高考數(shù)學(xué)壓軸難題歸納總結(jié)提高培優(yōu)專題1-6極值點(diǎn)偏移第四招-含指數(shù)式的極值點(diǎn)偏移問題(

1、近幾年全國各地的模擬試題、 高考試題中頻繁出現(xiàn)一類考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的題型： 在給定區(qū)間內(nèi)研究兩函數(shù)之間的不等關(guān)系 . 要解決這類問題，往往是直接構(gòu)造某個(gè)新函數(shù)，或者分離變量之后構(gòu)造新的函數(shù)， 通過研究構(gòu)造的新函數(shù)的單調(diào)性來求出最值或者得到我們想要的不等關(guān)系. 這一類問題多數(shù)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)，解題時(shí)除了直接構(gòu)造一元函數(shù)求解，還可將問題轉(zhuǎn)化為對數(shù)問題，再用對數(shù)平均不等式求解，本文對此類問題做一探究.（ 2016 年新課標(biāo)I 卷理數(shù)壓軸21 題）已知函數(shù)f (x)(x2)exa( x1)2 有兩個(gè)零點(diǎn)x1, x2 .證明： x1x22 .法二：參變分離再構(gòu)造差量函數(shù)由已知得： f x1fx20，不難發(fā)現(xiàn)

2、x11， x2 1，x1xx2x故可整理得：a2 e 12 e 2x12x2211x設(shè) g xx2 e2 ，則 g x1g x2x1x221那么 g x3ex ，當(dāng) x 1時(shí)， g x0 ， g x 單調(diào)遞減；當(dāng)x 1 時(shí)，x1g x0 ， g x 單調(diào)遞增設(shè) m0 ，構(gòu)造代數(shù)式：1g 1 m g 1 mm 1 1 mm 1 1 m1 m 1 mm 12m1m2 e2e2 eemmm 1設(shè) h mm1 e2 m1， m0 KS5UKS5UKS5Um1則 h m2m22m0 ，故 h m 單調(diào)遞增，有 h mh 00 2em 1因此，對于任意的m0 ， g 1mg 1m 由 g x1gx2 可知

3、 x1 、 x2 不可能在 g x的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè) x1x2 ，則必有 x11x2令m1x10 ，則有g(shù) 1 1 x1g 11 x1g 2x1gx1gx2而2x11，x21，gx 在 1,上單調(diào)遞增， 因此： g 2x1gx22x1 x2整理得： x1x22 法三：參變分離再構(gòu)造對稱函數(shù)由法二，得 g xx2 e2x，構(gòu)造 G( x)g (x)g (2x),( x (,1) ，x1利用單調(diào)性可證，此處略.2法五：利用 “對數(shù)平均 ”不等式(2 x )ex1( 2 x )ex20得， x1 12 ，參變分離得： a12，由 ax21) 2( x1(x2 1) 2將上述等式兩邊取以 e

4、為底的對數(shù)，得 ln ( 2x1 )x1ln(2x2 )x2 ，( x11) 2( x21)2化簡得： ln( x11)2ln( x21) 2 ln( 2x1) ln( 2x2 )x1x2 ，ln( x11)2ln( x2 1) 2 ln( 2x1)ln( 2x2 )故 1x1x2x1x2( x11)( x21) ln( x11)2ln( x2 1) 2 ln( 2x1)ln(2x2 )(x11)2( x21) 2(2 x1) (2 x2 )由對數(shù)平均不等式得：ln( x1 -1)2 - ln( x2 -1)2 22 ，(x11)2( x22(x12( x2 1)1)1)ln(2 - x1)

5、- ln(2 - x2 )2，（2x1）（2x2） （2x1）（2x2）2( x1x22)2從而 1(x2 1) 2 （2x1）（2x2）(x1 1)22( x1x 2 2)4 ( x 1 x )2x 1x22( x1 1)2(x2 1)24 ( x1x2 )2( x1x 2 2)1x 1 x2 2( x1 1)2(x2 1)24 ( x1x2 )3等價(jià)于： 02( x1x22)x1x22( x1 1)2( x2 1)24 ( x1x2 )( x1x22)21( x21)24( x1(x1 1)2x2 )由 (x1 1)2(x21)20,4( x1x2 )0 ，故 x1x22，證畢 .(201

6、0 天津理 )已知函數(shù) fxxe xxR .如果 xx ，且 fxf x2.121證明： x1x22 .設(shè)函數(shù)fxexaxaaR ，其圖象與x 軸交于A x1,0 B x2 ,0兩點(diǎn)，且x1x2 .證明： fx1 x20 （ fx 為函數(shù) fx 的導(dǎo)函數(shù)） .【解析】根據(jù)題意：ex1ax1a0 ， ex2ax2a0 移項(xiàng)取對數(shù)得：x1ln( x11)ln a x2ln( x21)ln a -得： x1x2ln( x11)ln( x21) ，即：4KS5UKS5UKS5U招式演練：已知函數(shù)fxax2ex aR 在 0,上有兩個(gè)零點(diǎn)為x1, x2 ( x1x2 ) .（ 1）求實(shí)數(shù) a 的取值范圍

7、；（ 2）求證： x1 x2 4 .【答案】（1 ） e2,; （2）見解析 .KS5UKS5UKS5U4【解析】試題分析： （ 1） f2x上有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程ex有兩x axe 在 0,a2x個(gè)根，即 yexyexa 與 y2有兩個(gè)交點(diǎn)，研究函數(shù)2 單調(diào)性，結(jié)合數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果；xx2（ 2 ） ax12ex1 ， ax22ex2，兩式相除可得x2ex2 x1 ，設(shè) x2t(t1) ，只需證明x1x1h t lnttlnt2t20即可 .51 ） f x2x0,上 有 兩 個(gè) 零 點(diǎn) ， 方 程 aex試題解析：（axe 在x2， 則ex x2，于是 x0, 2h x0，即 h x 在

8、0,2h x時(shí)，上單調(diào)遞減；當(dāng)x3x 2,時(shí)，h x0，即h x在2,【方法點(diǎn)睛】 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性進(jìn)而求最值、不等式恒成立問題以及不等式證明問題，屬于難題.對于求不等式恒成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù), 這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù), 另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決. 但要注意分離參數(shù)法不是萬能的 , 如果分離參數(shù)后 ,得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜, 性質(zhì)很難研究 , 就不要使用分離參數(shù)法 .已知函數(shù) fx1x ex .1x2(1)求 fx 的單調(diào)區(qū)間；6(2)證明 :當(dāng)fx1fx2x1x2

9、時(shí)， x1x2 0 .【解析】(1)fx在,0上單調(diào)遞增，在0,上單調(diào)遞減；(2)由(1)知當(dāng) x 1時(shí)， fx0 不妨設(shè) x1x2 ，因?yàn)?fx1f x2，即1x12 ex11x22 ex2 ，則 x10 x21，1x11x2要 證 明 x1x20 ， 即 x1x20 ， 只 需 證 明 f x1 fx2， 即fx2fx2KS5UKS5UKS5U而 f ( x2 )f ( x2 ) 等價(jià)于 (1x2 )e2x21x20 ，令 g(x)(1 x)e2 x 1x x0 ，則 g (x)(12x)e2x1，令 h(x)(12x)e2 x1 ，則 h ( x)4xe2x0 ，所以 h( x)單調(diào)遞減

10、， h( x) h 00 ，即 gx0 ，所以 g x 單調(diào)遞減，所以 g xg 00 ，得證 已 知 函 數(shù) f ( x) x a exb( a 0, b R)， 若 任 意 不 同 的 實(shí) 數(shù) x1 ,x2滿 足f ( x1 )f (x2 ) ，求證： x1x22 ln a .7方案一（差為自變量） ：法三： 令 u1ex1 ,u2ex2x1ln u1, x2ln u2 ，8原式u1u2(u1u2)2(u2u1 )2(ln u2 ) 2u2u1ln u1ln u2u1u2u1u1u2ln u2u2u10 ，則令 tu2，u1u1u2u1設(shè) g(t)ln tt1g(t)1112tt1tt2t2tt2tt則 g(t) 在 (1,) 為減函數(shù)，則 t 1 時(shí) g(t) 有最大值 g(1)0 ，故 g(t)0ln tt10，證畢 .t已知函數(shù) fxexaxa aR ，其中 e為自然對數(shù)的底數(shù) .（1）討論函數(shù)yfx 的單調(diào)性；（2）若函數(shù)fx 有兩個(gè)零點(diǎn)x1 , x2 ，證明：x1x22lna .【答案】（1 ）見解析（ 2