2015年高考數(shù)學《新高考創(chuàng)新題型》之2：函數(shù)與導數(shù)(含精析

1、之2.函數(shù)與導數(shù)（含精析）一、選擇題。1設函數(shù)在區(qū)間上的導函數(shù)為，在區(qū)間上的導函數(shù)為，若區(qū)間上，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凹函數(shù)”，已知在上為“凹函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）A B C D2德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領域成就顯著，以其名命名的函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實數(shù)集,為有理數(shù)集，則關于函數(shù)有如下四個命題：； 函數(shù)是偶函數(shù)；任取一個不為零的有理數(shù),對任意的恒成立；存在三個點，使得為等邊三角形.其中真命題的個數(shù)是（ ）A1 B2 C3 D43設函數(shù)的定義域為,若函數(shù)滿足條件：存在,使在上的值域是則稱為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則的范圍是（ ）A. B. D. 4函數(shù)直線與函

2、數(shù)的圖像相交于四個不同的點，從小到大，交點橫坐標依次記為，有以下四個結論 若關于的方程恰有三個不同實根，則取值唯一.則其中正確的結論是（ ）A. B. C. D. 5是定義在上的函數(shù), 若存在區(qū)間， 使函數(shù)在上的值域恰為，則稱函數(shù) 是型函數(shù)給出下列說法:不可能是型函數(shù)；若函數(shù)是型函數(shù), 則，；設函數(shù)是型函數(shù), 則的最小值為；若函數(shù) 是型函數(shù), 則的最大值為下列選項正確的是（ ）A B C D 6已知函數(shù)，.定義：，滿足的點稱為的階不動點.則的階不動點的個數(shù)是（ ）A.個 B.個 C.個 D.個二、填空題。7若函數(shù)同時滿足：對于定義域上的任意，恒有 對于定義域上的任意，當時，恒有，則稱函數(shù)為“理

3、想函數(shù)”。給出下列四個函數(shù)中： ， ，能被稱為“理想函數(shù)”的有_ _ （填相應的序號） 。8以A表示值域為R的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質的函數(shù)組成的集合：對于函數(shù)，存在一個正數(shù)M，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間.例如，當.現(xiàn)有如下命題：設函數(shù)的定義域為D，則“”的充要條件是“”；函數(shù)的充要條件是有最大值和最小值；若函數(shù)，的定義域相同，且若函數(shù)有最大值，則.其中的真命題有_.（寫出所有真命題的序號）9如圖，在第一象限內，矩形ABCD的三個頂點A，B，C分別在函數(shù)y=lo，的圖像上，且矩形的邊分別平行兩坐標軸，若A點的縱坐標是2，則D點的坐標是 。10若函數(shù)f（x）為定義域D上的單調函數(shù),且存在

4、區(qū)間（其中ab）,使得當xa,b時,f（x）的取值范圍恰為a,b,則稱函數(shù)f（x）是D上的“正函數(shù)”,若是上的正函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是 三、解答題。11.為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關系式為（為常數(shù)），如圖所示據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：小時毫克（1）寫出從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間（小時）之間的函數(shù)關系式；（2）據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時，學生方可進教室。那么藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時后，學生才能回到教室？12.

5、某產品生產廠家根據(jù)以往的生產銷售經(jīng)驗得到下面有關生產銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產產品（千臺），其總成本為（萬元），其中固定成本為萬元，并且每生產1千臺的生產成本為萬元（總成本=固定成本+生產成本）銷售收入（萬元）滿足，假定該產品產銷平衡（即生產的產品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律，請完成下列問題：（）寫出利潤函數(shù)的解析式（利潤=銷售收入總成本）；（）工廠生產多少千臺產品時，可使盈利最多？13.有一種新型的洗衣液，去污速度特別快.已知每投放且個單位的洗衣液在一定量水的洗衣機中，它在水中釋放的濃度（克/升）隨著時間（分鐘）變化的函數(shù)關系式近似為，其中.根據(jù)經(jīng)驗，當水中洗衣液的濃度不低于（克/升）時，它才能

6、起到有效去污的作用.（）若投放個單位的洗衣液，分鐘時水中洗衣液的濃度為（克/升），求的值 ；（）若投放個單位的洗衣液，則有效去污時間可達幾分鐘？1C【解析】由已知條件得，則，所以在恒成立，則，因為在遞增，所以，所以4A【解析】當時，當時，由圖可得，當直線與函數(shù)的圖像相交于四個不同的點，則，故正確；由得，所以，即，故，由于，故，故正確；，由對號函數(shù)的圖像得，當遞減，故，所以，故正確；若關于的方程恰有三個不同實根，則的圖像與有三個不同交點，過的圖像上和的直線正好與相切，故有三個公共點，而與相切的直線與有兩個交點，故此時也有三個公共點，故錯誤，綜上，正確的命題有5C【解析】由題意知，對若是型函數(shù)，因

7、為在區(qū)間與上都是增函數(shù)所以方程有兩個不同的非零實根，即方程有兩個不同的非零實根，所以當，且時，即時，方程有兩個不同的正實數(shù)根，這時在上的值域恰為，所以函數(shù)是型函數(shù)，故錯誤對，若函數(shù)是型函數(shù), 則存在區(qū)間，使函數(shù)在上的值域恰為，函數(shù)的對稱軸是，下面分三種情況討論：（a）當時，函數(shù)在上的值域為，所以有，以上兩式相減得到，因為，所以，即，所以，整理得，此方程無實數(shù)根；（b）當時，有，即，矛盾；（c）當時，有時，可得綜上所述，正確對，函數(shù)是型函數(shù), 利用導數(shù)知識可得 在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，若，且則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為0，最小值為，要使，只要取，顯然這時，且函數(shù)在上的值域恰為，所以的最小

8、值不是，因此不正確對， 若函數(shù)是型函數(shù), 則有兩個不同的非零解，即有兩個不同的非零解，由得或，所以（當時取等號），所以的最大值為故選C6D.【解析】函數(shù)，當時，當時，的階不動點的個數(shù)為，當，當，當，當，的階不動點的個數(shù)為，以此類推，的階不動點的個數(shù)是個.7【解析】根據(jù)題中理性函數(shù)的說明需滿足：定義域為的奇函數(shù)，且在定義域內為單調遞減函數(shù)。圖中所給四個函數(shù)定義域不是排除，為偶函數(shù)排除；為定義在上的奇函數(shù)，當其為減函數(shù)，也排除，經(jīng)檢驗符合題意.故選.8【解析】（1）對于命題“”即函數(shù)值域為R，“，”表示的是函數(shù)可以在R中任意取值，故有：設函數(shù)的定義域為D，則“”的充要條件是“，”命題是真命題；（2

9、）對于命題若函數(shù)，即存在一個正數(shù)，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間例如：函數(shù)滿足，則有，此時，無最大值，無最小值命題“函數(shù)的充要條件是有最大值和最小值”是假命題；（3）對于命題若函數(shù)，的定義域相同，且，則值域為，并且存在一個正數(shù)，使得則命題是真命題（4）對于命題函數(shù)（，）有最大值，假設，當時，0，則與題意不符；假設，當時，則與題意不符即函數(shù)=當時，,即；當時，；當時，即即故命題是真命題故答案為9【解析】因為A點的縱坐標是2，即，即D點的橫坐標，且B點的縱坐標是2。即，即B點的橫坐標，亦即C點的橫坐標，則，即C 點的縱坐標是 ，則D點的坐標是10【解析】因為函數(shù)f（x）=x2+k是（-，0）上的正函數(shù)，

10、所以ab0，所以當xa，b時，函數(shù)單調遞減，則f（a）=b，f（b）=a，即a2+k=b，b2+k=a，兩式相減得a2-b2=b-a，即b=-（a+1），代入a2+k=b得a2+a+k+1=0，由ab0，且b=-（a+1），a-（a+1）0，即，解得-1a-.故關于a的方程a2+a+k+1=0，在區(qū)間（-1，-）內有實數(shù)解，記h（a）=，則 h（-1）0，h（-）0，即1-1+k+10且解得k-1且m-即-1m-;故答案為：11【解析】從函數(shù)圖象可以看出，當時，與是正比例函數(shù)關系，可設，圖象過點，用待定系數(shù)法求便可，而當時，圖象過點，用待定系數(shù)法求出便可，最后把函數(shù)關系寫成分段函數(shù)形式；第二步分兩種情況解不等式，一句話分段函數(shù)問題分段解決.（1）由圖知，當時，可設，由于點在直線上可得。此時當時，由可得綜上 由題意可知，即. 當時，則；當時，;所以或因此由題意至少需要經(jīng)過0.6小時后，學生才能回到教室。12（）=;（）當工廠生產4千臺產品時，可使贏利最大，且最大值為3.6萬元.【解析】（）由已知分析的出總成本再根據(jù)利潤=銷售收入總成本，即可求出的解析式；（）當時，函數(shù)為減函數(shù)，當05時