高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)特色突破專(zhuān)題23與三角函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題含解析

1、專(zhuān)題 23 與三角函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題【自主熱身，歸納總結(jié)】1、如圖，兩座建筑物AB， CD的高度分別是9 m和 15 m，從建筑物AB的頂部 A 看建筑物CD的張角 CAD45，則這兩座建筑物AB和 CD的底部之間的距離BD_m.【答案】 18【解析】：設(shè) BD x，作 AHCD，垂足為H，記 HAC ， HAD ，則 45 .m696 9xx因?yàn)?tan ， tan ，且 tan ( ) 1，得6 1，xx91x x即 x2 15x 54 0，即 (x 3)(x 18) 0，解得 x 18.解后反思32在解方程的過(guò)程中，若記x t ，則 5t 1 6t ，因?yàn)榉匠讨谐霈F(xiàn)的系數(shù)較小，所以更易解出

2、方程的根2. 如圖 1，為測(cè)量山高 MN，選擇 A 和另一座山的山頂 C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn) 從 A點(diǎn)測(cè)得 M點(diǎn)的仰角 MAN60，C點(diǎn)的仰角 CAB45以及 MAC75；從 C點(diǎn)測(cè)得 MCA60. 已知山高BC100 m，則山高 MN_m.【答案】150【解析】根據(jù)圖示， AC 1002 m. 在 MAC中，ACAMMN CMA180 75 60 45. 由正弦定理得? AM100sin 45sin 603 m. 在 AMN中， AM1sin 60 ， MN 100 33 150(m) 23. 如圖 2，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形 AOB， C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于

3、 AO的小路 CD. 已知某人從 O沿 OD走到 D用了 2 分鐘，從 D沿著 DC走到 C用了 3 分鐘 . 若此人步行的速度為每分鐘 50 米，則該扇形的半徑為 _米 .【答案】50 74、如圖，某城市有一塊半徑為40 m的半圓形綠化區(qū)域( 以 O 為圓心， AB為直徑 ) ，現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其進(jìn)行改建在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)D， OD 80 m，在半圓上選定一點(diǎn)C，改建后的綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域組成，其面積為Sm2. 設(shè)rad.CODAOC x(1) 寫(xiě)出 S 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式 S( x) ，并指出 x 的取值范圍；(2)試問(wèn) AOC多大時(shí)，改建后的綠化區(qū)域面積S 取得最大值？思

4、路分析 對(duì)于 (1) ，面積S由兩部分組成，一個(gè)是扇形面積，根據(jù)扇形面積公式12 可得，另一個(gè)是S r2 OCD的面積，根據(jù)三角形的面積公式21absin C可得；對(duì)于 (2) ，注意到所研究的函數(shù)不是基本初等函數(shù)，因 此，采用導(dǎo)數(shù)法來(lái)研究它的最值2x OA【解析】： (1)因?yàn)樯刃?AOC的半徑為 40 m， AOC x rad ，所以扇形 AOC的面積 S扇形 AOC 800x, 0 2 x .(2 分 )在 COD中， OD 80， OC 40， COD x，1所以 COD的面積 S COD 2OC ODsin COD 1 600sin( x) 1 600sinx， (4 分)從而 S

5、S COD S 扇形 AOC1600sin x 800x, 0 x .(6 分 )2【問(wèn)題探究，變式訓(xùn)練】例 1、如圖，準(zhǔn)備在墻上釘一個(gè)支架，支架由兩直桿 AC與 BD焊接而成，焊接點(diǎn) D把桿 AC分成 AD， CD兩段，其中兩固定點(diǎn) A，B 間距離為 1 米， AB 與桿 AC的夾角為 60，桿 AC長(zhǎng)為 1 米若制作 AD段的成本為 a 元/ 米，制作 CD段的成本是 2a 元 / 米，制作桿 BD的成本是 4a 元 / 米設(shè) ADB ，制作整個(gè)支架的總成本記為 S元(1)求 S 關(guān)于 的函數(shù)表達(dá)式，并指出 的取值范圍；(2)問(wèn) AD段多長(zhǎng)時(shí)， S 最??？1BDAD【解析】： (1)在 A

6、BD中，由正弦定理得 sin 2，(1 分)sin 3sin3 33cos1所以 BD2sin ，AD 2sin 2，(3分 )3cos13cos1343 3cos32則 S a 2sin 2 2a 12sin 2 4a2sin a2sin 2 ， 3，3.(7分 )(2) 令 S1 4cos1分 )3a22 0，設(shè) cos 04.(9sin 3， 0 0 ，2330cos111114， 24 2，4S0S單調(diào)遞減極小單調(diào)遞增(11分 )1sin 153cos15 5分 )所以當(dāng) cos 時(shí)， S 最小，此時(shí)， AD2sin 10.(12442答： (1)S 關(guān)于 的函數(shù)表達(dá)式為Sa43 3c

7、os32，；2 ，且 332sin5 5時(shí)， S 最小 (14分 )(2) 當(dāng) AD10【變式 1】、 如圖，某景區(qū)內(nèi)有一半圓形花圃，其直徑AB為 6， O是圓心，且 OCAB.在 OC上有一座觀賞P，記 POB 0 0 ，且 (0 ， ) ，所以當(dāng) tan 取最大值23答：游客在觀賞亭 P 處的觀賞效果最佳時(shí)，sin 3 .(16分 )cos3T cos Tsin (1 ， T) (cos ，sin ) 2解法 2 記T3sin ， 0，2 ，則1T ，得223T 2 ，當(dāng)且僅當(dāng) tan 2，即 sin 3時(shí)取等號(hào) (13 分 )22所以 tan 的最大值為. 顯然 tan 0，所以當(dāng) ta

8、n 時(shí)， 取最大值22答：游客在 觀賞亭 P 處的觀賞效果最佳時(shí)，3.(16分 )sin 3【變式 2】、 ） (2017 蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（一） ）（ C13, 17. (本小題滿(mǎn)分14 分)某單位將舉辦慶典活動(dòng)，要在廣場(chǎng)上豎立一形狀為等腰梯形的彩門(mén)BADC(如圖 ) 設(shè)計(jì)要求彩門(mén)的面積為2S( 單位： m) ，高為 h( 單位： m)( S， h 為常數(shù) ) 彩門(mén)的下底BC固定在廣場(chǎng)底面上，上底和兩腰由不銹鋼支架構(gòu)成，設(shè)腰和下底的夾角為 ，不銹鋼支架的長(zhǎng)度之和記為l .(1) 請(qǐng)將 l 表示成關(guān)于 的函數(shù) l f ( ) ；(2) 問(wèn)：當(dāng) 為何值時(shí) l 最小，并求最小值5 2cos 11 2c

9、os(2) f () hsin 2 sin 2 hsin 2， (8分 )1 2cos 分)令 f () h2 0，得 .(9sin3當(dāng) 變化時(shí)， f ( ) ， f ( ) 的變化情況如下表：0， ， 3332f ( )0f ( )極小值S所以 l min f 3 3h h.(12分)S21答： (1) l 表示成關(guān)于 的函數(shù)為 l f ( ) h hsin tan 0 2；S(2) 當(dāng) 3 時(shí)， l 有最小值，為3h h.(14分 )【變式 3】、 在一水域上建一個(gè)演藝廣場(chǎng)演藝廣場(chǎng)由看臺(tái)，看臺(tái)， 三角形水域ABC，及矩形表演臺(tái)BCDE四個(gè)部分構(gòu)成（如圖） 看臺(tái)，看臺(tái)是分別以AB， AC為直

10、徑的兩個(gè)半圓形區(qū)域，且看臺(tái)的面積是看臺(tái)的面積的3 倍；矩形表演臺(tái)BCDE中， CD10 米；三角形水域ABC的面積為 4003平方米設(shè)BAC （ 1）求 BC的長(zhǎng)（用含 的式子表示）；（ 2）若表演臺(tái)每平方米的造價(jià)為0.3 萬(wàn)元，求表演臺(tái)的最低造價(jià)6133ABACABCSABC 21AB?AC?sin 40032800AC sin 3222 2? ?cosBCABACAB AC224AC 2 3AC cos (4 23cos )800sin (4 23cos ) ?8004023cos BCsin sin BC 4023cos (0 )7sin 2WCD 10m0.323cosW 3BC 12

11、0sin (0 )9f ( ) 23cos (0 ) sin f ( )3 2cos11sin 2f ( ) 0 6ff (06 ) ( ) 0 (6 ) ( ) 0f ( ) (06 )( 6 )f( )f ( 66 ) 1Wmin120()7答：表演臺(tái)的最低造價(jià)為120 萬(wàn)元14 分例 2、如圖，海上有A， B 兩個(gè)小島相距10km，船 O將保持觀望A島和 B 島所成的視角為60，現(xiàn)從船O上派下一只小艇沿BO方向駛至 C處進(jìn)行作業(yè)，且OC BO. 設(shè) AC xkm.2 2(1) 用 x 分別表示 OA OB和 OA OB，并求出 x 的取值范圍；(2) 晚上小艇在 C處發(fā)出一道強(qiáng)烈的光線(xiàn)照

12、射 A島， B 島至光線(xiàn) CA的距離為 BD，求 BD的最大值【解析】： (1)在 OAC中， AOC120， AC x.由余弦定理得22 2 cos120x2.OAOC OA OC又 OC BO，所以222 .(2分 )OA OB 2OA OBcos120 x在 OAB中， AB 10， AOB60. 由余弦定理得22 .(4分 )OA OB 2OA OBcos60 10022x2100得 OA OB.22 100，即 OA OBx2 100得 4 OA OBcos60 x.(6 分)2222 1002 100又 OA OB2OA OB，所以 x2 x22100， (14 分 )2又 OA

13、OB x2 1002，即 x 300.0，即 x 100，所以2.(10 分 )3 x23 (12 分)， x (10,102x則 f ( x) 在(10,103 上是單調(diào)增函數(shù)，所以f ( x) 的最大值為f (103) 10，即 BD的最大值為10.(16分 )( 利用單調(diào)性定義證明f ( x) 在 (10,103上是單調(diào)增函數(shù)，同樣給滿(mǎn)分；如果直接說(shuō)出f ( x) 在 (10,103 上是增函數(shù)，但未給出證明，扣2 分 )【變式 1】、如圖，某生態(tài)農(nóng)莊內(nèi)有一直角梯形區(qū)域ABCD ，AB CD ，ABBC ，AB3 百米， CD2百米該區(qū)域內(nèi)原有道路AC ，現(xiàn)新修一條直道DP （寬度忽略不

14、計(jì)） ，點(diǎn) P在道路 AC 上（異于 A，C 兩點(diǎn)），8（ 1）用表示直道 DP 的長(zhǎng)度；（ 2）計(jì)劃在ADP 區(qū)域內(nèi)種植觀賞植物，在CDP 區(qū)域內(nèi)種植經(jīng)濟(jì)作物已知種植觀賞植物的成本為每平方百米2萬(wàn)元，種植經(jīng)濟(jì)作物的成本為每平方百米1萬(wàn)元，新建道路 DP 的成本為每百米1萬(wàn)元，求以上三項(xiàng)費(fèi)用總和的最小值【解析】：（ 1）過(guò)點(diǎn) D 作 DD 垂直于線(xiàn)段 AB ，垂足為 D 在直角 ABC 中，因?yàn)椋?，所以 BC3ABBC BAC， AB6在直角 ADD中，因?yàn)?AD1， DD3 ，所以 AD2 ，則，故3， DADDC又 BAC DAP6 ，所以6 2分在 ADP 中，由正弦定理得AD=DP，

15、Psinsin 6ADB15所以 DP6（第 17 題）sin， 66分（ 2）在 ADP 中，由正弦定理得，所以所以又所以8 分設(shè)三項(xiàng)費(fèi)用總和為f ( ) ，9則所以令 f ( )0 ，則列表：所以23時(shí)， 5，66， 566 ，23 226，33f( )0f ()2 310 分2 5，36Z答：以上三項(xiàng)費(fèi)用總和的最小值為2 3 萬(wàn)元 14 分【變式 2】、如圖，經(jīng)過(guò)村莊A 有兩條夾角為60的公路AB， AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠 P，分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)M， N( 異于村莊 A) ，要求 PM PNMN 2( 單位： km)如何設(shè)計(jì)，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影

16、響最小( 即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn))?( 第 17題)10答：設(shè)計(jì) AMN為 60時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小(14 分)解法 2 ( 構(gòu)造直角三角形 )設(shè) . 當(dāng) 0 時(shí)，在中，因?yàn)?2，所以 2sin ， 2cos . (2分 )PMB2PMDPMPDMDMNAM4343在 AMN中， ANM PMB ，所以 sin60 sin ， AM3 sin ，所以 AD3 sin 2cos 2 時(shí)，結(jié)論也正確 .(6分)2224322AP AD PD3sin 2cos (2sin ) 16sin 2 16 3sin cos 4cos2 4sin 2(8 分 )33161 cos2 83sin2

17、 4323838203sin2 3cos2 31120162 ， 0， 2. (12 分)33sin63 2當(dāng)且僅當(dāng)2 6 2 ，即 3 時(shí)， AP 取得最大值12，即 AP取得最大值 2 3.此時(shí) AMAN 2， PAB30.(14分 )解法 3 設(shè) AM x， AN y， AMN .在 AMN中，因?yàn)?MN 2， MAN60，222所以 MN AM AN 2 AM ANcos MAN，即 x2 y2 2xycos60 x2 y2 xy 4.(2 分)MNAN2y3因?yàn)?sin60 sin ，即 sin60 sin ，所以 sin 4y，2 4y2x22xy2 yxxxcos 22 x4x4

18、.(6分 )131 2xy33 x 2ycos AMPcos( 60) cos sin y.(8 分)2224244在中，222 2cos，即2x2 422x x 2yx24 (x2 )4AMPAPAMPMAM PMAMPAP4xy 2xy.(12 分 )因?yàn)?x2 y2xy 4,4 xy x2 y22xy，即 xy4.2所以 AP12，即 AP2 3.當(dāng)且僅當(dāng) x y 2 時(shí)， AP取得最大值23.答：設(shè)計(jì) AM AN2 km 時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小(14 分 )例 3、某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑，其窗戶(hù)設(shè)計(jì)如圖所示圓O 的圓心與矩形ABCD 對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)重合，且圓與矩形上下兩邊相切

19、( E 為上切點(diǎn) ) ，與左右兩邊相交( F ， G 為其中兩個(gè)交點(diǎn)) ，圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域已知圓的半徑為1m，且 AB 1 設(shè)EOF，透光區(qū)域的面積為S AD2（ 1）求 S關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域；（ 2）根據(jù)設(shè)計(jì)要求，透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好當(dāng)該比值最大時(shí)，求邊AB的長(zhǎng)度【解析】（1）過(guò)點(diǎn) O 作 OHFG 于點(diǎn) H ，則，12AE2BFHOGsin226DCAB1sin1 8AD2,)262210 62121 sin2 1f ( )06222 f ( ),)6 23(m)14f ( )6641 S , )622AB1m161l 1l2l1l

20、260m80mABCDABBC12AB90 .EF13(1) 求矩形區(qū)域 ABCD內(nèi)的排管費(fèi)用 W關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式；(2) 求排管的最小費(fèi)用及相應(yīng)的角 .4【解析】 (1)如圖，過(guò) E 作 EM BC，垂足為點(diǎn)M. 由題意得 MEF 0tan 3 ，故有 MF 60tan ，60EF cos ， AE FC 80 60tan .(4 分 )60所以 W (80 60tan ) 1 cos 2(5 分 )60sin 120 80 cos cos 80.(8分 )cos (2)解法 1 設(shè) f ( ) sin 24cos其中0 0， tan 0 ，23則 fcos cos sin 1 2sin

21、() cos 2cos 2.(10分 )令 f () 01得 1 2sin 0，即 sin 2，得 6.(11 分 )列表0， 666 ， 0f ( )0f ( )極大值時(shí)有 f ( ) 3，此時(shí)有 W 80 603.(15分 )所以當(dāng) 6maxmin答：排管的最小費(fèi)用為(80 603) 萬(wàn)元，相應(yīng)的角 6 .(16分)31312sin 2 sin 2 sin 2 sin 2sin 3解法 2 f ( ) cos cos ，cos 2311當(dāng)且僅當(dāng) 2(1 sin ) 2(1 sin ) 時(shí)成立，此時(shí) sin 2， 6.(11 分)以下同解法1.14【變 式 2】、如圖，一塊弓形薄鐵片，點(diǎn)為E

22、F的中點(diǎn)，其所在圓O的半徑為4 dm(圓心O在弓 形EMFEMFM2內(nèi) ) ， EOF3 . 將弓形薄鐵片裁剪成盡可能大的矩形鐵片ABCD(不計(jì)損耗 ) ， ADEF，且點(diǎn) A， D在 EF上，設(shè) AOD2 .(1) 求矩形鐵片 ABCD的面積 S 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)裁出的矩形鐵片ABCD面積最大時(shí)，求cos 的值(第 18題)【解析】(1)設(shè)矩形鐵片的面積為S， AOM .當(dāng) 0 3 時(shí) ( 如圖 1) ， AB 4cos 2， AD24sin ，S AB AD (4cos 2)(24sin ) 16sin (2cos 1) (3分 )當(dāng) 時(shí) ( 如圖 2) ，24cos ，24sin ，故 64sin cos 32sin 2 .32ABADSABAD綜上得，矩形鐵片的面積S 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式為S16sin ， 0 3，(7 分)32sin2 ， 3 2 .15【變式 3】、如圖，某城市小區(qū)有一個(gè)矩形休閑廣場(chǎng)，AB 20 m，廣場(chǎng)的一角是半徑為16 m的扇形 BCE綠化區(qū)域，為了使小區(qū)居民能夠更好地在廣場(chǎng)休閑放松，現(xiàn)決定在