重積分的應(yīng)用

1、對重積分應(yīng)用的一些想法 王爍正陽，pb07210138在第二學(xué)期微積分的學(xué)習(xí)中，一個很重要的變化就是“多元化”，無論是函數(shù)的微分，積分以及場論乃至后面的級數(shù)，無不體現(xiàn)了多元這一特點(diǎn)，正所謂從1到2是質(zhì)變，從2到3只是量變。而在學(xué)習(xí)的這些有關(guān)多變量的知識之中，重積分，尤其是它的應(yīng)用給我留下了很深刻的印象。本文將重點(diǎn)結(jié)合一些實(shí)例，對重積分應(yīng)用中曲面的面積做一些補(bǔ)充，著重總結(jié)一下重積分在物理學(xué)中的應(yīng)用，最后簡單引申一點(diǎn)重積分在生活實(shí)際中的應(yīng)用。目的在于幫助讀者尤其是各位同學(xué)，加深對重積分的了解，回顧一下所學(xué)過的知識，并能在這之中得到一些啟發(fā)。在我們的學(xué)習(xí)中，重積分的一個很重要的應(yīng)用就是曲面面積。在上

2、學(xué)期的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)知道了普通積分代表的是平面面積，所以我們不難提出這樣的問題：非平面的面積如何計算？也就使人們想要把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中，并用此方法來解決曲面面積的問題，既若要計算的某個量u對于閉區(qū)域d具有可加性(即當(dāng)閉區(qū)域d分成許多小閉區(qū)域時，所求量u相應(yīng)地分成許多部分量，且u等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域d內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域da時，相應(yīng)地部分量可近似地表示為f(x,y)da的形式,其中(x,y)在da,內(nèi)這個f(x,y)da稱為所求量u的元素，記為du.，從而有了這之后用此來表示曲面面積元。對于多重積分表示曲面面積的推導(dǎo)，書上已經(jīng)寫的很詳細(xì)，這里再提供另一種想法

3、設(shè)曲面s的方程為z=f(x, y), f(x, y)在區(qū)域d上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).設(shè)da為曲面上點(diǎn)m處的面積元素,da在xoy平面上的投影為小閉區(qū)域ds,點(diǎn)m在xoy平面上的投影為點(diǎn)p(x, y). 因?yàn)辄c(diǎn)m處的法向量為n=(-fx, -fy, 1),所以 設(shè)曲面s的方程為z=f(x, y), f(x, y)在區(qū)域d上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).設(shè)da為曲面上點(diǎn)m處的面積元素,da在xoy平面上的投影為小閉區(qū)域ds,點(diǎn)m在xoy平面上的投影為點(diǎn)p(x, y).因?yàn)辄c(diǎn)m處的法向量為n=(-fx, -fy, 1), 所以提示：因?yàn)閙處的切平面與xoy面的夾角為(n,k), 所以 dacos(n,k)=ds.又因?yàn)?/p>

4、nk=|n|cos(n,k)=1, cos(n,k)=|n|-1, 所以da=|n|ds. 同樣，對于曲面面積的認(rèn)識，我們也不應(yīng)僅停留在課本中那些抽象的圖形上，下面舉一實(shí)例加以說明衛(wèi)星下面我們來著重看一下重積分在物理中的應(yīng)用1 質(zhì)量 平面薄片的質(zhì)量設(shè)該薄片在面上占據(jù)平面閉區(qū)域d，已知薄片在d內(nèi)每一點(diǎn) (x， y) 的面密度為，且在d上連續(xù)。在閉區(qū)域d上任取一直徑很小的閉區(qū)域，則薄片中對應(yīng)于(也表示其面積)部分的質(zhì)量可近似地表示為，這就是質(zhì)量微元，以其為被積表達(dá)式，在區(qū)域d上二重積分，得。 (4.6)特別地，如果平面薄片為均勻的，即r為常數(shù)時，上式可簡化為 (s 為d的面積)。 (4.7)類似地

5、，有空間物體的質(zhì)量如下設(shè)該物體占有空間區(qū)域，體密度函數(shù)為，則質(zhì)量微元為：，故。這部分內(nèi)容在書上并沒有專門說到，只是老師提過，這里略作總結(jié)，并舉一例說明例：一物體占有的空間區(qū)域由曲面，圍成，密度為，求此物體的質(zhì)量。解 。由于書上說的很簡單，以下也把重心和轉(zhuǎn)動慣量簡單的說一下，以加深理解。2 重心坐標(biāo)設(shè)面上有n個質(zhì)點(diǎn)，分別位于處，質(zhì)量分別為。由力學(xué)知，該質(zhì)點(diǎn)系的重心坐標(biāo)為 和 其中為該質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量， 和分別為該質(zhì)點(diǎn)系關(guān)于x軸和y軸的靜力矩。設(shè)一平面薄片在面上占據(jù)有界閉區(qū)域d，已知薄片在d內(nèi)每一點(diǎn) (x， y) 的面密度為，且在d上連續(xù)。由前面平面薄片質(zhì)量的討論可知，對于閉區(qū)域d上任一直徑很小的閉

6、區(qū)域，薄片中對應(yīng)于(也表示其面積)部分的質(zhì)量可近似地表示為，這部分質(zhì)量又可近似地看成是集中在點(diǎn) 處，由此可得對應(yīng)于的小薄片關(guān)于x軸和y軸的靜力矩微元及 ， ，以它們?yōu)楸环e表達(dá)式在區(qū)域d上二重積分，可得平面薄片關(guān)于x軸和y軸的靜力矩 和 ，所以平面薄片的重心坐標(biāo)為 和 。 特別地，如果平面薄片為均勻的，即r為常數(shù)，上式可簡化為 和 其中為平面薄片的面積。由此我們也可以思考一下空間立體也有形心的概念，其計算公式是否也地求得？ 3 轉(zhuǎn)動慣量平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量 轉(zhuǎn)動慣量是對物體在轉(zhuǎn)動過程中的慣性大小的度量。對于質(zhì)量為、且位于平面上處的質(zhì)點(diǎn)，其轉(zhuǎn)動慣量為：， ， ； 對于質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)量，坐標(biāo)，則 ， ，

7、； 對于平面薄片，密度函數(shù)為，相對于軸的轉(zhuǎn)動慣量微元：，從而，同理，以及；完全類似地可得空間物體的轉(zhuǎn)動慣量。最后，讓我們來看一下重積分在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用(颶風(fēng)的能量有多大) 在一個簡化的颶風(fēng)模型中，假定速度只取單純的圓周方向，其大小為 其中是柱坐標(biāo)的兩個坐標(biāo)變量，為常量。以海平面颶風(fēng)中心處作為坐標(biāo)原點(diǎn)，如果大氣密度 ，求運(yùn)動的全部動能。并問在哪一位置速度具有最大值？解 求動能： 因?yàn)?，。因?yàn)轱Z風(fēng)活動空間很大，在選用柱坐標(biāo)計算中由，所以，其中 用部分積分法算得為 ，最后有。下面計算何處速度最大：由于 ，所以， 。由第一式得。顯然，當(dāng)時，不是最大值（實(shí)際上是最小值），舍去。由第二式解得。此時。它是的單調(diào)下降函數(shù)。故處速度最大。也即海平面上風(fēng)眼邊緣處速