。） 定理3.1 若用初等行變換將增廣矩陣A B化為C D，則AX = B與CX = D是同解方程組。 證 由定理3.1可知，存在初等矩陣R, P2,Pk，使 Pk P2 P1（A B） = （C D） 記PkP2 P = P,則P可逆，即P 1存在。 即 AX1 = B 設(shè)X1為方程組A X = B的解， 在上式兩邊左乘P,得 P AX1 = PB 說(shuō)

5、明X1也是方程組C X = D的解。 C X1 = D 反之，設(shè)X2為方程組C X = D的解，即 C X2= D 在上式兩邊左乘P勺，得 P 1CX2= P 1D 說(shuō)明X2也是方程組AX = B的解。 因此，方程組A X = B與C X = D的解相同，即它們是同解方程組。（證畢） （由定理3.1可知，求方程組（3.1）的解，可以利用初等行變換將其增廣矩陣 A B化簡(jiǎn)。又有第二章定理2.10可知，通過(guò)初等行變換可以將A B化成階梯 形矩陣。因此，我們得到了求解線性方程組（3.1）的一般方法：） 用初等行變換將方程組（3.1）的增廣矩陣A B化成階梯形矩陣，再寫(xiě)出該 階梯形矩陣所對(duì)應(yīng)的方程組，

6、逐步回代，求出方程組的解。因?yàn)樗鼈優(yōu)橥夥匠?組，所以也就得到了原方程組（3.1）的解。這種方法被稱為 高斯消元法， （下面舉例說(shuō)明用消元法求一般線性方程組解的方法和步驟。） 例1解線性方程組 解先寫(xiě)出增廣矩陣 X1 X2 2X3 X4 1 X1 5X2 3X3 2x4 0 C( 3.3) 3X1 X2X3 4X4 2 2X1 2X2 X3 X4 1 B， 再用初等行變換將其逐步化成階梯形矩陣，即 A OS /( /( 2 （1） 2 1 0 0 0 1 4 0 0 1 2 1 6 2 1 1 1 6 2 1 1 1 6 2 （3） 0 1 0 0 0 4 1 4 0 0 3 2 1 6 0

7、3 1 1 6 0 1 1 1 6 0 上述四個(gè)增廣矩陣所表示的四個(gè)線性方程組是同解方程組, 陣表示的線性方程組為 最后一個(gè)增廣矩 1 將最后一個(gè)方程乘6，再將X4 將其代入第二個(gè)方程，解得 再將X2 ,X3代入第一個(gè)方程組, 因此，方程組（3.3）的解為 X1X2 2X3X4 1 4x2 X3X4 1 6X3 6x4 6 項(xiàng)移至等號(hào)的右端， 得 X3 X41 X 21/2 解得 X1 X41/2 X1 X41/2 X2 1/2 X3 X41 (3.4) 其中X4可以任意取值。 由于未知量X4的取值是任意實(shí)數(shù)，故方程組（3.3）的解有無(wú)窮多個(gè)。由此可 知，表示式（3.4）表示了方程組（3.3）

8、的所有解。表示式（3.4）中等號(hào)右端的未 知量X4稱為自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）稱為方程 組（3.3 ）的一般解，當(dāng)表示式（3.4）中的未知量X4取定一個(gè)值（如X4=1），得到 1 1 方程組（3.3）的一個(gè)解（如X1-，X2 -，X3 0，X4 1 ），稱之為方程組 （3.3 ）的特解。 注意，自由未知量的選取不是唯一的，如例 1也可以將X3取作自由未知量。 如果將表示式（3.4） 程組（3.3）的一般解為 X1 X2 X3 X4 中的自由未知量X4取一任意常數(shù)k,即令X4= k,那么方 k 1/2 k k 1/2 ，其中k為任意常數(shù)。 用矩陣形式表示為 X1

9、X2 X3 X4 k 1/2 k k 3.5) 1/2 1 0 1 1 1/2 1/2 1 0 (3.5) 為方程組（3.3）的全部解。 （用消元法解線性方程組的過(guò)程中，當(dāng)增廣矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換化成階梯形 矩陣后，要寫(xiě)出相應(yīng)的方程組，然后再用回代的方法求出解。如果用矩陣將回代 的過(guò)程表示出來(lái)，我們可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上就是對(duì)階梯形矩陣進(jìn)一步簡(jiǎn)化, 使其最終化成一個(gè)特殊的矩陣， 方程組的解。例如，）對(duì)例1 2 1 6 0 1 0 0 0 其中k為任意常數(shù)。稱表示式（ 1 0 0 0 1 4 0 0 一 （1） 從這個(gè)特殊矩陣中，就可以直接解出或“讀出” 中的階梯形矩陣進(jìn)一步化簡(jiǎn)， 1 1 6

10、0 0 1 0 0 1 1 6 0 - 6 2 1 0 0 0 1 4 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 2 1 0 上述矩陣對(duì)應(yīng)的方程組為 0 0 1 0 1 0 1 0 1/2 1/2 1 0 1/2 12 1 將此方程組中含X4的項(xiàng)移到等號(hào)的右端，就得到原方程組（ X41/2 X1 X4 X2 X3 X4 3.3）的一般解, 其中x4可以任意取值。 X1 X212 X3 X41 X1 2x2 3X3 4 2x1 3x2 5X3 7 4x1 3X2 9X3 9 2X1 5x2 8X3 8 例2解線性方程組 (3.4) 精選文檔 9 解 利用初等行變換，將方程組的增廣矩陣 3 5

11、9 8 1 2 A B = 4 2 1 0 0 0 1 0 0 0 2 3 3 5 2 1 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 4 7 9 8 3 1 2 1 7 2 1 0 4 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 A 2 1 5 1 1 0 0 0 0 1 0 0 B化成階梯陣，再求解。即 3 1 3 2 2 1 0 0 3 2 1 0 4 1 7 0 3 1 1 0 4 1 1 0 0 0 1 0 一般解為 X1 X2 X3 X1X2X31 例3解線性方程組 X1 2x2 4X32 2x1 5x2 X33 解利用初等行變換， 將方程組的增廣矩陣 A B 化成階梯陣, 1111

12、1 1 1 1 A B =1242 0 3 3 3 2513 0 3 3 1 1 1 1 1 0 x1 0 x2 0 x32，由該方 X3取何值，都不能滿足這個(gè)方程。因此，原方程組無(wú)解。 階梯形矩陣的第三行“ 0, 0, 0, -2”所表示的方程為: 程可知，無(wú)論x1，X 三、線性方程組的解的判定 前面介紹了用高斯消元法解線性方程組的方法，通過(guò)例題可知，線性方程組 的解的情況有三種：無(wú)窮多解、唯一解和無(wú)解。從求解過(guò)程可以看出，方程組（3.1） 是否有解，關(guān)鍵在于增廣矩陣A B化成階梯非零行的行數(shù)與系數(shù)矩陣 A化成階 梯形矩陣后非零行的行數(shù)是否相等。因此，線性方程組是否有解，就可以用其系 數(shù)矩陣

13、和增廣矩陣的秩來(lái)描述了。 證設(shè)系數(shù)矩陣A的秩為r，即r(A) = 化成階梯陣： r。利用初等行變換將增廣矩陣A B 初等行變換 A B C11 0 Cis Cin c2k C2S C2n di d2 Crs Cm dr dr 1 C D 故 AX = B與CX = D是同解方程組，因此 即 r(A B)=r(A) = AX = B 有解 dr 1= 0 r(C D)=r(C) = r r。(證畢) 推論1線性方程組有唯一解的充分必要條件是 r(A) = r(A B)= n 。 推論2線性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件是 r(A) = r(A B) n。 (將上述結(jié)論應(yīng)用到齊次線性方程組(3.2

14、) 上,則總有r(A) = r(A B)。因此 齊次線性方程組一定有解。并且有) (1) X1 2x2 3x3 11 X1 2x2 3x3 11 X1 X2 X3 7 (2) X1 X2 2X3 7 2x1 3x2 X3 6 2x1 3x2 X3 6 3x1 X2 2X3 4 3x1 X2 2X3 5 X1 2x2 3X3 11 X1 X2 X3 7 2X1 3x2 X3 6 3x1 X2 2x3 5 用初等行變換將增廣矩陣化成階梯陣， 即 1 2 3 11 1 2 3 11 1 1 1 7 0 1 2 4 A B = 2 3 1 6 0 7 7 28 3 1 2 4 0 7 7 29 1 2

15、 3 11 0 1 2 4 0 0 7 0 0 0 0 1 判別下列方程組是否有解？若有解，是有唯一解還是有無(wú)窮多解? 因?yàn)閞(A B) = 4，r(A)=3，兩者不等, 所以方程組無(wú)解。 (1) 1 2 3 11 1 2 3 11 1 1 2 7 0 1 1 4 A B = 2 3 1 6 0 0 0 0 3 1 2 5 0 0 0 0 r(A B) = r(A)=2 r 1（ = 3），所以方程組有無(wú)窮多解。 用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即 1 2 3 11 1 2 3 11 1 1 1 7 0 1 2 4 A B = 2 3 1 6 0 0 7 0 3 1 2 5 0 0 0

16、0 r(A B) = r(A) = 3 = r，所以方程組有唯一解。 判別下列齊次方程組是否有非零解？ （機(jī)動(dòng)） X1 3x2 7x3 8x4 0 2X1 5x2 4x3 4x4 0 3x1 7x2 2x3 3x4 0 x1 4x212x3 16x4 0 用初等行變換將系數(shù)矩陣化成階梯形矩陣，即 1 3 7 8 1 3 7 8 2 5 4 4 0 1 18 20 A = 3 7 2 3 0 2 23 27 1 4 12 16 0 1 5 8 1 3 7 8 1 3 7 8 0 1 18 20 0 1 18 20 0 0 13 13 0 0 13 13 0 0 13 12 0 0 0 1 用初等

17、行變換將增廣矩陣化成階梯陣，即 因?yàn)?例5 解 因?yàn)?因?yàn)閞（A） = 4 = n所以齊次方程組只有零解。 向量組的相關(guān)性 精選文檔 一、n維向量的定義 定義3.2 在實(shí)際問(wèn)題有許多研究的對(duì)象要用 n元有序數(shù)組來(lái)表示。如總結(jié)某五年計(jì)劃 各年某產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù)據(jù)資料，某工程一年 12個(gè)月份的用料情況等，就分別要用到 5元和12元有序數(shù)組。 把有順序的n個(gè)數(shù)a1, a2, an稱為一個(gè)n維向量，記作 a1 a2 其中 a1 (i 1,2, 例如，矩陣 ,n）稱為n維向量 1 4 3 an 的第i個(gè)分量。 3 4中每一列都可以看作三維向量: 7 27 1 4， 3 稱為矩陣A的列向量。A中的每一行都可以

18、看作四維向量： 12 13，1 34 4，2 53 7 稱為矩陣A的行向量。 規(guī)定：n維向量相等、相加、數(shù)乘與列矩陣對(duì)應(yīng)相等。 二、n維向量組的線性相關(guān)性 如果把方程組 X1 X1 2x1 用向量相等、向量運(yùn)算關(guān)系來(lái)表示： 1 x1 1 +x2 2 2x2 3x2 5x2 x3 4X3 3x3 (3.6) 1 4 3 那么方程組求解問(wèn)題就變成了求一組使上式列向量存在某種的數(shù) 給出向量之間這種關(guān)系的定義。 X1,X2，X3 了。下面 定義3.3對(duì)于向量,1, 2, m， =k1 1 k2 2 則稱是1, 2, m的線性組合，或稱 k1, k2,km為組合系數(shù)。 如果有一組數(shù)k1,k2, km m

19、 由 ,km，使得 1, 2, m線性表出，且稱這組數(shù) 二維向量組e11，e2 0 ,稱為二維單位向量組。任意一個(gè)二維向 a1 a2 都可以由ei，e2線性表出: 不是向量 的線性組合, 因?yàn)閷?duì)于任意一組數(shù)k1,k2， k1 2k1 k2 0 例3 表出： 向量組 1 , 2, m中的任一向量i （1 m）都能由這個(gè)向量組線性 如果用列向量分別把方程組（ 1 1 1 ， 2 2 3.6）的系數(shù)矩陣第j列和常數(shù)列表示為 2 3， 5 那么方程組（3.6）可以用向量形式表示為 X3 X1 1 X2 2 若方程組（3.6）有解Xi ki （i 1,2,3），則有 k1 1 k2 2 k3 1, 2,

20、 即向量 可以由向量組1, 2, 3線性表出。反之，若存在數(shù)k1,k2,k3使得上式成立, 則Xiki （i1,2,3）就是方程組（3.6）的一組解。 命題1向量 可以由向量組1, 2, m線性表出的充分必要條件是：以 1, 2, m為系數(shù)列向量，以 為常數(shù)列向量的線性方程組有解，并且此線性方 程組的一組解就是線性組合的一組系數(shù)。 1 例4設(shè)11， 2 判斷向量能否由向量組 解設(shè)x1 1 1 , 2 , x2 2 x3 3 1 2 3 ,3線性表出， ，由此可得 x1 x2 2x32 x1 2x2 3x33 2x1 3x2 6x31 2 3， 6 若能夠，寫(xiě)出它的一種表達(dá)式。 因?yàn)?A B=

21、方程組的解為 x17, x2 定義3.3 使得 對(duì)于向量組 則稱向量組 1 0 0 5, X3 1 1 1 0。 7 5 0 所以 m，若存在 k2 2 m個(gè)不全為零的數(shù)k1,k2, ,km， km k1 1 1, 2, m線性相關(guān)；否則稱向量組 （3.7） m線性無(wú)關(guān)。 例5式證單位向量組 ei 1 0 0 0 e2 0 1 0 0 e3 0 0 1 0 ，e4 0 0 0 1 是線性無(wú)關(guān)的。 證 設(shè) k1e1 k3e3 1 0 k1 1 0 0 k4e4 0 1 0 0 0。 + k3 由上式得唯一解k1 0, k20, k30,k4 即 0 0 1 0 0。 0 0 0 1 所以， +

22、k4 0 _ 0 =0 0 。1, *2,豈,4線性無(wú)關(guān)。 1 0 0 n維單位向量組e10 ， e2 1 0 ，en 0 0 1 可以證明，n維單位向量組e1 ,e2, ,en是線性無(wú)關(guān)的。 如果把定義3.3中的（3.7）式看作以1, 2, , m為系數(shù)列向量，以k1,k2, ,km 為未知量的齊次線性方程組，那么 定理3.2 對(duì)于向量組 1, k1e1 有非零解，則向量組 2, m，若齊次線性方程組 k2e2kmem 0（ 3.8） m線性相關(guān)；若齊次線性方程組（3.8）只有零解, 則向量組 1, 2, m線性無(wú)關(guān)。 定理3.3 關(guān)于向量組 若r(A) m，則向量組 線性相關(guān)。 1, 2,

23、 m，設(shè)矩陣 A 1 ,2, m 1, 2, m線性無(wú)關(guān)；若r(A) 則向量組 推論 任意n+1個(gè)n維向量一定線性相關(guān)。 例6判斷下列向量組的相關(guān)性: (1) 35 10 ； 1 (1) 1 因?yàn)?r(A) 3 (2)因?yàn)?1 A =1 2 所以向量組 1 0 0 2, 3線性無(wú)關(guān)。 1 0 B = 1 2 所以向量組 1 1 2 4 2 3 5 10 1 0 0 0 1 1 1 2 2 3 3 6 1 0 0 0 1 1 0 0 2 3 0 0 r(B) 2 m， (3)由推論知道，四個(gè)三維向量一定是線性相關(guān)的。 2 3線性相關(guān)。 F面再介紹一個(gè)揭示同組向 上面介紹了利用定理3.3來(lái)判斷向量

24、組的相關(guān)性, 量之間具有某種相關(guān)性的特點(diǎn)。 定理3.4 向量組1, 2, m，(m 2)線性相關(guān)的充分必要條件是：其中至 少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表出。 (證明請(qǐng)參閱教材) 推論 向量組1, 2, m，(m 2)線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是：其中每一個(gè) 向量都不能由其余向量線性表出。 m中的部分向量組 1, 2, s (s m)線性相 例7試證：若向量組的一個(gè)部分向量組線性相關(guān)，則整個(gè)向量組也線性相關(guān)。 證不妨設(shè)向量組 關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1,k2, ,ks，使得 k1 1 k2 2 kss 0 從而有 k1 1 k2 2ks s 0 s 1 其中k1,k2,ks,0, ,0不全為零，所

25、以向量組 0 m 0 1，2，m線性相關(guān)。 可以證明：若 個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)，它的任意一個(gè)部分向量組也線性無(wú)關(guān) 例8設(shè)向量組 證明一定可以由 證因?yàn)橄蛄拷M 和k，使得 m線性無(wú)關(guān)，而向量組 m線性表出。 線性相關(guān)，即存在不全為零的數(shù)k1,k2, ,km 線性相關(guān), k1 若k 0 ,則上式為 k1 1 1, 2, m線性相關(guān)，與條件矛盾。 k 1 1， 2， m線性表出。 即可以由 k2 2 k2 2 因此 k2 k km km m k m k 0 0，且k1,k2, ,km不全為零，得 0，且 km T m 三、向量組的秩 (下面簡(jiǎn)單地介紹向量組的秩的概念及計(jì)算方法，首先向量組的極大無(wú)關(guān)組 的

26、定義) 定義3.4 若向量組S中的部分向量組So滿足： (1) So線性無(wú)關(guān)； (2) S中的每一個(gè)向量都是So中向量的線性組合，則稱部分向量組 So為向量 組S的極大無(wú)關(guān)組。 可以證明：對(duì)于一個(gè)向量組，其所有極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)都相同。因此 向量組的秩定義如下： 定義3.5 對(duì)于向量組S,其極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱為 向量組S的秩。 利用定義求向量組的秩是比較困難的。但是，我們可以利用矩陣與列向量組 之間的關(guān)系，把求向量組的秩的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求矩陣的秩序。這是因?yàn)?定理3.7 矩陣A的秩=矩陣A列向量組的秩=矩陣A行向量組的秩。 例9設(shè)向量組 1 2 0 0 求向量組的秩及其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。

27、解作矩陣A= 123 1 1 1 1 0 1 1 1 1 4 2 1 4 ，用初等行變換求 A的秩，即 1 2 A= 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 4 2 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 2 2 3 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 3 0 所以 r( 1, 2, 3, 4)=3，且 2, 4為其中的一個(gè) 極大無(wú)關(guān)組。 線性方程組解的結(jié)構(gòu) A判斷。 前兩講介紹了方程組的有關(guān)概念，方程組的解的幾種情況及判定, 相關(guān)性。這一講主要介紹方程組解的結(jié)構(gòu)。 a11X1 a12X2 a1nXn 0 321X1 a22 X2 a2nXn 0 (3.

28、2) am1X1 am2 X2 amn Xn 0 一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 齊次線性方程組 的矩陣形式為：AX = O 解的情況可以歸納為： 1. 齊次線性方程組只有零解的充分必要條件是 r(A)= n 2. 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是 r(A) n 注意：當(dāng)A為n階方陣時(shí)也可利用矩陣行列式 3. 當(dāng)r(A)= r n時(shí)，方程組AX = O有n-r個(gè)自由未知量。 齊次線性方程組AX = O解的性質(zhì)： 性質(zhì)1若X1和X2為齊次線性方程組AX = O的解，則X1 + X2亦為AX = O 的解。 證 因?yàn)閄1和X2為方程組AX = O的兩個(gè)解，故有 AX1 = 0， AX2= O A

29、( X1 + X2)= AX1 + AX2 = O 所以，X1 +X2亦為AX = O的解。 性質(zhì)2若X1為齊次線性方程組AX = O的解，則kX1亦為AX = O的解，其 中k為任意常數(shù)。 證因?yàn)閄1為方程組AX = O的解，故有 A( kX1)= k(AX1)= 0 所以，kX1亦為AX = 0的解。 由性質(zhì)1, 2可知，若X1，X2，Xs為方程組AX = 0的解，則k1X1+k2X2 + ksXs亦為AX = 0的解，其中k1,k2, ,ks為任意常數(shù)。 若X1，X2，Xs線性無(wú)關(guān)，且方程組AX = 0的任何一個(gè)解X都可以被X1， X2，Xs線性表出，則AX = 0的全部解就是 k1X1

30、 + k2X 2 + ksX s 其中k1,k2, ,ks為任意常數(shù)。 定義3.6齊次線性方程組AX = O滿足下列兩個(gè)條件的一組解向量，稱為 AX =0的基礎(chǔ)解系。 (1) 線性無(wú)關(guān)； (2) 方程組AX = 0的任何一個(gè)解都可以用它們線性表出。 (由定義3.6可知)方程組AX = 0的基礎(chǔ)解系就是其全部解向量的一個(gè)極大 無(wú)關(guān)組。 當(dāng)r(A)= n時(shí)，方程組AX = 0只有零解，故不存在基礎(chǔ)解系；而當(dāng)r(A)= r(vn) 時(shí)，方程組AX = 0有非零解，故存在基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系中所含解向量的個(gè)數(shù) 是n-r。由此可得如下結(jié)論： 4. 當(dāng)r(A) = rvn時(shí)，方程組AX = 0 一定有基礎(chǔ)

31、解系，且每個(gè)基礎(chǔ)解系中含有 n-r個(gè)解向量。若X1， X2，Xn r為基礎(chǔ)解系，則AX = 0的全部解為 k1X1 + k2X2 + + kn rXn r(3.9) 其中k1,k2, ,ks為任意常數(shù)。 如何求方程組AX = 0的基礎(chǔ)解系呢? (1) (3.9)式稱為AX = O的通解。 把齊次線性方程組的系數(shù)寫(xiě)成矩陣 A； 用初等行變換把A化為階梯陣； 1其余全部為0的辦法，求出n-r個(gè)解向量, 把階梯陣中非主元列所對(duì)應(yīng)的變量作為自由未知量 分別令自由未知量中一個(gè)為 這n- r個(gè)解向量構(gòu)成了基礎(chǔ)解系。 例1設(shè)齊次線性方程組 X1 3x1 X2 2x2 5x1 X3 X3 x2 3x3 4x2

32、 3x3 X4 X50 X4 3x5 2x4 6X5 3x4 X5 求其基礎(chǔ)解系和通解。 解先寫(xiě)出系數(shù)矩陣A,再用初等行變換將其逐步化成階梯形矩陣，即 1 3 A = 0 5 1 2 1 4 1 1 3 3 1) 1 1 2 3 1 0 0 0 1 3 6 1 1 1 0 0 1 2 1 0 再進(jìn)一步化簡(jiǎn), 21) 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 2 0 0 由此可知X4,X5為自由未知量。 令X4 1， X50，得解向量 X1 令X4 0， X51，得解向量 X2 于是Xi , X2為方程組的基礎(chǔ)解系。 (3) 1 2 0 0 1 6 0 0 1 0 0 0 1 6 0

33、0 1 1 1 1 1 2 3 2 1 2 2 2 1 6 6 6 (1) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 2 0 0 5 6 0 0 1 2 0 ； 1 0 5 6 0 ； 0 1 通解為 k1 X1 + k 2 X 2 其中ki,k2為任意常數(shù)。 二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 非齊次線性方程組 的矩陣表示形式為：AX = B a11X1 a12X2 a1n Xn b1 321X1 a22X2 a2n Xn b2 am1 X1 am2X2 amnXn bm 非齊次線性方程組AX = B的解的情況可以歸納為： 1. 方程組AX = B有解的充分必要條件是rA B = r(A

34、)。 2. 若rA B=r(A)= n時(shí)，方程組 AX = B有唯一解。 3. 若rA B=r(A)= r n時(shí)，方程組AX = B有無(wú)窮多解，且有n-r個(gè)自由 未知量。 在非齊次線性方程組 AX = B中，令B = 0,得到相應(yīng)的齊次方程組 AX = 0。 方程組AX = B與相應(yīng)的AX = 0之間有密切的關(guān)系，滿足如下性質(zhì)： 性質(zhì)3若X1和X2為非齊次線性方程組 AX = B的解，則X1- X2必為AX = O 的解。 證 因?yàn)閄1和X2為方程組AX = B的兩個(gè)解，故有 A Xi = B， A X 2= B A（ X1- X2）= AX1 -A X2 = B- B = 0 所以，X1-

35、X2為AX = 0的解。 性質(zhì)4若Xo為非齊次線性方程組 AX = B的解，乂為相應(yīng)的方程組AX = 0 的解，則Xo + X必為AX = B的解。 證 因?yàn)閄o為方程組AX = B的解，X為方程組AX = 0的解, 故有 A Xo = B， AX = 0 A（ Xo + X）= AXo +AX =B+ 0= B 所以，Xo + X為AX = B的解。 xi X2 2x3 x41 x1 5x2 3x3 2x4 o 例1解線性方程組:23 （3.3） 3x1 x2 x3 4x42 2x1 2x2 x 3 X41 解先寫(xiě)出增廣矩陣A B，再用初等行變換將其逐步化成階梯形矩陣，即 112 11 （1

36、） 1 1 2 1 1 1532 o 23） o 4 1 1 1 A B= 31142 o 4 7 75 2 2 1 1 1 o 4 3 31 112 11 1 1 2 1 1 （1）o 4111 （o 4 1 1 1 0 0 6 6 6 o o 6 6 6 o o 222 o o o o o 上述四個(gè)增廣矩陣所表示的四個(gè)線性方程組是同解方程組， 最后一個(gè)增廣矩 陣表示的線性方程組為 X1X22x3 x41 4X2X3 x41 6x3 6x46 1 將最后一個(gè)方程乘，再將X4項(xiàng)移至等號(hào)的右端，得 將其代入第二個(gè)方程，解得 再將X2 ,X3代入第一個(gè)方程組, 因此，方程組（3.3）的解為 X3

37、X2 X1 X2 X3 X41 1/2 X41/2 X41/2 1/2 X41 (3.4) 其中X4可以任意取值。 由于未知量X4的取值是任意實(shí)數(shù)，故方程組（3.3）的解有無(wú)窮多個(gè)。由此可 知，表示式（3.4）表示了方程組（3.3）的所有解。表示式（3.4）中等號(hào)右端的未 知量X4稱為自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）稱為方程 組（3.3）的一般解，當(dāng)表示式（3.4）中的未知量X4取定一個(gè)值（如X4 =1），得到 1 1 方程組（3.3）的一個(gè)解（如X1-，X2 -，X3 0，X41 ），稱之為方程組 （3.3 ）的特解。 注意，自由未知量的選取不是唯一的，如例 如果將表

38、示式（3.4） 程組（3.3）的一般解為 X1 X2 X3 X4 1也可以將X3取作自由未知量。 中的自由未知量X4取一任意常數(shù)k，即令X4= k,那么方 k 12 k k 1/2 ，其中k為任意常數(shù)。 用矩陣形式表示為 X1 X2 X3 X4 k 1/2 k k 3.5) 12 1 0 1 1 12 1/2 1 0 (3.5) 為方程組（3.3）的全部解。 （用消元法解線性方程組的過(guò)程中，當(dāng)增廣矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換化成階梯形 矩陣后，要寫(xiě)出相應(yīng)的方程組，然后再用回代的方法求出解。如果用矩陣將回代 的過(guò)程表示出來(lái)，我們可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上就是對(duì)階梯形矩陣進(jìn)一步簡(jiǎn)化, 使其最終化成一個(gè)特殊的矩

39、陣， 方程組的解。例如，）對(duì)例 1 4 0 0 其中k為任意常數(shù)。稱表示式（ 1 0 0 0 2 1 6 0 從這個(gè)特殊矩陣中，就可以直接解出或“讀出” 中的階梯形矩陣進(jìn)一步化簡(jiǎn)， 1 1 6 0 1 1 6 0 6 1 0 0 0 1 4 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 2 1 0 丄 4 （1） 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1/2 V2 1 0 上述矩陣對(duì)應(yīng)的方程組為 Xi X41/2 X21/2 X3X41 將此方程組中含x4的項(xiàng)移到等號(hào)的右端，就得到原方程組（3.3）的一般解, Xi X2 X3 X41/2 1/2 X41 (3.4) 一

40、般解為 其中x4可以任意取值。 X1 2x2 3X3 4 2x1 3x2 5X3 7 4x1 3X2 9X3 9 2X1 5x2 8X3 8 將方程組的增廣矩陣 A B化成階梯陣, 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 5 7 0 1 1 1 4 3 9 9 0 5 3 7 2 5 8 8 0 1 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 2 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 2 0 7 1 0 0 3 0 1 0 2 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 例2解線性方程組 解利用初等行變換, A B = 再求解。即 X1 X2 X3 例3解線性方程組 X1 X1 2X1 X2X3 2x2 4x3 解利用初等行變換,