高考數(shù)學(xué)必備—高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題—第75煉 幾何問題的轉(zhuǎn)換

1、高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家第75煉 幾何問題的轉(zhuǎn)換一、基礎(chǔ)知識(shí)： 在圓錐曲線問題中，經(jīng)常會(huì)遇到幾何條件與代數(shù)條件的相互轉(zhuǎn)化，合理的進(jìn)行幾何條件的轉(zhuǎn)化往往可以起到“四兩撥千斤”的作用，極大的簡化運(yùn)算的復(fù)雜程度，在本節(jié)中，將列舉常見的一些幾何條件的轉(zhuǎn)化。1、在幾何問題的轉(zhuǎn)化中，向量是一個(gè)重要的橋梁：一方面，幾何圖形中的線段變?yōu)橛邢蚓€段后可以承載向量；另一方面，向量在坐標(biāo)系中能夠坐標(biāo)化，從而將幾何圖形的要素轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運(yùn)算，與方程和變量找到聯(lián)系2、常見幾何問題的轉(zhuǎn)化：（1）角度問題： 若與直線傾斜角有關(guān)，則可以考慮轉(zhuǎn)化為斜率 若需要判斷角是銳角還是鈍角，

2、則可將此角作為向量的夾角，從而利用向量數(shù)量積的符號(hào)進(jìn)行判定（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 可以利用圓的定義，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心距離與半徑的聯(lián)系，但需要解出圓的方程，在有些題目中計(jì)算量較大 若給出圓的一條直徑，則可根據(jù)該點(diǎn)與直徑端點(diǎn)連線的夾角進(jìn)行判定：若點(diǎn)在圓內(nèi)，為鈍角（再轉(zhuǎn)為向量：；若點(diǎn)在圓上，則為直角（）；若點(diǎn)在圓外，則為銳角（）（3）三點(diǎn)共線問題 通過斜率：任取兩點(diǎn)求出斜率，若斜率相等，則三點(diǎn)共線 通過向量：任取兩點(diǎn)確定向量，若向量共線，則三點(diǎn)共線（4）直線的平行垂直關(guān)系：可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)向量的平行與垂直問題，從而轉(zhuǎn)為坐標(biāo)運(yùn)算：，則共線；（5）平行（共線）線段的比例問題：可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)乘關(guān)系（6）平行（

3、共線）線段的乘積問題：可將線段變?yōu)橄蛄?，從而轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問題（注意向量的方向是同向還是反向）3、常見幾何圖形問題的轉(zhuǎn)化（1）三角形的“重心”：設(shè)不共線的三點(diǎn)，則的重心 （2）三角形的“垂心”：伴隨著垂直關(guān)系，即頂點(diǎn)與垂心的連線與底邊垂直，從而可轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為零（3）三角形的“內(nèi)心”：伴隨著角平分線，由角平分線性質(zhì)可知（如圖）： 在的角平分線上 （4）是以為鄰邊的平行四邊形的頂點(diǎn) （5）是以為鄰邊的菱形的頂點(diǎn)：在垂直平分線上（6）共線線段長度的乘積：若共線，則線段的乘積可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積，從而簡化運(yùn)算，(要注意向量的夾角）例如：，二、典型例題：例1：如圖：分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，為其右焦

4、點(diǎn)，是的等差中項(xiàng)，是的等比中項(xiàng)（1）求橢圓的方程（2）已知是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于軸，若過作直線，并交直線于點(diǎn)。證明：三點(diǎn)共線解：（1）依題意可得： 是的等差中項(xiàng) 是的等比中項(xiàng) 橢圓方程為： （2）由（1）可得：設(shè)，設(shè) ，聯(lián)立直線與橢圓方程可得： 另一方面，因?yàn)?，聯(lián)立方程： 三點(diǎn)共線例2：已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，且橢圓的離心率為（1）求橢圓的方程；（2）是否存在直線交橢圓于，兩點(diǎn)， 且使點(diǎn)為的垂心？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1） 橢圓方程為： （2）設(shè)，由（1）可得： 為的垂心 設(shè) 由為的垂心可得： 因?yàn)樵谥本€上，代入可得：即

5、 考慮聯(lián)立方程： 得 ,代入可得： 解得：或 當(dāng)時(shí)，不存在，故舍去當(dāng)時(shí)，所求直線存在，直線的方程為小煉有話說：在高中階段涉及到三角形垂心的性質(zhì)，為垂心與三角形頂點(diǎn)的連線垂直底邊，所以對(duì)垂心的利用通常伴隨著垂直條件，在解析幾何中即可轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算（或是斜率關(guān)系）例3：如圖，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是 ，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)且不垂直軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若直線繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，恒有, 求的取值范圍.解：（1）由圖可得： 由正三角形性質(zhì)可得： 橢圓方程為： （2）設(shè)， 為鈍角 聯(lián)立直線與橢圓方程：，整理可得： 恒成立即恒成立 解得： 的

6、取值范圍是 例4：設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距，且橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為 （1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為直線上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)， 若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明：點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi) 解：（1）依題意可得，且到 右焦點(diǎn)距離的最小值為 可解得： 橢圓方程為 （2）思路：若要證在以為直徑的圓內(nèi)，只需證明為鈍角，即為銳角，從而只需證明，因?yàn)樽鴺?biāo)可求，所以只要設(shè)出直線（斜率為） ，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理即可用表示出的坐標(biāo)，從而可用表示。即可判斷的符號(hào)，進(jìn)而完成證明解：由（1）可得，設(shè)直線的斜率分別為， ，則 聯(lián)立與橢圓方程可得：，消去可得： ，即 設(shè)，因?yàn)樵谥本€上，所

7、以，即 為銳角， 為鈍角 在以為直徑的圓內(nèi)例5：如圖所示，已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與橢圓的交點(diǎn)為，是否存在直線使得？若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由解：依題意可知拋物線焦點(diǎn)，設(shè) ，不妨設(shè)則 設(shè) 考慮聯(lián)立直線與拋物線方程： ，消去可得： 聯(lián)立直線與橢圓方程：，整理可得： 由可得：，解得： 所以存在滿足條件的直線，其方程為： 例6：在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)為（異于點(diǎn)），直線過點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn) （1）求拋物線的方程（2）試問的值是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由解：（1）由準(zhǔn)線方程可得： 拋物線方

8、程： （2）設(shè)切點(diǎn)，拋物線為 切線斜率為 切線方程為：，代入及可得：，解得：（舍）或 設(shè) 共線且在軸上 聯(lián)立和拋物線方程：，整理可得： 再聯(lián)立直線方程： 例7：在中，的坐標(biāo)分別是，點(diǎn)是的重心，軸上一點(diǎn)滿足，且 （1）求的頂點(diǎn)的軌跡的方程（2）直線與軌跡相交于兩點(diǎn)，若在軌跡上存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍解：（1）設(shè) 由是的重心可得： 由軸上一點(diǎn)滿足平行關(guān)系，可得 由可得： 化簡可得： 的軌跡的方程為：（2） 四邊形為平行四邊形設(shè) 在橢圓上 因?yàn)樵跈E圓上，所以，代入可得： 聯(lián)立方程可得： 代入可得： 有兩不等實(shí)根可得：，即，代入 另一方面： 或 例8：已知橢圓的離

9、心率為，直線過點(diǎn)，且與橢圓相切于點(diǎn)（1）求橢圓的方程（2）是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由解（1） 橢圓方程化為：過設(shè)直線聯(lián)立直線與橢圓方程：消去可得：整理可得：與橢圓相切于橢圓方程為：，且可解得（2）思路：設(shè)直線為，由（1）可得：，再由可知，若要求得（或證明不存在滿足條件的），則可通過等式列出關(guān)于的方程。對(duì)于，盡管可以用兩點(diǎn)間距離公式表示出，但運(yùn)算較為復(fù)雜。觀察圖形特點(diǎn)可知共線，從而可想到利用向量數(shù)量積表示線段的乘積。因?yàn)橥颍?。寫出的坐?biāo)即可進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，然后再聯(lián)立與橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理整體代入即可得到關(guān)于的方程，求解即可解：

10、由題意可知直線斜率存在，所以設(shè)直線由（1）可得：共線且同向 聯(lián)立直線與橢圓方程：消去并整理可得：，代入，可得：可解得：，另一方面，若方程有兩不等實(shí)根則解得: 符合題意直線的方程為：，即：或例9：設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)與垂直的直線交軸負(fù)半軸與點(diǎn) ，且 （1）求橢圓的離心率（2）若過三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程（3）在（2）的條件下，過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）依題意設(shè) 由可得： （2）由（1）可得： 的外接圓的直徑為，半徑設(shè)為 ，圓心 由圓與直線相切可得： 解得： 橢圓方程為（3）由（2）得：設(shè)直線 設(shè)，若為鄰邊的平行四邊形是菱形則為垂直平分線上的點(diǎn) 設(shè)中點(diǎn) 的中垂線方程為：，即 代入可得：聯(lián)立方程： 所以存在滿足題意的，且的取值范圍是例10：已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，與拋物線的交點(diǎn)為，且（1）求拋物線的