2020屆云南師大附中高三下學(xué)期高考適應(yīng)性月考卷(七)數(shù)學(xué)(文)試題(解析版

1、2020 屆云南師大附中高三下學(xué)期高考適應(yīng)性月考卷（七）數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1體育節(jié)到來，多數(shù)同學(xué)都會參加至少一個運動項目 .設(shè)集合 U 甲班全體同學(xué) ，集 合 A 參加跳高的甲班同學(xué) ，集合 B 參加跳遠的甲班同學(xué) ，則 CU AI B 表示的 是（ ）A 既參加跳高又參加跳遠的甲班同學(xué)B既不參加跳高也不參加跳遠的甲班同學(xué)C 參加跳高或跳遠的甲班同學(xué)D不同時參加跳高和跳遠的甲班同學(xué)【答案】 D【解析】 利用集合的交、補運算的概念即可求解 .【詳解】易知 AI B 表示的是同時參加跳高和跳遠的同學(xué)， 則 CU AI B 表示的是甲班不同時參加跳高和跳遠的同學(xué)， 故選： D.點睛】 本題考查

2、了集合的交、補運算，利用集合的交、并、補運算的概念是解題的關(guān)鍵，屬于 基礎(chǔ)題 .82已知復(fù)數(shù) z 1 3i ，則 2 （ zA 1 3iB1 3iC 1 3iD答案】解析】利用復(fù)數(shù)的四則運算即可求解故選： A.第 1 頁 共 21 頁詳解】2 3i 3i222 3i ，故 82z282 2 3i8 2 2 3i16 1 3i2 2 3i 2 2 3i161 3i ，第 15 頁 共 21 頁點睛】 本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算、復(fù)數(shù)的運算滿足多項式相乘，屬于基礎(chǔ)題3已知平面向量 a， b ，命題“a 2 b ”是“a 2b a 2b ”的（ ）B必要不充分條件D既不充分也不必要條件A 充分不必要條

3、件C 充要條件解析】 首先根據(jù)向量的數(shù)量積可得【答案】 Da b ，從而可判斷出與 a 2 b 的關(guān)系，利用充分條件、必要條件的定義即可得出答案詳解】a 2b a 2b22a 2ba 2b8a b 0a b ，而 a b與 a 2 b 之間沒有必然的聯(lián)系， 所以 “a 2 b ”是“a 2b a 2b ”的既不充分也不必要條件， 故選： D.點睛】 本題考查了充分條件、 必要條件的定義， 向量的模以及向量數(shù)量積的運算， 屬于基礎(chǔ)題4某工廠為了對 40 個零件進行抽樣調(diào)查，將其編號為00， 01，38，39.現(xiàn)要從中選出 5 個，利用下面的隨機數(shù)表，從第一行第 3 列開始，由左至右依次讀取，則選

4、出來 的第 5 個零件編號是（ ）034743738636964736614698637162332616804560111410957774246762428114572042533237322707360751245179A 36B16C11D14答案】 C解析】 利用隨機數(shù)表的讀取方法即可求解 【詳解】從題中給的隨機數(shù)表第一行第 3 列開始從左往右開始讀取， 重復(fù)的數(shù)字只讀一次，讀到的小于 40 的編號分別為 36，33， 26，16，11，故選： C.【點睛】 本題考查了隨機數(shù)表的讀法，注意對于重復(fù)數(shù)字只讀一次，屬于基礎(chǔ)題 . 5一場考試之后，甲、乙、丙三位同學(xué)被問及語文、數(shù)學(xué)、英語三

5、個科目是否達到優(yōu) 秀時，甲說：有一個科目我們?nèi)齻€人都達到了優(yōu)秀；乙說：我的英語沒有達到優(yōu)秀；丙 說：乙達到優(yōu)秀的科目比我多 .則可以完全確定的是（ ）A 甲同學(xué)三個科目都達到優(yōu)秀B乙同學(xué)只有一個科目達到優(yōu)秀C 丙同學(xué)只有一個科目達到優(yōu)秀D三位同學(xué)都達到優(yōu)秀的科目是數(shù)學(xué)【答案】 C【解析】 根據(jù)題意推斷出乙有兩科達到優(yōu)秀，丙有一科達到優(yōu)秀，甲至少有一科優(yōu)秀， 從而得出答案 .【詳解】 甲說有一個科目每個人都達到優(yōu)秀，說明甲乙丙三個人每個人優(yōu)秀的科目至少是一科， 乙說英語沒有達到優(yōu)秀，說明他至多有兩科達到優(yōu)秀，而丙優(yōu)秀的科目不如乙多，說明 只能是乙有兩科達到優(yōu)秀，丙有一科達到優(yōu)秀，故 B 錯誤，

6、C 正確； 至于甲有幾個科目優(yōu)秀，以及三人都優(yōu)秀的科目到底是語文還是數(shù)學(xué)，都無法確定 故選： C【點睛】 本題主要考查了學(xué)生的推理能力，屬于中檔題 .6朱世杰是元代著名的數(shù)學(xué)家，有 “中世紀(jì)世界最偉大的數(shù)學(xué)家 ”之稱 .其著作四元玉 鑒是一部成就輝煌的數(shù)學(xué)名著，受到數(shù)學(xué)史研究者的高度評價.四元玉鑒下卷 “雜范類會 ”中第一問為： “今有沈香立圓球一只， 徑十寸，今從頂截周八寸四分， 問厚幾何？ ” 大意為現(xiàn)有一個直徑為 10 的球， 從上面截一小部分， 截面圓周長為 8.4，問被截取部分 幾何體的高為多少 .已知朱世杰是以圓周率為 3 來計算，則四元玉鑒中此題答案為（）（注： 4.82 23.

7、04 ）A 0.2B 0.4C0.6D 0.8【答案】 A【解析】 利用圓的周長公式算出截面的半徑，再根據(jù)勾股定理可得 r2 5 h 2 52 ， 解方程即可 .【詳解】設(shè)截面圓半徑為 r ，截下來的幾何體高為 h ，若以 3 作為圓周率，則 r8.41.4，23又 r2 5 h52，故 h 5 25 1.42 5 23.04 5 4.8 0.2，故選： A.【點睛】本題考查了球截面，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題7函數(shù) f x5x的圖象大致為（xx ee答案】 A）y 對稱，再根據(jù)【解析】 根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義可得函數(shù)為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖像關(guān)于 指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長速度的快慢即可得出選項

8、.【詳解】易知 f xx5x x 為偶函數(shù)，故排除 B， D，xxee又當(dāng) x 趨向正無窮時，指數(shù)函數(shù)增長速度大于冪函數(shù)，故知函數(shù)值應(yīng)趨向于0，故選： A.【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長形式，屬于基礎(chǔ)題 .28已知拋物線 y2px p 0x2的準(zhǔn)線與橢圓9y241相交的弦長為 2 3 ，則 p（）A1B2C3D4【答案】 C【解析】 根據(jù)橢圓的對稱性可得yA3 ，從而求出xA3，2，再利用拋物線的性質(zhì)可知 p 3.【詳解】 拋物線的準(zhǔn)線方程為 xp ，2 設(shè)其與橢圓相交于 A， B 兩點， AB 2 3， 不妨設(shè) yA 0 ，根據(jù)對稱知 yA3 ，33代入橢圓方程解得

9、xA3 或 xA 3 （舍去），22p 3 ，故選： C.【點睛】 本題主要考查了拋物線的幾何性質(zhì)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的對稱性，屬于基礎(chǔ)題 9在正四面體 A BCD 中， E ， F 分別為 AB ， CD 的中點，則下列命題不正確的 是（ ）A EF ABB EF CDC EF 與 AC 所成角為D EF 與 BD 所成角為43【答案】 D【解析】 將正四面體 A BCD 放入正方體中，正四面體的每一條棱都是正方體的面對 角線， E， F則分別是上下底面的中心，結(jié)合圖像即可得出答案 .【詳解】 如圖所示，將正四面體 A BCD 放入正方體中， 則正四面體的每一條棱都是正方體的面對角線，

10、E，F(xiàn) 則分別是上下底面的中心 由圖中容易看出， EF AB 和 EF CD 顯然成立，且 EF 與 AC ， BD 所成角都應(yīng)該為，故不正確的選項為 D ，4點睛】本題考查了空間中直線與直線的位置關(guān)系、異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題 10如圖，已知在算法中 “ ”和 “mod”分別表示取商和取余數(shù) .為了驗證三位數(shù)卡普雷 卡爾 “數(shù)字黑洞 （” 即輸入一個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)， 經(jīng)過如圖的有限次的重排求差計算， 結(jié)果都為 495） .小明輸入 x 325，則輸出的 i （ ）A 3B 4C5D 6【答案】 B【解析】 首先讀懂程序，輸入任意一個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，將其個位，十位，百位重 新排列，

11、組成一個最大數(shù)和一個最小數(shù)，寫出每次循環(huán)的結(jié)果，使差是495 結(jié)束循環(huán)，即可得出答案 .【詳解】先讀懂程序：輸入任意一個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)， 將其個位，十位，百位重新排列，組成一個最大數(shù)和一個最小數(shù)， 然后作差，若差不為 495，則繼續(xù)此過程，經(jīng)過有限次步驟之后，最后結(jié)果一定是495.對于輸入的 325，第一次循環(huán)：重新排列后，最大數(shù)為 532，最小數(shù)為 235，相減得297，然后 i1 ；第二次循環(huán)：重新排列后，最大數(shù)為972，最小數(shù)為279，相減得693，然后 i2 ；第三次循環(huán)：重新排列后，最大數(shù)為963，最小數(shù)為369，相減得594，然后 i3 ；第四次循環(huán)：重新排列后，最大數(shù)為954

12、，最小數(shù)為459，相減得495，然后 i4 ，結(jié)束循環(huán)， 故選： B.【點睛】 本題主要考查了程序框圖、讀懂程序框圖是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題 .詳解】22fxx cos xx cosx故只需考慮 x 0, 的單調(diào)性即可x ，故 f x 為偶函數(shù)f x 2x sin x ，當(dāng) x 0,時，易得 f x 0故 f x 在 0, 上單調(diào)遞增， a f log13 5f log5 3 ，1b f log 3f log3 5 ，由函數(shù)單調(diào)性可知3f 1 3 f5log53 f log35 ，即 c a b311已知函數(shù) f2x x cosx ，若 a f log1 3 ，b f51log3 ，c35f15則(

13、)AabcBbacCcbaDcab【答案】B【解析】判斷x 為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出fx在 0,上單調(diào)遞增，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù) f x 的單調(diào)性和奇偶性，即可得出答案故選： B【點睛】本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性比較大小，屬于中檔題 .12雙曲線定位法是通過測定待定點到至少三個已知點的兩個距離差所進行的一種無線電定位 .通過船（待定點）接收到三個發(fā)射臺的電磁波的時間差計算出距離差，兩個距 離差即可形成兩條位置雙曲線，兩者相交便可確定船位.我們來看一種簡單的 “特殊 ”狀況；如圖所示，已知三個發(fā)射臺分別為A， B ， C且剛好三點共線，已知 AB 34海里， AC 20海里，現(xiàn)

14、以 AB的中點為原點， AB所在直線為 x軸建系 .現(xiàn)根據(jù)船 P接 收到 C點與 A點發(fā)出的電磁波的時間差計算出距離差，得知船P 在雙曲線x 27 2 2x 27 y 1的左支上，根據(jù)船 P 接收到 A臺和 B 臺電磁波的時間差，計算出船 36 64P到 B 發(fā)射臺的距離比到 A發(fā)射臺的距離遠 30海里，則點 P的坐標(biāo)（單位：海里）為 （）2線為 x2252 y2 1 x 6415 ，與雙曲線 x 27 2362y641聯(lián)立，即可得出點 P 坐標(biāo) .90 A7, 32 117B135, 32 277C 17,32D45,16 23【答案】B22【解析】設(shè)由船 P 到 B 臺和到A 臺的距離差確

15、定的雙曲線方程為2 2 1 x aa2 b2根據(jù)雙曲線的定義得出a 15，再得出由船 P 到 B 臺和到 A臺的距離差所確定的雙曲詳解】設(shè)由船P 到 B 臺和到A臺的距離差確定的雙曲線方程為2x2a2y2 1 x a b2由于船P 到 B 臺和到A 臺的距離差為 30 海里，故 a15，又 c=17 ，故 b 8故由船P 到 B 臺和到A臺的距離差所確定的雙曲線為2x225y 1 x 156422x 27y2135 32 21 x 21聯(lián)立 362x2252 64 ，解得 y 1 x 1564故選： B點睛】 本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用，屬于中檔題二、填空題213曲線 y x2 1 ln x

16、在 1,0 處的切線方程為 【答案】 2x y 2 0解析】 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則求出導(dǎo)函數(shù)，從而求出在 1,0 處的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾 何意義求出切線的斜率，從而求出切線方程 .【詳解】x2 1y 2xlnx ，當(dāng) x 1時，切線斜率 k y 2， x故切線方程為 y 2 x 1 ，即 2x y 2 0.故答案為： 2x y 2 0【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題 .14已知公差不為 0 的等差數(shù)列 an 滿足 a1 3，且 a1 ， a4， a13成等比數(shù)列， 則 an 的前 n 項和 Sn .【答案】 n2 2n【解析】 設(shè)公差為 d ，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得出

17、a1 a13 a42 ，進而得出2a1 a1 12da1 3d ，求解得出 d 2 ，再由等差數(shù)列的通項公式以及求和公式得出 Sn.【詳解】22設(shè)公差為 d ，由題意知 a1 a13 a42 ，即 a1 a1 12da1 3d即 3 3 12d3d2，解得 d2或d 0 （舍去）an 2n1，故 Sna1an2n 3 2n 1n2 2n.故答案為：2n2 2n點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的前n 項和，屬于中檔題 .15已知x，2x y 滿足答案】193y1512，則 z 3x 2y 的最大值為21 18 解析】 先將 x ， y 當(dāng)作正實數(shù)來處理，利用簡單的線性規(guī)劃可得在 M , 處取55得

18、最大值， 再由 x,y N ，在可行域內(nèi)檢驗實數(shù)對 5,2 滿足要求，代入即可求出最值【詳解】先將 x， y當(dāng)作正實數(shù)來處理，則如圖所示，畫出可行域后，3x 2y 的最大值在 M21,185,5處取得，代入算得最大值為9999 ，現(xiàn) x,y N ，5 3x 2y N ， z 3x 2y 19，經(jīng)檢驗，實數(shù)對 5,2 滿足題目要求，且代入得 z 19 ，故最大值為 19.故答案為： 19解題的關(guān)鍵是作出約束條件的可行域，注意此題取整數(shù)點，【點睛】 本題考查了簡單的線性規(guī)劃， 屬于基礎(chǔ)題 .116 已知，函數(shù) f x sin x 在區(qū)間 ,2 上單調(diào) .441 ,1 ； f x 在區(qū)間 ,2 上單

19、調(diào)遞減；4 f x 在區(qū)間 0, 上有零點； fx 在區(qū)間 0, 上的最大值一定為 1.以上四個結(jié)論，其中正確結(jié)論的編號是答案】 解析】 根據(jù)題意可得T2，從而可得2 1 ，且k2即可求解 .Z ，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)逐一排除首先，因為函數(shù) f x在區(qū)間,2 上單調(diào)，顯然 T 2 ，故其次，還應(yīng)滿足k2kkZ2442解得31 kkkZ，因為11，4824故唯有1k 1 ，故 15，故錯；48且因為k 1 ，所以 fx在區(qū)間,2上單調(diào)遞減，故 對；當(dāng)x0, 時， x44415 ，7，4，8248詳解】所以 x時，x 在區(qū)間0, 上沒有零點，故 錯；由 可知故答案為：0,在區(qū)間.21， T0,

20、上的最大值一定為 1，故對.綜上，正確的是 .點睛】 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，需熟記三角函數(shù)的周期公式、單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題 三、解答題17 華為手機作為全球手機銷量第二位，一直深受消費者喜歡.據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示， 2019年度華為手機（含榮耀）在中國市場占有率接近 40% ！小明為了考查購買新手機時選 擇華為是否與年齡有一定關(guān)系，于是隨機調(diào)查 100個 2019 年購買新手機的人，得到如購買華為購買其他總計年輕用戶28非年輕用戶2460總計不完整的列表 .定義 30歲以下為 “年輕用戶 ”， 30歲以上為 “非年輕用戶22P K 2 k00.1000.0500.0100.001k02.7063

21、.8416.63510.828附： K 2n ad bca b c d a c b d（ 1）將列表填充完整，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為購買手機時選擇華為與年齡有關(guān)？（ 2）若采用分層抽樣的方法從購買華為手機用戶中抽出6個人，再隨機抽 2 人，求恰好抽到的兩人都是非年輕用戶的概率 .2【答案】（ 1）表格見解析，沒有把握； （2） 25【解析】（ 1）補全列聯(lián)表，計算 K2，即可得出結(jié)論；（ 2）利用分層抽樣抽取 6個購買華為手機的用戶，易知其中有 2個年輕用戶， 4 個非 年輕用戶，不妨用 A， B表示兩個年輕用戶，用 c，d，e， f表示非年輕用戶，利用 列舉法，結(jié)合古典概型的概率公式，

22、即可得出答案 .【詳解】解：（1）易得購買華為購買其他總計年輕用戶122840非年輕用戶243660總計3664100由列表可得22 n ad bcK2abcdacbd2100 36 12 28 24 21.04 2.70640 60 36 64故沒有 90% 的把握認(rèn)為購買手機時選擇華為與年齡有關(guān)系2）利用分層抽樣抽取 6個購買華為手機的用戶，易知其中有2個年輕用戶， 4 個非年輕用戶，不妨用 A， B表示兩個年輕用戶，用 c，d，e， f 表示非年輕用戶， 現(xiàn)從中任選兩人， 則共有 A,B ， A,c ， A,d ， A,e ， A, f ， B,c ， B,d ，B,e ， B, f ，

23、 c,d ， c,e ， c, f ， d,e ， d, f ， e, f ，15 種可能， 其中滿足要求的有 6 種，由古典概型可知 P 6 2 .15 5【點睛】本題主要考查了獨立性檢驗的應(yīng)用以及計算古典概型的概率，屬于中檔題 .218在 ABC中， BAC 3 ，D是 BC上一點， AD AC且 AD 1.3（ 1）若 AB3，求 BC ；21（ 2）求 21 .AB AC【答案】（ 1） 3；（ 2） 3【解析】（ 1） BAD BAC DAC ，在 ABD 中，利用余弦定理即可求解 .6AD 1（ 2）方法一：設(shè) C，在 VACD中，可得 tan AD 1 ，在 ABD中，AC AC

24、利用正弦定理可得 sin B sin ADB ，將角代入整理即可求解；方法二：由AD ABSACD SABD SABC ，利用三角形的面積公式并化簡整理可得sin CADsin BADsin BAC，代入角即可求解ABACAD【詳解】（ 1） BADBACDAC 2 ，326在 ABD 中，由余弦定理可知，BD2 AB2 AD2 2AB ADcos BAD 3 1 2 3 1 3 1， 2所以 ABD 為等腰三角形， B BAD ， 6CB ，DC2，BCBD CD 336sin6（2）法一：設(shè)C，在 VACD 中，tanAD1ACAC又B， ADB32，在 ABD 中，由正弦定理知 sin

25、B sinADBADABsin2sin即3cos ，231ABAB cos212sin3ABACcos法由 S ACDS ABDsin 3cos sin sincosS ABC ，1得 AC AD sin CAD21 AB ADsin BAD21 AB AC sin BAC ，2兩邊同時除以1 AB AC2AD ，得sin CADABsin BADACsin BACAD張角定理）即1AB12AC3212 AB AC1cos點睛】 本題考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，屬于中檔題19如圖，已知在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD為等腰梯形， BC/AD ，AD 1，BC 3

26、， AC BD 2 2，點 P在底面的投影 O恰好為 AC與 BD的交點，PO 3 2 .21）證明： AC PB ；2）求點 A 到平面 PDC 的距離 .答案】（ 1）證明見解析； （ 2） 2 2211解析】（ 1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出 AO DO 2 ，利用勾股定理得出2AC BD ，由 PO 平面 ABCD 得出 PO AC ，利用線面垂直的判定定理以及性質(zhì)證明即可；2）利用等體積法求解即可詳解】1）證明：如圖， AD/ /BCOA 由相似可知， OOCAOD ADOB BC又 AC BD 2 2 ， AODO 22故OA2 OD2 AD2， ACBD.又點 P在底面的投影為 O

27、， PO 平面 ABCD ， PO AC又 BD I PO O ， BD,PO平面 PBD AC 平面 PBD ， PB 平面 PBD ， AC PB.2）解：由（ 1）知 OD 2 ， OC 3OA 3 222CDOD2 OC2 5，PD OD2 OP25， PCOC2 OP2 3在等腰DPC 中， PC 邊上的高 h0PD22PC252112S DPC1 PC h01 3 11 3 112 02 2而 S ADC又 VP ADCPDC ，設(shè)點 A到平面 PDC 的距離為即 1 S ADC3PO 1SDPC h，故 h SASDC PO3 DPC S DPC132123 1142 2211點

28、睛】本題主要考查了證明線線垂直以及利用等體積法求點到平面的距離，屬于中檔題2 x20 已知橢圓 2ab21a0 的長軸長為 4 ，且經(jīng)過點P 2, 22（ 1）求橢圓的方程；1（ 2）直線 l 的斜率為 ，且與橢圓相交于 A ， B 兩點（異于點 P ），過 P 作 APB 的2角平分線交橢圓于另一點 Q .證明：直線 PQ與坐標(biāo)軸平行 .2答案】（ 1）y2 1；（2）證明見解析4解析】（ 1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，求解即可；2）因為 PQ 平分 APB ，欲證 PQ與坐標(biāo)軸平行，即證明直線 PQ 的方程為 x 22或 y ，只需證 PA ， PB 斜率都存在，且滿足 kPA kPB20 即可 .

29、 將直線 l 的方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求解即可詳解】1）2解： a 2 ，將 P代入橢圓方程，得 2222，b21解得2b 1 ，故橢圓的方程為 x4y2 1.欲證證明： PQ 平分 APBPQ 與坐標(biāo)軸平行，即證明直線PQ 的方程為 x 2 或 y只需證 PA， PB斜率都存在，且滿足 kPA kPB 0即可.112AC DO 2 2 1 2222）第 17 頁 共 21 頁當(dāng) PA 或 PB 斜率不存在時，即點2A或點 B 為 2, 2經(jīng)檢驗，此時直線 l與橢圓相切，不滿足題意，故 PA， PB 斜率都存在 .1設(shè)直線 l ：yx2m， A x1,y1 ，B x2,y2 ，2x聯(lián)

30、立 42 y1x2 2mx 2m22 0 ，1yxm24m280， m2 2 ，2由韋達定理得 x1 x22m， x1x2 2m2 2 ，y1y2y1x2 2y2x1 2kPBx1x2x1 2 x2 2y1x2 2y2x1 22 y1 y2x1y2 x2 y1x1x22 12x11mx2221 x1x2 m1 2 21x2x1 m2 2 12 2 2m m 2 x1 x2x1x2 2 2 2m m 222m 2m 2 0得證 .【點睛】 本題主要考查了求橢圓方程以及韋達定理的應(yīng)用，屬于中檔題 .1 3 1 2 21 已知函數(shù) f xx3x2 ax 1.32（ 1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若 a

31、 1 ，證明：當(dāng) x 0, 時， f x sinx cosx .【答案】（ 1）見解析；（ 2）見解析2【解析】（ 1）求出導(dǎo)函數(shù) f x x x a ，由1 4a ，討論 a 的取值范圍，確定 f x 的正負，進而可得出函數(shù)的單調(diào)性2）由題意可得 f x1 3 1 2x x ax3213x321 x2 x 1，只需證13x3gx12x213x3x 1 sincosx 0 ，令12x2sin x cosx ，0 ，利用導(dǎo)數(shù)證出函數(shù) g x 單調(diào)遞減即可證出詳解】1）解：fa，所以4a.當(dāng)0時，此時 f x在 R 上單調(diào)遞減；當(dāng)時，解得x11 1 4a ，2x21 1 4a ，易知1 4a2時，

32、f單調(diào)遞減；1 4a 1 1 4a時，fx 單調(diào)遞增；1 1 4a2時，f0，單調(diào)遞減 .綜上，當(dāng) a1 時， f x4在 R 上單調(diào)遞減；當(dāng)a1時，4時，f x 在,1 1 4a ，1 1 4a ,上單調(diào)遞減；, 2 ，2,在11 4a,1 1 4a上單調(diào)遞增 .22（2）證明：a1 ， x0,1312ax 113 1 21，fxxxxxx3232欲證fxsinxcosx，先證13x12 xx1sin x cosx，32即證1x312 xx1sin xcosx0，32令gx13 x12 xx1sinxcosx，則g0 0 ，32g x2 xx1 cosx sinx ，則g 00，gx2x1s

33、inxcosx，則 g00第 21 頁 共 21 頁g x 2 cosx sin x 2 2sin x 0 ， 4，故 g x 在 0,上單調(diào)遞減，故 g x g 0 0，故 g x 在 0,上單調(diào)遞減，故 g x g 0 0，第 25 頁 共 21 頁故 g x 在 0, 上單調(diào)遞減，故 g x g 0 0 ，1 3 1 2即 x x x 1 sin x cosx ，故 f x sinx cosx . 32點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式， 考查了分類與整合的解題思想，屬于難題22 已知直線 l 的參數(shù)方程為x1ytt 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C 的極坐標(biāo)方程為4cos（ 1）寫出直線 l 的普通方程和曲線 C的直角坐標(biāo)方程；（ 2）已知點 P 0, 1 ，直線 l 與曲線 C相交于點 A， B，求 PA PB .【答案】（ 1） x y 1 0， x 2y2 4；（2） 3 2【解析】（ 1）消去參數(shù) t即可將直線 l 化為普通方程；將 4cos 變?yōu)?2 4 cosx cos由 ，代入即可求出曲線 C 的直角坐標(biāo)方程 .y sin（ 2）將直線的參數(shù)方程代入代入曲線C的方程，化成關(guān)于 t 的一元二次方程，利用參數(shù) t 的幾何意義以及韋達定理即可求解 .【