八年級數(shù)學(xué)下冊 第1章 直角三角形 1.2直角三角形的性質(zhì)和判定(Ⅱ)第1課時教學(xué)課件 （新版）湘教版

1、1.2 直角三角形的性質(zhì)和判定() 第1課時 1.1.掌握勾股定理的內(nèi)容掌握勾股定理的內(nèi)容. . 2.2.理解勾股定理的證明理解勾股定理的證明. . 3.3.應(yīng)用勾股定理進行有關(guān)計算與證明應(yīng)用勾股定理進行有關(guān)計算與證明. . 星期日老師帶領(lǐng)初二全體學(xué)生去凌峰山風景區(qū)游玩星期日老師帶領(lǐng)初二全體學(xué)生去凌峰山風景區(qū)游玩, ,同學(xué)同學(xué) 們看到山勢險峻們看到山勢險峻, ,查看景區(qū)示意圖得知查看景區(qū)示意圖得知: :凌峰山主峰高約為凌峰山主峰高約為900900 米米, ,如圖如圖: :為了方便游人為了方便游人, ,此景區(qū)從主峰此景區(qū)從主峰A A處向地面處向地面B B處架了一條處架了一條 纜車線路纜車線路,

2、,已知山底端已知山底端C C處與地面處與地面B B處相距處相距12001200米米, ACB=90, ACB=90, , 請問纜車路線請問纜車路線ABAB長應(yīng)為多少？長應(yīng)為多少？ 讀一讀讀一讀 我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直 角邊稱為股，斜邊稱為弦角邊稱為股，斜邊稱為弦. .圖圖1-11-1稱為稱為“弦圖弦圖”，最早是由三國，最早是由三國 時期的數(shù)學(xué)家趙爽作出的時期的數(shù)學(xué)家趙爽作出的. .圖圖1-21-2是在北京召開的是在北京召開的20022002年國際數(shù)年國際數(shù) 學(xué)家大會（學(xué)家大會（TCMTCM20022002）的會標，其

3、圖案正是的會標，其圖案正是“弦圖弦圖”，它標，它標 志著中國古代的數(shù)學(xué)成就志著中國古代的數(shù)學(xué)成就. . 圖1-1 圖1-2 相傳相傳25002500年前，畢達哥拉斯有一次年前，畢達哥拉斯有一次 在朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家的用磚鋪在朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家的用磚鋪 成的地面中反映了直角三角形三邊的某成的地面中反映了直角三角形三邊的某 種數(shù)量關(guān)系種數(shù)量關(guān)系 我們也來觀察圖中的地面，我們也來觀察圖中的地面， 看看能發(fā)現(xiàn)些什么？看看能發(fā)現(xiàn)些什么？ 數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯的發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯的發(fā)現(xiàn)： A A、B B、C C的面積有什么關(guān)系？的面積有什么關(guān)系？ 直角三角形三邊有什么關(guān)系？直角三角形三邊有什么

4、關(guān)系？ S SA A+S+SB B=S=SC C 兩直角邊的平方和等于斜邊的平方兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 AB C A B C A B C （圖中每個小方格代表一個單位面積）圖中每個小方格代表一個單位面積） 圖圖1 圖2 讓我們一起再探究：等腰直角三角形三邊關(guān)系讓我們一起再探究：等腰直角三角形三邊關(guān)系 A A的面的面 積積( (單單 位面積位面積) ) B B的面的面 積積( (單單 位面積位面積) ) C C的面的面 積積( (單單 位面積位面積) ) 圖圖1 1 圖圖2 2 9 99 9 1818 4 4 4 4 8 8 A B C A B C （圖中每個小方格代表一個單位面積）（圖

5、中每個小方格代表一個單位面積） 圖圖1 圖2 1S C正方形 圖中 1 43 318 2 分分“割割”成若干個直角邊為整數(shù)的三角形成若干個直角邊為整數(shù)的三角形 A B C A B C （圖中每個小方格代表一個單位面積）（圖中每個小方格代表一個單位面積） 圖圖1 圖2 1S C正方形 圖中 2 1 6 2 18 把把C“C“補補” ” 成邊長為成邊長為6 6的正方形的正方形 A B C A B C （圖中每個小方格代表一個單位面積）（圖中每個小方格代表一個單位面積） 圖圖1 圖2 S SA A+S+SB B=S=SC C A A的面的面 積積( (單單 位面積位面積) ) B B的面的面 積積(

6、 (單單 位面積位面積) ) C C的面的面 積積( (單單 位面積位面積) ) 圖圖1 19918 圖圖2 2 A A、B B、 C C面積面積 關(guān)系關(guān)系 直角三直角三 角形三角形三 邊關(guān)系邊關(guān)系 44 8 兩直角邊的平方和兩直角邊的平方和 等于斜邊的平方等于斜邊的平方 A B C 圖圖1 A B C 圖圖2 1.1.觀察右邊兩個圖并填寫觀察右邊兩個圖并填寫 下表：下表： A A的面積的面積B B的面積的面積C C的面積的面積 圖圖1 1 圖圖2 2 16169 92525 4 49 91313 你是怎樣得到你是怎樣得到 表中的結(jié)果的？與表中的結(jié)果的？與 同伴交流交流同伴交流交流 做做 一一

7、 做做 A B C 圖圖1 A B C 圖圖2 2 2如圖如圖, ,三個正方形三個正方形A A， B B，C C面積之間有什么關(guān)面積之間有什么關(guān) 系？系？ S SA A+ +S SB B= =S SC C 即：兩條直角邊上的即：兩條直角邊上的 正方形面積之和等于正方形面積之和等于 斜邊上的正方形的面斜邊上的正方形的面 積積 議議 一一 議議 A A B B C C a a c c b b S SA A+S+SB B=S=SC C 3.3.設(shè)直角三角形的三邊長分別是設(shè)直角三角形的三邊長分別是a a，b b，c c，猜想猜想: :兩直角兩直角 邊邊a a，b b與斜邊與斜邊c c 之間的關(guān)系？之間

8、的關(guān)系？ a a2 2+b+b2 2=c=c2 2 這是這是20022002年國際數(shù)學(xué)家大會會標年國際數(shù)學(xué)家大會會標 趙爽弦圖趙爽弦圖 abab4+4+(b-a)=c(b-a)=c， a+b =c.a+b =c. a b c 即即2ab+2ab+（b-2ab+ab-2ab+a）=c=c， 1 2 此結(jié)論被稱為此結(jié)論被稱為“勾股定理勾股定理”. . 在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90 ， 邊邊BCBC，ACAC，ABAB所對應(yīng)的邊分別所對應(yīng)的邊分別 為為a a，b b，c,c,則存在下列關(guān)系，則存在下列關(guān)系， 結(jié)論：結(jié)論： 直角三角形中，兩條直角邊的平方和，等于斜邊的直角三角形中，

9、兩條直角邊的平方和，等于斜邊的 平方平方. . a a2 2+b+b2 2=c=c2 2. . 勾勾 股股 弦弦 c c a a b b B B C C A A 如果直角三角形的兩直角邊分別為如果直角三角形的兩直角邊分別為a a，b b，斜邊為斜邊為c c， 那么那么a a2 2 + b + b2 2 = c = c2 2. . 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. . 勾股定理勾股定理 C C9090， a a2 2 + b + b2 2 = c = c2 2. . c c a a b b B B C C A A 勾股定理的運用勾股定理的運用

10、1:1: 已知直角三角形的任意兩條邊長，求第已知直角三角形的任意兩條邊長，求第 三條邊長三條邊長. . a a2 2=c=c2 2-b-b2 2 b b2 2=c=c2 2-a-a2 2 c c2 2=a=a2 2+b+b2 2 在直角三角形在直角三角形ABCABC中，中，C=90C=90，A A、B B、C C所對的所對的 邊分別為邊分別為a a，b b，c.c. (1)(1)已知已知a=1a=1，b=2b=2，求，求c.c. (2)(2)已知已知a=10a=10，c=15c=15，求，求b.b. A C B b a c 例：將長為例：將長為5 5米的梯子米的梯子ACAC斜靠在墻上，斜靠在墻

11、上， BCBC長為長為2 2米，求梯子上端米，求梯子上端A A到墻的底端到墻的底端 B B的距離的距離. . C C A A B B 解：在解：在RtRtABCABC中，中，ABC=90ABC=90. . BC=2 BC=2 ，AC=5AC=5， ABAB2 2= AC= AC - BC - BC = 5= 5-2-2 =21=21， AB= AB= （米）（舍去負值）（米）（舍去負值）. .21 【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練】 3.在等腰在等腰RtRtABCABC中中, a=b=1, a=b=1,則則c=c= C C A A B B 第第3 3題圖題圖第第4 4題圖題圖 a a b b c c C B

12、 A 2 5.5.在一個直角三角形中在一個直角三角形中, , 兩邊長分別為兩邊長分別為3 3，4,4, 則第三邊的長為則第三邊的長為_ 5 或或 4.4.在在RtRtABCABC中中, A=30, A=30，AB=2AB=2，則，則BC= BC= AC=AC= 1 1 7 3 6.6.求下列圖中表示邊的未知數(shù)求下列圖中表示邊的未知數(shù)x x，y y，z z的值的值. . 8181 144144 x x y y 625625 576576 x=15x=15 y=7y=7 D A B C 7.7.螞蟻沿圖中的折線從螞蟻沿圖中的折線從A A點爬到點爬到D D點，最少一共爬了多少厘米？點，最少一共爬了多

13、少厘米？ （小方格的邊長為（小方格的邊長為1 1厘米）厘米） G F E 3 412 5 6 8 答：答：最少一共爬了最少一共爬了2828厘米厘米 【解析解析】選選D.B=30D.B=30,ACAB,AC=5,ACAB,AC=5米米, ,所以所以BC=10BC=10米，米， 米米. . 大樹折斷前的高度為大樹折斷前的高度為AC+BC=15(AC+BC=15(米米).). 2222 AB= BC -AC = 10 -5 = 75 3.3.如圖所示，一棵大樹在一如圖所示，一棵大樹在一 次強臺風中離地面次強臺風中離地面5 5米處折米處折 斷倒下，倒下部分與地面斷倒下，倒下部分與地面 成成3030角，

14、則這棵大樹在角，則這棵大樹在 折斷前的高度和折斷前的高度和ABAB的長分的長分 別為（別為（ ） （A A）1010米，米， 米米 （B B）1515米，米， 米米 （C C）1010米，米， 米米 （D D）1515米，米， 米米 75125 12575 4.(4.(廣東廣東中考）如圖（中考）如圖（1 1），已知小正方形），已知小正方形ABCDABCD的面積的面積 為為1 1，把它的各邊延長一倍得到新正方形，把它的各邊延長一倍得到新正方形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1；把正；把正 方形方形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1邊長按原法延長一倍得到正方形邊長按原法

15、延長一倍得到正方形A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2（如（如 圖（圖（2 2）；）；以此下去，則正方形以此下去，則正方形A A4 4B B4 4C C4 4D D4 4的面積的面積 為為_._. 圖（圖（1） A1 B1 C1 D1 A B CD D2 A2 B2 C2 D1 C1 B1 A1 A B CD 圖（圖（2） 【解析解析】由勾股定理得：新正方形由勾股定理得：新正方形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1邊長為邊長為 ，正，正 方形方形A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2邊長為邊長為5 5，正方形，正方形A A4 4B B4 4C C4 4D D4

16、 4的邊長為的邊長為2525， 正方形正方形A A4 4B B4 4C C4 4D D4 4的面積為的面積為625.625. 答案：答案：625625 5 5.5.（宜賓（宜賓中考）已知，在中考）已知，在ABCABC中，中，A=45A=45， AB= +1AB= +1，則邊，則邊BCBC的長為的長為_._. 【解析解析】過點過點C C作作CDAB,CDAB, A=45A=45,AD=CD,AD=CD, 2AD2AD2 2=AC=AC2 2=2,=2, DC=AD=1,DC=AD=1, BD=AB-AD= +1-1= BD=AB-AD= +1-1= 在在RtRtCDBCDB中，中， 答案：答案：

17、2 2 AC= 2, 3 33. 22 CB= CD +BD = 1+3= 4=2. 6.6.請你根據(jù)圖請你根據(jù)圖1 1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及 符號語言敘述）；符號語言敘述）； 以圖以圖1 1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a a、b b為底，為底， 以以a+ba+b為高的直角梯形（如圖為高的直角梯形（如圖2 2），請你利用圖），請你利用圖2 2，驗證勾，驗證勾 股定理股定理. . 【解析解析】定理表述如果直角三角形的兩直角邊長分定理表述如果直角三角形的兩直角邊長分 別為別為a a、b b，斜邊長為，斜邊長為c c，那么，那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2, , 證明：證明： RtRtABERtABERtECD,AEB=EDC,ECD,AEB=EDC, 又又EDC+DEC=90EDC+DEC=90，AEB+DEC=90AEB+DEC=90, , AED=90AED=90. . SS梯形 梯形ABCDABCD=S =SRt RtABEABE+S +SRt RtDECDEC+S +SRt RtAEDAED， ， （a+b)(a+b)= ab+ ab+ ca+b)(a+b)= ab+ ab+ c2 2. . 整理，得整理，得a a2