中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題(含答案)

1、中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料:二次函數(shù)壓軸題面積類1如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（ 1， 0）、 B（ 3， 0）、 C（ 0， 3）三點（ 1）求拋物線的解析式（ 2）點 M 是線段 BC 上的點（不與B， C 重合），過 M 作 MN y 軸交拋物線于N，若點M 的橫坐標(biāo)為m，請用 m 的代數(shù)式表示MN 的長（ 3）在（ 2）的條件下，連接NB、 NC ，是否存在m，使 BNC 的面積最大？若存在，求m 的值；若不存在，說明理由解答：解：（ 1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（ x+1）（ x 3），則：a（ 0+1 ）（ 0 3） =3，a= 1；拋物線的解析式：y=（ x+1）（ x 3） = x2+

2、2x+3 （ 2）設(shè)直線 BC 的解析式為： y=kx+b，則有：，解得；故直線 BC 的解析式： y= x+3 已知點 M 的橫坐標(biāo)為m， MN y，則 M （m， m+3）、 N（ m， m2+2m+3）；22故 MN =m+2m+3（ m+3） = m +3 m（ 0 m 3）（3）如圖；S BNC=S MNC +SMNB =MN（ OD+DB） =MN?OB，S BNC=（ m2+3 m） ?3=（ m） 2+（ 0m 3）；當(dāng) m=時， BNC 的面積最大，最大值為- 1 -2如圖，拋物線的圖象與x 軸交于 A、B 兩點，與y 軸交于 C點，已知B 點坐標(biāo)為（ 4， 0）（ 1）求拋

3、物線的解析式；（ 2）試探究 ABC 的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；（ 3）若點 M 是線段 BC 下方的拋物線上一點，求MBC 的面積的最大值，并求出此時M點的坐標(biāo)解答：解：（ 1）將 B（ 4，0）代入拋物線的解析式中，得：0=16a 4 2，即： a=；拋物線的解析式為：y=x2 x 2（2）由（ 1）的函數(shù)解析式可求得：A（ 1， 0）、 C（ 0， 2）；OA=1， OC=2，OB=4，即： OC2=OA?OB，又： OC AB， OAC OCB ，得： OCA= OBC； ACB= OCA+ OCB= OBC+ OCB=90， ABC 為直角三角形，AB 為 ABC 外接圓的

4、直徑；所以該外接圓的圓心為AB 的中點，且坐標(biāo)為： （， 0）（3）已求得： B（ 4， 0）、 C（ 0， 2），可得直線BC 的解析式為： y=x 2；設(shè)直線 l BC，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當(dāng)直線l 與拋物線只有一個交點時，可列方程：x+b=x2 x 2，即：x2 2x 2b=0，且 =0； 4 4（ 2 b） =0，即 b=4；直線 l： y=x 4所以點 M 即直線 l 和拋物線的唯一交點，有：- 2 -，解得：即 M（ 2， 3）過 M 點作 MN x 軸于 N，S BMC =S 梯形 OCMN +S MNB S OCB=2（ 2+3 ）+2324=4 平行四邊形類

5、3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2 +mx+n 經(jīng)過點 A（ 3， 0）、 B（ 0， 3），點 P是直線 AB 上的動點，過點P 作 x 軸的垂線交拋物線于點M ，設(shè)點 P 的橫坐標(biāo)為t（ 1）分別求出直線 AB 和這條拋物線的解析式（ 2）若點 P 在第四象限，連接 AM 、 BM ，當(dāng)線段 PM 最長時，求 ABM 的面積（ 3）是否存在這樣的點 P，使得以點 P、M 、B、O 為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點 P 的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（1）分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把 A（ 3，0）B（ 0， 3）分別代入 y=x2+mx+n與 y=kx+b

6、，得到關(guān)于m、 n 的兩個方程組，解方程組即可；（2）設(shè)點 P 的坐標(biāo)是（ t， t 3），則 M（ t ，t2 2t 3），用 P 點的縱坐標(biāo)減去 M 的縱坐標(biāo)得到 PM 的長，即 PM=（ t 3）（ t2 2t 3）= t2 +3t，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到- 3 -當(dāng) t=時， PM 最長為=，再利用三角形的面積公式利用S ABM =S BPM +SAPM 計算即可；（3）由 PM OB，根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM =OB 時，點 P、 M、B、O 為頂點的四邊形為平行四邊形，然后討論：當(dāng)P 在第四象限： PM=OB=3， PM 最長時只有，所以不可能；當(dāng) P 在第一象限： PM

7、=OB=3 ，（ t2 2t3）（ t 3）=3；當(dāng) P 在第三象限： PM=OB=3，t2 3t=3，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t 的值解答：解：（ 1）把 A（ 3，0） B（0， 3）代入 y=x2+mx+n，得解得，所以拋物線的解析式是y=x22x 3設(shè)直線 AB 的解析式是y=kx+b，把 A（ 3，0） B（0， 3）代入 y=kx+b，得，解得，所以直線 AB 的解析式是y=x 3；（2）設(shè)點 P 的坐標(biāo)是（ t， t 3），則 M（ t ，t2 2t 3），因為 p 在第四象限，所以 PM =（ t 3）（ t2 2t 3） =t 2+3t，當(dāng) t=時，二次函數(shù)的最大

8、值，即PM 最長值為= ，則 S ABM=SBPM +S APM=（ 3）存在，理由如下： PM OB，當(dāng) PM =OB 時，點 P、 M、 B、O 為頂點的四邊形為平行四邊形，當(dāng) P 在第四象限： PM=OB=3，PM 最長時只有，所以不可能有PM =3當(dāng) P 在第一象限： PM =OB=3 ，（ t2 2t 3）（ t 3）=3，解得 t1=，t2=（舍去），所以 P 點的橫坐標(biāo)是；當(dāng) P 在第三象限： PM=OB=3，t2 3t=3，解得 t1=（舍去），t2=，所以 P點的橫坐標(biāo)是所以 P 點的橫坐標(biāo)是或- 4 -4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點為A（ 0， 1），

9、B（ 2，0）， O（ 0，0），將此三角板繞原點O 逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到 ABO（ 1）一拋物線經(jīng)過點A、B、 B，求該拋物線的解析式；（ 2）設(shè)點 P 是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，是否存在點P，使四邊形PBAB 的面積是 ABO 面積 4 倍？若存在，請求出P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（ 3）在（2）的條件下， 試指出四邊形PBAB 是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PBAB的兩條性質(zhì)解：（ 1） ABO 是由 ABO 繞原點 O 逆時針旋轉(zhuǎn) 90得到的，又 A（ 0，1）， B（2， 0），O（0， 0），A（ 1， 0）， B（ 0， 2）方法一：設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+

10、bx+c（ a0），拋物線經(jīng)過點A、 B、B，解得：，滿足條件的拋物線的解析式為y=x2+x+2方法二： A（ 1， 0）， B（ 0， 2）， B（2， 0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（ x+1）（ x 2）將 B（ 0， 2）代入得出： 2=a（0+1 ）（ 02），解得： a=1，故滿足條件的拋物線的解析式為y=（ x+1）（ x 2）= x2+x+2；（2） P 為第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，設(shè) P（ x， y），則 x 0， y 0， P 點坐標(biāo)滿足y= x2+x+2- 5 -連接 PB， PO， PB，S 四邊形 POB，PB A B=S B OA +SPB O+S=12+2x+

11、2y，=x+（ x2+x+2 ） +1，=x2+2x+3AO=1， BO=2， ABO 面積為： 12=1，假設(shè)四邊形 PB AB 的面積是 ABO 面積的 4 倍，則4= x2+2x+3 ，即 x2 2x+1=0 ，解得： x1=x2=1，2此時 y= 1 +1+2=2 ，即 P（ 1， 2）存在點 P（ 1， 2），使四邊形 PBAB 的面積是 ABO 面積的 4 倍（3）四邊形 PBAB 為等腰梯形，答案不唯一，下面性質(zhì)中的任意2 個均可等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等；等腰梯形對角線相等；等腰梯形上底與下底平行；等腰梯形兩腰相等（10 分）或用符號表示： BAB= PBA或 ABP= B

12、PB； PA=BB； BP AB； BA=PB5如圖，拋物線y=x2 2x+c 的頂點 A 在直線 l： y=x 5 上（ 1）求拋物線頂點 A 的坐標(biāo)；（ 2）設(shè)拋物線與 y 軸交于點 B，與 x 軸交于點 C、 D（C 點在 D 點的左側(cè)），試判斷 ABD 的形狀；（ 3）在直線l 上是否存在一點P，使以點 P、 A、 B、 D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由- 6 -解：（ 1）頂點A 的橫坐標(biāo)為x=1，且頂點A 在 y=x 5 上，當(dāng) x=1 時， y=1 5=4，A（ 1， 4）（2） ABD 是直角三角形將 A（ 1， 4）代入 y=x2 2

13、x+c，可得， 12+ c= 4，c= 3， y=x2 2x 3， B（ 0， 3）當(dāng) y=0 時， x22x 3=0 ，x1=1， x2=3C（ 1， 0），D （ 3， 0），BD 2=OB2+OD 2=18， AB 2=（4 3） 2+12=2 ，AD 2=（3 1） 2+42=20 ，BD 2+AB2=AD 2， ABD =90，即 ABD 是直角三角形（3）存在由題意知：直線y=x 5 交 y 軸于點 E（ 0， 5），交 x 軸于點 F （ 5，0）OE=OF=5，又 OB=OD=3 OEF 與 OBD 都是等腰直角三角形BD l，即 PA BD則構(gòu)成平行四邊形只能是PADB 或

14、PABD ，如圖，過點 P 作 y 軸的垂線，過點A 作 x 軸的垂線交過P 且平行于x 軸的直線于點G設(shè) P（ x1， x1 5），則 G（ 1， x1 5）則 PG=|1 x1|， AG=|5 x1 4|=|1x1 |PA=BD =3由勾股定理得：（ 1 x1） 2+（ 1x1） 2=18， x12 2x1 8=0 ， x1= 2 或 4P（ 2， 7）或 P（ 4， 1），存在點 P（ 2， 7）或 P（ 4， 1）使以點A、 B、 D、 P 為頂點的四邊形是平行四邊形- 7 -周長類6如圖， RtABO 的兩直角邊 OA、OB 分別在 x 軸的負(fù)半軸和 y 軸的正半軸上， O 為坐標(biāo)原

15、點， A、 B 兩點的坐標(biāo)分別為（ 3， 0）、（ 0， 4），拋物線 y=x2+bx+c 經(jīng)過點 B，且頂點在直線x=上（ 1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）若把 ABO 沿 x 軸向右平移得到DCE ，點 A、B、O 的對應(yīng)點分別是D、 C、E，當(dāng)四邊形 ABCD 是菱形時，試判斷點C 和點 D 是否在該拋物線上，并說明理由；（ 3）在（ 2）的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點P 使得 PBD 的周長最小，求出 P 點的坐標(biāo)；（ 4）在（ 2）、（ 3）的條件下，若點 M 是線段 OB 上的一個動點（點 M 與點 O、B 不重合），過點 M 作 BD 交 x 軸于點 N，連接 P

16、M 、PN，設(shè) OM 的長為 t， PMN 的面積為 S，求 S和 t 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 t 的取值范圍， S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時 M 點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由- 8 -解：（ 1）拋物線 y=經(jīng)過點 B（ 0， 4） c=4 ，頂點在直線 x=上，=， b=；所求函數(shù)關(guān)系式為；（2）在 RtABO 中， OA=3， OB=4， AB =，四邊形 ABCD 是菱形， BC =CD =DA=AB=5，C、D 兩點的坐標(biāo)分別是（5， 4）、（ 2， 0），當(dāng) x=5 時， y=，當(dāng) x=2 時， y=，點 C 和點 D 都在所求拋物線上；（3）設(shè) CD 與對稱軸

17、交于點P，則 P 為所求的點，設(shè)直線 CD 對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則，解得：，當(dāng) x=時， y=， P（），（ 4） MN BD ， OMN OBD ，即得 ON=，設(shè)對稱軸交 x 于點 F，則（ PF+OM ）?OF =（ +t） ， S PNF =NF?PF=（ t） =，S=（）， =（ 0 t 4），a= 0拋物線開口向下，S 存在最大值由 S PMN= t2+t=（ t） 2+，當(dāng) t=時， S 取最大值是，此時，點 M 的坐標(biāo)為（ 0，）- 9 -等腰三角形類7如圖，點A 在 x 軸上， OA=4 ，將線段 OA 繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn)120 至 OB 的位置（ 1）求點

18、B 的坐標(biāo)；（ 2）求經(jīng)過點 A、 O、 B 的拋物線的解析式；（ 3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點 P，使得以點 P、O、B 為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點 P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：（ 1）如圖，過B 點作 BC x 軸，垂足為C，則 BCO=90， AOB=120， BOC=60，又 OA=OB=4 ， OC=OB=4=2， BC=OB?sin60=4=2，點 B 的坐標(biāo)為（ 2， 2）；（2）拋物線過原點O 和點 A、B，可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，將 A（ 4，0）， B（ 2 2）代入，得，解得，此拋物線的解析式為y=x2+x（3）存在，如圖，拋物線的

19、對稱軸是直線 x=2，直線 x=2 與 x 軸的交點為 D，設(shè)點 P 的坐標(biāo)為（ 2，y），若 OB=OP，則 22+|y|2 =42，解得 y=2 ，當(dāng) y=2時，在 RtPOD 中， PDO=90， sinPOD =， POD=60， POB= POD +AOB=60+120=180，- 10 -即 P、 O、 B 三點在同一直線上，y=2 不符合題意，舍去，點 P 的坐標(biāo)為（ 2， 2）若 OB=PB，則 42+|y+2|2=42，解得 y= 2，故點 P 的坐標(biāo)為（ 2， 2），若 OP=BP，則 22+|y|2=42+|y+2|2，解得 y= 2，故點 P 的坐標(biāo)為（ 2， 2），綜

20、上所述，符合條件的點P 只有一個，其坐標(biāo)為（2， 2），8在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點A（ 0， 2），點 C（ 1， 0），如圖所示：拋物線y=ax2+ax 2 經(jīng)過點 B（ 1）求點 B 的坐標(biāo)；（ 2）求拋物線的解析式；（ 3）在拋物線上是否還存在點 P（點 B 除外），使 ACP 仍然是以 AC 為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點 P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（ 1）過點 B 作 BD x 軸，垂足為D， BCD +ACO=90， ACO+ CAO=90， BCD =CAO，（1 分）又 BDC= COA=90，

21、 CB=AC， BCD CAO ，（ 2 分）BD =OC=1， CD=OA=2 ，（ 3 分）點 B 的坐標(biāo)為（ 3， 1）；（ 4 分）- 11 -（ 2）拋物線 y=ax2+ax 2 經(jīng)過點 B（ 3， 1），則得到 1=9a 3a 2，（ 5 分）解得 a=，所以拋物線的解析式為 y=x2+x 2；（7 分）（ 3）假設(shè)存在點 P，使得 ACP 仍然是以AC 為直角邊的等腰直角三角形：若以點C 為直角頂點；則延長 BC 至點 P1，使得 P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，（ 8 分）過點 P1 作 P1M x 軸，CP 1=BC， MCP 1=BCD ， P1MC = BDC=

22、90 ， MP1C DBC （ 10 分）CM =CD=2， P1M=BD =1，可求得點P1（1， 1）；（ 11 分）若以點 A 為直角頂點；則過點 A 作 AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，（ 12 分）過點 P2 作 P2N y 軸，同理可證AP 2N CAO ，（ 13 分）NP 2=OA=2， AN=OC=1，可求得點P2（ 2， 1），（ 14 分）經(jīng)檢驗，點P1（ 1， 1）與點 P2（ 2， 1）都在拋物線y=x2+x 2 上（ 16 分）9在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點 A（ 0，2），點 C（ 1， 0），如圖所示，拋物線y=ax2 ax 2 經(jīng)過點 B（ 1）求點 B 的坐標(biāo)；（ 2）求拋物線的解析式；（ 3）在拋物線上是否還存在點 P（點 B 除外），使 ACP 仍然是以 AC 為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點 P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由