一階偏微分方程基本知識

1、一階偏微分方程基本知識這一章我們來討論一階線性偏微分方程和一階擬線性偏微分方程的解法，因為它們都可以化為常微分方程的首次積分問題，所以我們先來介紹常微分方程的 首次積分。1一階常微分方程組的首次積分1.1首次積分的定義 從第三章我們知道，n階常微分方程nr111y f X, y,y,n 1,y(1.1)在變換yiy， y2y,，yn(1.2)之下，等價于下面的一階微分方程組dXdy2dXf1 x,y1,y2,|0,yn ,f2X,y1,y2(,yn ,(1.3)dX在第三章中，已經(jīng)介紹過方程組 系數(shù)線性方程組外，求一般的（1.3） 可以使用所謂“可積組合”法求通積分, 然后介紹一階常微分方程組

2、 求解方程組（1.3）的問題。例1求解微分方程組dx2一 y X X dtx, yi,y2,yn .（1.3）通解的概念和求法。但是除了常 的解是極其困難的。然而在某些情況下， 下面先通過例子說明“可積組合”法， “首次積分”的概念和性質(zhì)，以及用首次積分方法來先看幾個例子。2. dyy 1,X y X2y2 1 .(1.4)解：將第一式的兩端同乘X,第二式的兩端同乘y，然后相加，得到dxX dt1 -d2這個微分方程關(guān)于變量t和X2dyydt2yX2y2 X2 y2 1 dt。是可以分離，因此不難求得其解為X22(1.5)y2X yG為積分常數(shù)。（1.5）叫做（1.4）的首次積分。注意首次積分

3、（1.5）的左端V x,y,t作為X, y,和t的函數(shù)并不等于常數(shù);從上面的推導(dǎo)可見，當(dāng)X x（t）, y y（t）時微分方程組（1.4)的解時，V X, y,t才等于常數(shù)Ci，這里的常數(shù)Ci應(yīng)隨解而異。因為式（1.4）是一個二階方程組,一個首次積分（1.5）不足以確定它的解。為了確定（ 另外一個首次積分。1.4）的解，還需要找到亦即將第一式兩端同乘y，第二式兩端同乘dxdyXdtzxdtdydxdty2 XX dtd arctan# Xdt積分得y arcta n tX其中C2為積分常數(shù)。利用首次積分（1.5）和（1.6）X，然后用第一式減去第二式，得到C2 ,(1.6)（1.4）的通解。為

4、此，采用極r cos , y r sin，這樣由(1.5)和（1.6）推得12t12eG,tC2.r1rC2t.可以確定坐標(biāo)XC1e因此我們得到方程組（1.4 ）的通解為例2求解微分方程組tsin C2t2t，yGe 2tduvw,dtdvwu,dtdwuv.J1 Gedtcos C2(1.7)(1.8)歡迎下載9其中0是給定的常數(shù)。dvV dtw列0,dt解 利用方程組的對稱性，可得du u dt從而得到首次積分Ci,1.9)其中積分常數(shù)Ci 0。同樣我們有2 duu dt由此又得另一個首次積分2 2udvVdt2 dw c w0,dtC2 ,(1.10)其中積分常數(shù)C20。有了首次積分(1

5、.9)和（1.10），我們就可以將用w表示，代入原方程組（1.8）的第三式,得到dwdt/ 2 2J a Aw b Bw(1.11)其中常數(shù)a，b依賴于常數(shù)G和C2，而常數(shù)0, B0.注意（1.11）是變量可分離方程，分離變量并積分得到第三個首次積分dw（aAw2） bBw2tC3,(1.12)其中C3是積分常數(shù)。因為方程組（1.8）是三階的,所以三個首次積分（1.9)、（1.10）和（1.12）在理論上足以確定它的通解Ut, C1, C2 ,C3 , Vt ,C1, C2, C3 , wt,C1,C2,C3 .但是由于在式（1.12）中出現(xiàn)了橢圓積分，因此不能寫出上述通解的具體表達(dá) 式?，F(xiàn)在

6、我們考慮一般的n階常微分方程(1.13)dyifi x,y1,y2, ,yn， i 1,2, n ,dx,yn連續(xù)，而且對其中右端函數(shù)fi x,y1,y2, ,yn在D Rn 1內(nèi)對x,y1,y2,1,72,yn是連續(xù)可微的。定義1設(shè)函數(shù)V V X, y1, y2,yn在D的某個子域G內(nèi)連續(xù)，而且對X, 71,7211，yn是連續(xù)可微的。又設(shè)V（1.3）在區(qū)域G內(nèi)的任意積分曲線X, yi,y2.,yn不為常數(shù)，但沿著微分方程:yi yi X ,y2 y2，ynyn X X J函數(shù)V取常值；亦即V x,yiX , y2 X ,yn常數(shù) X J ，或當(dāng)(x,y1,y2，H|,yn)時，有V x,y

7、i,y2.這里的常數(shù)隨積分曲線而定，則稱V x,yi,y2.,yn =C(1.14)為微分方程（1.13）在區(qū)域G內(nèi)的首次積分。其中C是一個任意常數(shù)，有時也 稱這里的函數(shù)V x,y1, y2,yn為（1.13）的首次積分。例如（1.5）和（1.6）都是微分方程（1.4）在某個區(qū)域內(nèi)的首次積分。 這里對區(qū)域G有限制，是要求首次積分（1.5）和（1.6）必須是單值的連續(xù)可 微函數(shù)。因此區(qū)域G內(nèi)不能包括原點，而且也不能有包含原點的回路。同理， 式（1.9）、（ 1.10）和（1.12）都是方程（1.8）的首次積分。對于高階微分方程（1.1），只要做變換（1.2），就可以把它化成一個與其 等價的微分方

8、程組。因此，首次積分的定義可以自然地移植到 而其首次積分的一般形式可以寫為V X, y, y,|）例如，設(shè)二階微分方程組d2x2 .a sin Xdt2n 1,y0為常數(shù)，n階方程（1.1）。(1.15)用詈乘方程的兩端，可得dx d2x dt dt2a2 SinxdX 0，dt然后積分，得到一個首次積分2dxdtCOSX C。n個獨立的首次積分，如果求得n階常微分方程一般的，n階常微分方程有組的n個獨立的首次積分，則可求n階常微分方程組的通解。1.2首次積分的性質(zhì)和存在性 關(guān)于首次積分的性質(zhì)，我們不加證明地列出下面的定理。在區(qū)域G內(nèi)是連續(xù)可微的，而且它不是，yn定理1設(shè)函數(shù)x,y1, y2,

9、常數(shù)，則X, yi,y2,，yn1.16)是微分方程（1.13）在區(qū)域G內(nèi)的首次積分的充分必要條件是-f1y1II Pn01.17)是關(guān)于變量 X,ynG的一個恒等式。1.13),yn這個定理實際上為我們提供了一個判別一個函數(shù)是否是微分方程（ 首次積分的有效方法。因為根據(jù)首次積分的定義，為了判別函數(shù)V x,y1,y2,是否是微分方程（1.13）在G內(nèi)的首次積分，我們需要知道（1.13）在G內(nèi)的 所有積分曲線。這在實際上是由困難的。而定理1避免了這一缺點。定理2若已知微分方程（1.13）的一個首次積分（1.14），則可以把微分 方程（1.13）降低一階。設(shè)微分方程組（1.13）有n個首次積分i

10、X,y1，y2,yn Ci i 1,2,n，(1.18)nyn(1.19)如果在某個區(qū)域G內(nèi)它們的Jacobi行列式D y1,y2,|,則稱它們在區(qū)域G內(nèi)是相互獨立的。定理3設(shè)已知微分方程（1.13）的n個相互獨立的首次積分（1.18），則可 由它們得到（1.13）在區(qū)域G內(nèi)的通解yi i X,C1, C2,Cni 1,2,n，(1.20)其中C1,C2,|,Cn為n個任意常數(shù)（在允許范圍內(nèi)），而且上述通解表示了微分方 程（1.13）在G內(nèi)的所有解。關(guān)于首次積分的存在性，我們有0,ynG ,則存在po的一個鄰域GoG ,使得微分定理 4 設(shè) P0X0, y10,|方程（1.13）在區(qū)域Go內(nèi)有

11、n個相互獨立的首次積分。定理5微分方程（1.13）最多只有n個相互獨立的首次積分。定理6設(shè)（1.18）是微分方程（1.13）在區(qū)域G內(nèi)的n個相互獨立的首次 積分，則在區(qū)域G內(nèi)微分方程（1.13）的任何首次積分V x,y1，y2.,yn =C，可以用（1.18）來表達(dá)，亦即V x,yi,y2.Yn h 1 X,y1,y2,y ,n x,y1,y2,yn其中h *,*是某個連續(xù)可微的函數(shù)。為了求首次積分，也為了下一節(jié)的應(yīng)用，人們常把方程組（1.3）改寫成對稱的形式dY1 dY2f2dyndxfn這時自變量和未知函數(shù)的地位是完全平等的。 成更一般地，人們常把上述對稱式寫dyidy2dynY y1,y

12、2,并設(shè)丫1,丫2, ，丫n在區(qū)域GY2 y1, y2,，yn% Y1，Y2,，ynRn內(nèi)部不同時為零，例如如果設(shè)Yn0,(1.21)貝1.21）等價于dyidYnY %，丫2,，yni 1,2，H|,n(1.22)x i 1,2,|所以在方程組（1.21）中只有n-1個未知函數(shù)，連同自變量一起, 7元0請注意，式（1.22）中的yn相當(dāng)于自變量,n 1相當(dāng)于未知函數(shù),共有 n個變,yn連續(xù)可微，并且不恒等于常數(shù)，則,yn =C是（1.21)的首次積分的不難驗證，對于系統(tǒng)（1.21），定理1相應(yīng)地改寫為：設(shè)函數(shù)充分必要條件是關(guān)系式丫1 y1, y2,Y1，Y2，M YnIII Yn Y1，Y2

13、，|y1, y2，Yn（1.23）如果能得到（1.21 ）的n-1個獨立的首次積分，則將它們(1.24)在G內(nèi)成為恒等式。聯(lián)立，就得到（1.21）的通積分。方程寫成對稱的形式后，可以利用比例的性質(zhì)，給求首次積分帶來方便。例3求乞理dZ的通積分。y x z解將前兩個式子分離變量并積分，得到方程組的一個首次積分22小x y C1其中Ci是任意常數(shù)，再用比例的性質(zhì),dz兩邊積分，又得到一個首次積分x yzC2,(1.25)其中C2是任意常數(shù)。1.24)1.25）是相互獨立的，將它們聯(lián)立，便得到原方程組得通積分Ci， x y C2Z.dxcy bzdyaz cxd的通積分。bx ay解 利用比例的性質(zhì)

14、，可以得到于是有dxdydzcy bz az cx bx idyayxdx ydy zdzadx bdy cdzxdxadxydybdyzdzcdz0,0.分別積分，就得到兩個首次積分222x y z Ci,axby cz C2.將它們聯(lián)立，就得到原系統(tǒng)的通積分，其中Ci和C2為任意常數(shù)。例5求解二體問題，即求解方程組d2x dt2X2 2 32y z0,dt22 x2y2 z32d2zzdt22 x2y2 z32y0.2 xd2y0,其中常數(shù)GM,G是引力常數(shù),M是相對靜止的這個天體的質(zhì)量。現(xiàn)在求二體問題的運動軌線。以x乘第二式兩邊，以y乘第三式兩邊，然后相減，得ddzdyy z dt dt

15、dt積分便得到dz ydtzdtG,(1.26)這里G是任意常數(shù)，用類似的方法，可以得到dxdzC2 ,z一 dtx dt4.1.27dyx dtdx y一 dtC3.4.1.28其中C2,C3都是任意常數(shù)。分別用x、y、z乘（:1.26 )，( 1.27 )和(1.28 )的兩邊，然后三式相加，得到C1x C2yC3Z0.( 1.29 )這時一個平面方程。說明二體問題的運動軌跡x x t , y y t , z z t 位于疋條平面曲線。重新選取坐 平面，于是二體問題的運動方程（1.29 ）所表示的平面內(nèi)。因此二體問題的軌跡曰 標(biāo)平面，不妨將軌跡線所在的平面選為（x, y） 是由這兩式可以看

16、到dx d2xdtdt2dt22 x2y32d2yydt22 x2y32x0.dy d2yd2x0,4.1.304.1.31dtdt2dxx一dty魚dtx23222122x2122歡迎下載11上式可以寫成ddtdxdtdydtgdt0,dydtA.兩邊積分，得到一個首次積分2 dxdt其中A為積分常數(shù)。引入極坐標(biāo)x r cos,y r si n，經(jīng)過簡單的運算，上式可以寫成dr 2 d?2d?A. r(1.32 )另一方面，以y乘（1.30 ），以x乘d2y x1.31 ）,然后兩式相減，得積分后得到另一個首次積分化成極坐標(biāo)，便得0,貝9由（1.32不妨把“得到d2x ydt2ddtxddx

17、yd?xd?dxydr2 dr 一dt)和(1.33 )解得斗J E2B V r r(1.33)drd”與B合并，仍記為B,則上式可以寫成d E2B ,若0，則上式?jīng)]有意義,旦_ r B arccos 廠(1.34故總設(shè)00。將（1.34 ）積分,這里0又是一個積分常數(shù)。從上式得到二體問題軌跡線的極坐標(biāo)方程B21旦廠 cos0(1.35歡迎下載16由平面幾何知道，這是一條二次曲線。它的離心率是當(dāng) 1時，軌跡為一個橢圓；當(dāng)1時，軌跡為一個拋物線；當(dāng)1時，軌跡為一雙曲線。由（1.35 ）可知,r依賴于常數(shù)，人和B，其中 GM是系統(tǒng)常數(shù)；A和B由初始條件rdr0,d確定。t 0如果B0 （即ddfp

18、l0)，則由(1.33 )知 一 0,dtt等于常數(shù)，這表示運動的軌跡是一條射線，這個例子說明，雖然二體問題的解利用首次積分，卻完整地求出了運動的軌跡方程。這是顯然的事。x=x（t ）和y=y（t）沒有求出來，但是2 一階齊次線性偏微分方程下面我們討論一階線性偏微分方程和一階擬線性偏微分方程的解法。 2.1 一階線性偏微分方程一階線性偏微分方程的一般形式為Ai Xi,X2,XnA Xi,X2,XnX1X2八UcAn X1,X2, Xn 0，Xn或簡記為其中U為X1 , X2 ,nAii 1X1,X2,Xn(2.1),Xn的未知函數(shù)n 2。假定系數(shù)函數(shù)A,A2,|,An對Xi, ,XnD是連續(xù)可

19、微的，而且它們不同時為零，即在區(qū)域D上有A x,X2,i 1|,Xn注意微分方程組（2.1）對于偏微分方程組（是線性齊次的。2.1）,我們考慮一個對稱形式的常微分方程組dX1dX2dXnA, X1, X2 ,XnA2 X1,X2, ,XnAn X1,X2,Xn(2.3)它叫做（2.1）的特征方程， 組，所以它有n-1個首次積分注意特征方程（2.3）是一個（n-1）階常微分方程i 0X2,XnGi 1,2,I, n 1 。(2.4)i Xi,X2,XnCi ,i 1,2,n 1則一階偏微分方程u n，X2,Xn其中為一任意n 證明設(shè)（2.1）的通解為1 X1，X2，H1元連續(xù)可微函數(shù)。Xn ,

20、2X,X2,，Xn,n 1 X1，X2,卅，Xn(2.5)Xi,X2,Xn(2.6)我們的目的是通過求（2.3）的首次積分來求（2.1）的解。（2.1）的解與（2.3） 的首次積分之間的關(guān)系有如下的定理（2.3）的n 1個首次積分（2.4）定理1假設(shè)已經(jīng)得到特征方程組是方程（2.3）的一個首次積分。因為函數(shù)Ai,A，M，An不同時為零，所以在局部鄰域內(nèi)不妨設(shè)A Xi,X2,Xn 0，這樣特征方程（2.3）等價于下面標(biāo)準(zhǔn)形式的XnnAii 1Xi,|(,Xn 一Xi(2.8)這就證明了（非常數(shù)）函數(shù)X1,X2,Xn為方程（2.3）的一個首次積分的充要條件為恒等式（2.8）成立。換言之,Xi,X2

21、,Xn為方程（2.3）的一個首次積分的充要條件是ux1,x2,Xn為偏微分方程（2.1）的一個（非常數(shù)）微分方程組(2.7)因此（2.6）也是（2.7）的一個首次積分，從而有恒等式n 1 A0，i 1 An Xi 亦即恒有解。因為（2.4）是微分方程（2.3）的n-1個獨立的首次積分，所以根據(jù)首次 積分的理論得知，對于任意連續(xù)可微的（非常數(shù)） n-1元函數(shù) ，1 X1,X2,，Xn,n 1X1, X2 ,，Xn就是（2.3）的一個首次積分。因此，相應(yīng)的函數(shù)（2.5）是偏微分方程（2.1）的一個解。反之，設(shè)u u X1,X2,xn是偏微分方程（2.1）的一個（非常數(shù)）解，則u Xi，X2,XnC

22、是特征方程（2.3）的一個首次積分，因此，根據(jù)首次積分的理論得知，存在連續(xù)可微函數(shù)n 1，使恒等式u Xi,X2,|,Xn1 為，X2,，Xn,n 1X1, X2 ,，Xn成立，即偏微分方程（2.1）另外，如果允許 是常數(shù)，則（2.5）顯然包括了方程（2.1）的常數(shù)解。 因此，公式（2.5）表達(dá)了偏微分方程組（2.1 ）的所有解，也就是它的通解。 例1求解偏微分方程的任何非常數(shù)解可以表示成（2.5）的形式。zX y X解原偏微分方程（2.9）的特征方程為y - 0( X2 y20).X(2.9)dxX ydyX y它是一階常微分方程組，求得其一個首次積分為VX2yarctany2e xC,由定

23、理1知，原偏微分方程的通解為z X, yylXyarctan 2Xy e其中 為任意可微的函數(shù)。 例2求解邊值為題Xz 1,fyxy.ZZ0, X0, y 0,z 0(2.10)再由原偏微分方程（2.10)dXdy的特征方程為dxdy dzdy廠，得 TX Tv C1 ；,得 2 jy In zC2.z故方程的通解為7?歡迎下載18f X, y, z4X 曲2曲 lnz,因為Jx jyjy(2.11)其中 為任意二元可微的函數(shù)，可由邊值條件確定f x, y,1ln1xy，令 Vx Jy, 2羽，則代入（2.11）式，得到f x, y,zTxx/7，WyIn z2jy2In z 廠 Jx 4Jy

24、L22jy ln z2寸勺In z 2真2In z162.2 一階擬線性非齊次偏微分方程F面討論一階擬線性非齊次偏微分方程A1 X1,X2,Xn,U A2 X1,X2, Xn,U UX1An X1,X2,X2u,Xn,U XnB X1,X2,Xn,U(2.的求解方法。,Xn,UG是連續(xù)可微的。這式（2.12）中函數(shù)aJIIa和B關(guān)于變元 為,|里所說的“擬線性”是指方程關(guān)于未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都是一次的，各個系數(shù)A X1, X2, Xn,u ， i 1,2, ,n中可能含有未知函數(shù)u，而“非齊次”是指存在不含未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的自由項B X1 , X2 , ,Xn,U。和一階線性偏微分方程nA x,X

25、2, I I，i 1Xn BoXiX1,X2,XnB1 X1,X2|,Xn U(2.13)歡迎下載242.12）比線性方程（2.12）更廣泛。相比較，顯然式擬線性方程（我們將求解（2.12 ）的問題化成求解線性齊次方程的問題，設(shè)V X1,X2, , Xn，UC是（2.12）的隱函數(shù)形式的解，且y 0,則根據(jù)隱函數(shù)微分法得UuXiVXiVU1,2,n(2.14)將（2.14）代入（2.12）中，經(jīng)過整理得A X1,x2,An x1,x2,A2 X1,X2川Xn,U X1JV c,Xn,U B X1,X2,Xn,Xn,UXn,U(2.15)（2.15）變成了關(guān)于未知函數(shù)由此，可以將V視為關(guān)于X1,

26、X2, ,Xn,U的函數(shù),V X1,X2, , Xn,U的一階線性齊次偏微分方程。于是函數(shù)V X1,X2, , Xn,U應(yīng)是方程（2.15）的解。反過來，假設(shè)函數(shù)V X1,X2, ,Xn,U是（2.15）的解，且-0,則由（2.15）U和（2.14）可以推出由方程V X1,X2, Xn,u=0所確定的隱函數(shù)U U XpX?,Xn是方程（2.12）的解。這樣求解方程（2.12）dx1dx2A1 X1,X2, , Xn,UA2 X1,X2, ,Xn,UdXnAn X1, X2, ,Xn,Un的問題就化成了求解（2.15）的問題。為了求解（2.15），先寫出其特征方程組 為dU.（ 2.16） B X1 , X2 , Xn,Ui X1, X2 , Xn, u Ci，i 1,2,n就得到（2.15）的通解為V X1,X2, ,Xn,U1 X1,X2, Xn,U , 2 X1,X2, ,Xn,U , , XX?, ,Xn,U（2.17） 其中 是所有變元的連續(xù)可微函數(shù)。我們將（2.16）稱為方程（2.12）的特征 方程組。上述過程寫成定理就是定理設(shè)函數(shù)A X1,X2, kn；u i 1,2,n 和 B x,x2,Xn; U在區(qū)域G