數(shù)值分析課程設(shè)計

1、青島農(nóng)業(yè)大學(xué)本科生課程論文題 目： 數(shù)值分析課程設(shè)計 姓 名： 楊寶赟 學(xué) 院： 理學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè)： 信息與計算科學(xué)專業(yè) 班 級： 2008級2班 學(xué) 號： 20084051 指導(dǎo)教師： 常桂娟 完成時間： 2011年12月23日 二一一年十二月二十三日課 程 論 文 任 務(wù) 書學(xué)生姓名 楊寶赟 指導(dǎo)教師 常桂娟 論文題目 數(shù)值分析課程設(shè)計 論文內(nèi)容（需明確列出研究的問題）： 運用matlab數(shù)學(xué)軟件設(shè)計出數(shù)值分析的求拉格朗日插值多項式和牛頓插值多項式以及polyfit多項函數(shù)擬合來求的擬合曲線和列主元guass消去法解方程組。 資料、數(shù)據(jù)、技術(shù)水平等方面的要求：論文要符合一般學(xué)術(shù)論

2、文的寫作規(guī)范，具備學(xué)術(shù)性、科學(xué)性和一定的創(chuàng)造性。文字要流暢、語言要準(zhǔn)確、論點要清楚、論據(jù)要準(zhǔn)確、論證要完整、嚴(yán)密，有獨立的觀點和見解。內(nèi)容要理論聯(lián)系實際，計算數(shù)據(jù)要求準(zhǔn)確，涉及到他人的觀點、統(tǒng)計數(shù)據(jù)或計算公式等要標(biāo)明出處，結(jié)論要寫的概括簡短。參考文獻的書寫按論文中引用的先后順序連續(xù)編碼。（根據(jù)情況修改） 發(fā)出任務(wù)書日期2011.12.18 完成論文（設(shè)計）日期 2011.12.23 學(xué)科組或教研室意見（簽字） 院、系（系）主任意見（簽字） 目錄前言3一、設(shè)計題1：4（一）、求拉格朗日插值多項式41.1理論知識41.2拉格朗日插值的設(shè)計思路與算法如下：52.求拉格朗日插值多項式的程序如下：(即l

3、anguage.m文件)53.程序運行操作過程與輸出結(jié)果64.對計算過程與結(jié)果分析7（二）、 求牛頓插值多項式71.1理論知識71.2設(shè)計思路與算法步驟82.求牛頓插值多項式的程序如下：(即newton.m文件)83.程序運行操作過程與輸出結(jié)果94對計算過程與結(jié)果的分析105.在課程設(shè)計中的心得體會10二、設(shè)計題2：101.1理論知識111.2算法步驟112程序運行操作過程與輸出結(jié)果113.對計算過程與結(jié)果的分析124.在課程設(shè)計中的心得體會12三、設(shè)計題3：121.1理論知識131.2設(shè)計思路131.3算法步驟132程序清單143程序運行操作過程與輸出結(jié)果174.對計算過程與結(jié)果的分析185

4、.在課程設(shè)計中的心得體會19參考文獻19【abstract】20數(shù)值分析課程設(shè)計信息與計算科學(xué)專業(yè) 楊寶赟指導(dǎo)教師 常桂娟【摘要】本文對運用matlab軟件分別對求拉格朗日插值多項式、牛頓插值多項式、曲線擬合、高斯列主元消去法進行設(shè)計，設(shè)計從理論知識、設(shè)計思路、算法步驟、程序清單等方面進行了系統(tǒng)的表達。理論知識方面分別給出了以上各個方法的來由、定義等，設(shè)計思路構(gòu)成了程序清單的靈魂，簡要表達了實現(xiàn)程序的各個步驟。最后，通過以上環(huán)節(jié)總結(jié)出自己對各個程序設(shè)計的心得體會?！娟P(guān)鍵詞】matlab 拉格朗日插值 牛頓插值 曲線擬合 高斯消去 前言計算機與計算數(shù)學(xué)的發(fā)展以及它們在工程及科學(xué)技術(shù)問題中的廣泛應(yīng)

5、用,使得數(shù)值分析(計算方法)課程對高等院校理工科學(xué)生來說越來越重要。 數(shù)值分析是一門基礎(chǔ)課,它象通常的數(shù)學(xué)課程一樣有自身嚴(yán)密的科學(xué)體系,但它又是一門應(yīng)用性很強的課程,目的是使學(xué)生能夠用本課程的理論在計算機上實現(xiàn)有關(guān)的科學(xué)與工程計算,計算能力的培養(yǎng)對工科各專業(yè)的學(xué)生都是十分重要的,數(shù)值分析課程的課程設(shè)計環(huán)節(jié)正是為了適應(yīng)這種需要而設(shè)置的,使得學(xué)生在學(xué)習(xí)各種算法時,能在課程設(shè)計環(huán)節(jié)中深刻體會算法的內(nèi)涵、物理背景和實際意義,同時也能提高學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的興趣, 而更重要的是能提高學(xué)生綜合運用知識的能力和培養(yǎng)學(xué)生利用計算機解決實際問題的能力。一、設(shè)計題1：根據(jù)下表所列的數(shù)據(jù)點求出其拉格朗日插值多項式及牛頓

6、插值多項式，并計算當(dāng)x=2.0時的值。11.21.82.5411.443.246.2516（一）、求拉格朗日插值多項式1.1理論知識拉格朗日插值法是以法國十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家約瑟夫路易斯拉格朗日命名的一種多項式插值方法。許多實際問題中都用函數(shù)來表示某種內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律，而不少函數(shù)都只能通過實驗和觀測來了解。如對實踐中的某個物理量進行觀測，在若干個不同的地方得到相應(yīng)的觀測值，拉格朗日插值法可以找到一個多項式，其恰好在各個觀測的點取到觀測到的值。這樣的多項式稱為拉格朗日（插值）多項式。數(shù)學(xué)上來說，拉格朗日插值法可以給出一個恰好穿過二維平面上若干個已知點的多項式函數(shù)。拉格朗日插值法最早被英國數(shù)學(xué)家愛德華華林

7、于1779年發(fā)現(xiàn)，不久后（1783年）由萊昂哈德歐拉再次發(fā)現(xiàn)。1795年，拉格朗日在其著作師范學(xué)校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程中發(fā)表了這個插值方法，從此他的名字就和這個方法聯(lián)系在一起。對某個多項式函數(shù)，已知有給定的k + 1個取值點： 其中對應(yīng)著自變量的位置，而對應(yīng)著函數(shù)在這個位置的取值。假設(shè)任意兩個不同的都互不相同，那么應(yīng)用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項式為： 其中每個 為拉格朗日基本多項式（或稱插值基函數(shù)），其表達式為：。 拉格朗日基本多項式 的特點是在 上取值為1，在其它的點上取值為0。1.2拉格朗日插值的設(shè)計思路與算法如下：（1）輸入,，。（2）對置。（3）置。（4）輸出。2.求拉格朗日插值

8、多項式的程序如下：(即language.m文件)function f=language(x,y,x0)%求已知數(shù)據(jù)點的拉格朗日插值多項式%已知數(shù)據(jù)點的x坐標(biāo)向量：x%已知數(shù)據(jù)點的y坐標(biāo)向量：y%插值的x坐標(biāo)：x0%求得的拉格朗日插值多項式在x0處的插值：fsyms t;if(length(x)=length(y) n=length(x);else disp(x和y的維數(shù)不相等！); return;end %檢錯f=0.0;for(i=1:n) l=y(i); for(j=1:i-1) l=l*(t-x(j)/(x(i)-x(j); end; for(j=i+1:n) l=l*(t-x(j)/(

9、x(i)-x(j);%計算拉格朗日基函數(shù) end; f=f+l; %計算拉格朗日插值函數(shù) simplify(f); %化簡 if(i=n) if(nargin=3) f=subs(f,t,x0); %計算插值點的函數(shù)值 else f=collect(f); %將插值多項式展開 f=vpa(f,6); %將插值多項式的系數(shù)化成6位精度的小數(shù) end endend3.程序運行操作過程與輸出結(jié)果在文件中新建一個m文件language.m，編寫出求拉格朗日插值多項式的程序，然后在命令區(qū)調(diào)用language.m文件，即在命令區(qū)打入f=language(x,y)即可得到，再次調(diào)用language.m文件，

10、利用f=language(x,y,2)語句得出x=2.0時的值。matlab中的命令如下： x=1 1.2 1.8 2.5 4; y=1 1.44 3.24 6.25 16; f=language(x,y) f = t2 f=language(x,y,2)f = 44.對計算過程與結(jié)果分析由于本題的例題給出的數(shù)據(jù)很簡單，所以僅憑觀察法就可以得出結(jié)果，而且計算量很小，不太符合程序設(shè)計的理念。所以對簡單的數(shù)據(jù)處理可以直接用計算方法手動算出，本程序僅對復(fù)雜數(shù)據(jù)處理方面有很大用處。（二）、 求牛頓插值多項式1.1理論知識 牛頓插值法利用函數(shù)f (x)在某區(qū)間中若干點的函數(shù)值，作出適當(dāng)?shù)奶囟ê瘮?shù)，在這些

11、點上取已知值，在區(qū)間的其他點上用這特定函數(shù)的值作為函數(shù)f (x)的近似值。如果這特定函數(shù)是多項式，就稱它為插值多項式。利用插值基函數(shù)很容易得到拉格朗日插值多項式，公式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中甚為方便，但當(dāng)插值節(jié)點增減時全部插值基函數(shù)均要隨之變化，整個公式也將發(fā)生變化， 這在實際計算中是很不方便的，為了克服這一缺點，提出了牛頓插值。 牛頓插值通過求各階差商，遞推得到的一個公式： 1.2設(shè)計思路與算法步驟（1）輸入插值節(jié)點數(shù)n，插值點序列，要計算的插值點u。（2）形成差商表 ！gk表示（3）置初始值t=1；newton=f(0)（4）for(i=1:n-1) for(j=i+1:n) y1(j) =

12、 (y(j)-y(i)/(x(j)-x(i); end c(i) = y1(i+1); l = l*(t-x(i); f = f + c(i)*l;（5）輸出f（x）2.求牛頓插值多項式的程序如下：(即newton.m文件)function f = newton(x,y,x0)%本程序為newton插值，%其中x,y為插值節(jié)點和節(jié)點上的函數(shù)值，輸出為插值點x0的函數(shù)值，%x0可以是向量。syms t;if(length(x) = length(y) n = length(x); c(1:n) = 0.0;else disp(x和y的維數(shù)不相等！); return;endf = y(1);y1

13、= 0;l = 1; for(i=1:n-1) for(j=i+1:n) y1(j) = (y(j)-y(i)/(x(j)-x(i); end c(i) = y1(i+1); l = l*(t-x(i); f = f + c(i)*l; simplify(f) y = y1; if(i=n-1) if(nargin = 3) f = subs(f,t,x0); else f = collect(f); %將插值多項式展開 f = vpa(f, 6); end endend3.程序運行操作過程與輸出結(jié)果在文件中新建一個m文件newton.m，編寫出求拉格朗日插值多項式的程序，然后在命令區(qū)調(diào)用newton.m文件，即在命令區(qū)打入f=newton(1 1.2 1.8 2.5 4,1 1.44 3.24 6.25 16,2)即可得到，以及x=2.0時的值為4。matlab中的命令如下： f=newton(1 1.2 1.8 2.5 4,1 1.44 3.24 6.25 16,2) ans =t2 f = 44對計算過程與結(jié)果的分析由于本題的例題給出的數(shù)據(jù)很簡單，所以僅憑觀察法就可以得出結(jié)果，而且計算量很小，不太符合程序設(shè)計的理念。所以對簡單的數(shù)據(jù)處理可以直接用計算方法手動算出，本程序僅對復(fù)雜數(shù)據(jù)處理方面有很大用處。5.在課程設(shè)計中的心得體會在對拉格朗