圓錐曲線的知識(shí)點(diǎn)結(jié)論易錯(cuò)點(diǎn)真題

1、(一)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1. 橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)F,、F2的距離的和大于| F, F2|這個(gè)條件不可忽視.若這 1.橢圓的幾何性質(zhì) 設(shè)橢圓方程為 2 1 ( a b 0) b2 2 2. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2 a 3. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法： 2 2 2 y21 ( a b 0), y2 x21 ( a b 0). bab 判別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸只要看分母的大?。喝绻鹸2項(xiàng)的分母大于y2項(xiàng)的分母，則橢圓 個(gè)距離之和小于| F, F2I，則這樣的點(diǎn)不存在；若距離之和等于 | F, F2I，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F, F2. 的焦點(diǎn)在x軸上，反之，焦點(diǎn)在 4.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方

2、法： (二)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) y軸上. 正確判斷焦點(diǎn)的位置； 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解 范圍：-a x a, -b x b 0)的準(zhǔn)線有兩條，它們的方程為 a b 2 y 2 a b2 ,(a b 0)的準(zhǔn)線方程，只要把 x換成y就可以了，即 a x acos (B為參數(shù)). y bsi n 橢圓上點(diǎn) P的離心角B與直線 OP的傾斜角a不同： .橢圓的四個(gè)主要元素a、b、c、e中有a2 =b2 +c2、e 設(shè) F, (-c , 0), F2 (c, 0 2 x )分別為橢圓 a 2 y b2 1 ( a b 0)的左、右兩焦點(diǎn), 一點(diǎn)，則兩條焦半徑長(zhǎng)分別為 MF, a ex, mf

3、2 a ex. 3.橢圓的焦半徑：由橢圓上任意一點(diǎn)與其焦點(diǎn)所連的線段叫做這點(diǎn)的焦半徑 M (x, y)是橢圓上任 橢圓中涉及焦半徑時(shí)運(yùn)用焦半徑知識(shí)解題往往比較簡(jiǎn)便 兩個(gè)關(guān)系，因此確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需兩個(gè)獨(dú)立條件 4. 橢圓的參數(shù)方程 2 2 橢圓筈與 ,(a b 0)的參數(shù)方程為 a b 說明： 這里參數(shù)B叫做橢圓的離心角 tan tan a 橢圓的參數(shù)方程可以由方程 sin21相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方 2 2 篤占 1與三角恒等式cos2 a b 程的實(shí)質(zhì)是三角代換 x a cos y bsi n 2 2 橢圓y 1(a b 0)的參數(shù)方程是 a b 5. 橢圓的的內(nèi)外部 2 x (

4、1) 點(diǎn) P(x0, y0)在橢圓 a 2 x (2 )點(diǎn)p(x, y)在橢圓 a 2 y_ b2 2 y 1(a b 0)的內(nèi)部 1(a b 0)的外部 2 xc a 2 x0 a 2 匹1 b2 2 匹1 b2 6.橢圓的切線方程 2 2 (1)橢圓篤爲(wèi) a b x2 (2)過橢圓篤 a 22 (3)橢圓與與 a b 1(a b 0)上一點(diǎn) P(x, y)處的切線方程是 x0 x yy 1 z盲 1(a b 0)外一點(diǎn)P(x,y)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 1(a b 0)與直線Ax 2 2 By C 0相切的條件是A a (三) 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1. 雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)

5、F1、 軌跡叫做雙曲線.在這個(gè)定義中，要注意條件 加以理解.若2a=| F1 F2| F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù) 2a| F1 F21，則無軌跡. MF1 MF2時(shí)，軌跡為雙曲線的另 2a (小于| F1 F2I)的動(dòng)點(diǎn)M的 若MF1 0, b0).這里b2 a ba b 要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同 . 3. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是 ：如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在 x軸上； 2 a ,其中 | F1 F2 |=2c. 如果 y2項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則 焦點(diǎn)在y軸上.對(duì)于雙曲線，a不一定大于b,因此不能像橢圓那樣， 通過比較分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一條坐 標(biāo)軸上

6、. 4. 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意兩個(gè)問題： 求解. (四) 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 2 1.雙曲線務(wù) a 2 雙曲線務(wù) a m 陽 x，即 n 正確判斷焦點(diǎn)的位置； 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法 2. 2 每 1的實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為 b2 2 y_ b2 1的漸近線方程為 y mx 數(shù). 3.雙曲線的第二定義 的軌跡叫做雙曲線 別是x PF2 2 a 和 c 2 |e(x)|. c 2b,離心率e b x或表示為 a ny 0，那么雙曲線的方程具有以下形式: :平面內(nèi)到定點(diǎn)， 2 .對(duì)于雙曲線務(wù) a 22 ax .雙曲線飛 a (焦點(diǎn)) 2 y_ b2 y2 b2 4.雙曲線的內(nèi)外部

7、2 2 x (1)點(diǎn)P(x0, y0)在雙曲線 a 2 2 2 y by b x2 (2)點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線 a 5.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系 c 1,離心率e越大，雙曲線的開口越大 a 22 xy 2.2 ab 0.若已知雙曲線的漸近線方程是 k，其中k是一個(gè)不為零的常 與到定直線(準(zhǔn)線)距離的比是一個(gè)大于 1，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(-c，0)和(c， 1(a 0,b0)的焦半徑公式 PF1 2 2 1(a 0,b 0)的內(nèi)部 卑卑 1. a b 2 2 1(a 0,b 0)的外部 篤馬 1. a b 1的常數(shù)(離心率)的點(diǎn) 0)，與它們對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分 2 a |e(x )| ,

8、c (1 )若雙曲線方程為 (2)若漸近線方程為 y b b x a 漸近線方程: 2 y b7 雙曲線可設(shè)為 2 x 2 a 2 若雙曲線與篤 a 1有公共漸近線，可設(shè)為 2 x 2 a 2 y b2 0，焦點(diǎn)在x軸上, 0，焦點(diǎn)在y軸 上). 6.雙曲線的切線方程 2 y b2 2 x a 2 (3)雙曲線冷 a 2 x (1)雙曲線篤 a (2 )過雙曲線 1(a XoXyoy 0,b0)上一點(diǎn)P(x0,y)處的切線方程是 = 亍1. a b 2 y b7 2 y2 22 2 1(a0,b 0)外一點(diǎn)P(xo,yo)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 xx 2 a yy 1 21(a 0,b0)

9、與直線Ax By C 0相切的條件是A a B b b (五)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 1 .拋物線的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)(F)和一條定直線(I)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線。這個(gè)定點(diǎn)F叫拋 物線的焦點(diǎn)，這條定直線 I叫拋物線的準(zhǔn)線。 需強(qiáng)調(diào)的是，點(diǎn) F不在直線I上，否則軌跡是過點(diǎn) F且與I垂直的直線，而不是拋物線。 2 拋物線的方程有四種類型: y2 2px、y2 2px、x2 2py、x22 py 對(duì)于以上四種方程：應(yīng)注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對(duì)稱軸是哪個(gè)軸，方程中的該項(xiàng)即為一次項(xiàng)；一次項(xiàng)前面是 正號(hào)則曲線的開口方向向 x軸或y軸的正方向；一次項(xiàng)前面是負(fù)號(hào)則曲線的開口方向向x軸或y軸的負(fù)

10、方向。 3 拋物線的幾何性質(zhì)，以標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px為例 (1) 范圍：x 0; (2) 對(duì)稱軸：對(duì)稱軸為 y=0,由方程和圖像均可以看出； (3) 頂點(diǎn)：O (0, 0),注：拋物線亦叫無心圓錐曲線(因?yàn)闊o中心) ； (4) 離心率：e=1，由于e是常數(shù)，所以拋物線的形狀變化是由方程中的p決定的; x (5 )準(zhǔn)線方程 P 2 - (6) 焦半徑公式： 拋物線上一點(diǎn) P (x1, y1), F為拋物線的焦點(diǎn)，對(duì)于四種拋物線的焦半徑公式分別為(p 0)： 2 y 2px: PF p2 捲;y 2 2px: PF x子 2 x 2py： PF p2 y1 2; x 2py： PF y1 2 (7

11、) 焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式 :對(duì)于過拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)， 可以用焦半徑公式推導(dǎo)出弦長(zhǎng)公式。設(shè)過拋物線y2=2px (p O) 的焦點(diǎn)F的弦為AB, A (x1, y1), B (x2, y2), AB的傾斜角為a,則有|AB|=x 1 +x2 +p，卜_： sin tx 以上兩公式只適合過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)的求法，對(duì)于其它的弦，只能用“弦長(zhǎng)公式”來求。 2 (8)直線與拋物線的關(guān)系：直線與拋物線方程聯(lián)立之后得到一元二次方程：x +bx+c=0,當(dāng)0時(shí)，兩者的位 置關(guān)系的判定和橢圓、雙曲線相同，用判別式法即可；但如果a=0,則直線是拋物線的對(duì)稱軸或是和對(duì)稱軸平行 的直線，此時(shí)， 2 4拋物線y y 5二次函數(shù) 直線

12、和拋物線相交，但只有一個(gè)公共點(diǎn)。 2 2px上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P 2p bx c a(x )2 2a 2 / b 4ac b 1、 (, ) 2a 4a - 2 ax ,y )2、 或 P(2pt ,2pt)或 P(xo, yo)，其中 4ac b2 4a (a y 2pxo (2)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 0)的圖象是拋物線: 4ac b2 y (3)準(zhǔn)線方程是 4a (竺 4ac b2) (1)頂點(diǎn)坐標(biāo)為2a 4a ； 6拋物線的內(nèi)外部 (1)點(diǎn)P(X0, y)在拋物線 2 y 2px(p 0)的內(nèi)部 2 y 2px(p 2 0).點(diǎn)P(X0,y0)在拋物線y 2px(p 0) 的外部 y2 2px(p

13、0). 點(diǎn) 2 P(x0, y)在拋物線 y2px(p 0) 的內(nèi) 2 部y 2px(p 0)占 P(X0,y) 八、 在拋物 線 2 y 2px(p 0)的外部 2 ；y2px(p 0). 點(diǎn)P(X0, y)在拋物線 2 x 2py(p 0)的內(nèi)部 2 X 2py(p 2 0).點(diǎn)p(X0,y0)在拋物線x 2py(p 0) 的外部 x2 2py(p 0). 點(diǎn) P(x0,y0)在拋 2 物線 x 2py(p 0) 的內(nèi) 2 部x 2py( p 0)占 P(X0,y) 八、 在拋物 線 2 X 2py(p 0)的外部 2 X2py(p 0). 7.拋物線的切線方程 2 拋物線y 2pX上一點(diǎn)

14、P(X0，yo)處的切線方程是yoy P(X X。). 2 (2) 過拋物線y 2px外一點(diǎn)P(Xo, y。)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是yoy P(x X。). 2 2 (3) 拋物線y 2px(p )與直線AX By C 0相切的條件是pb 2AC. (六).兩個(gè)常見的曲線系方程 過曲線fi(X,y) 0,f2(X,y) 0的交點(diǎn)的曲線系方程是 fi(x,y)f2(x,y) 0(為參數(shù)). 2 2 2X斗 122.22 共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程a2 k b2 k ,其中k maxa ,b .當(dāng)k min a ,b 時(shí),表示橢圓；當(dāng) 2 2 2 2 min a ,b k maxa ,b時(shí)，表

15、示雙曲線. (七)直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式 |AB 2 X 2 (x0,y0)為雙曲線a a ex), PF2 PF1 (2 )當(dāng)P點(diǎn)在左支上時(shí), PF1 a ex0, PF2 2 y b2 1 (ab0)上任一點(diǎn)，焦點(diǎn)為 F1(-c,0),F2(c,0),則 (a0,b0)上任一點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1(-c,0),F2(c,0)則: ex0 ； eX0 ； ( e為離心率)； X 2 另：雙曲線a X 2 (a0,b0)的漸進(jìn)線方程為 a PF 3拋物線焦半徑公式: P ( xo,yo為拋物線y2=2px(p0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則 P 2 ； PF Xo X0號(hào) 2 ； y2=2px(pv

16、 0) 上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)， 4涉及圓錐曲線的問題勿忘用定義解題； 5共漸進(jìn)線ybx的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 a 6計(jì)算焦點(diǎn)弦長(zhǎng)可利用上面的焦半徑公式， k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB, A、B兩點(diǎn)分別為A(X1, y”、B(x2,y2)，則弦長(zhǎng) 般地，若斜率為 2 X 2 a (為參數(shù)，豐0); Ab 1 k2 12 X2 y2yi Ax2+Bx2= 1 ； 2 y1y2= p2, X1X2=; 4 2 y_ 1 b21 2 10.過橢圓務(wù) a (ab0)左焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦為 AB,則AB 2a e(x1 x2)，過右焦點(diǎn)的弦 2 2 X1(1 k )(X1X2)4X1X2 (1 12) (y1

17、 y2)2 4y1y2,這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而不求”的解題思想; k 2 .2 2 7橢圓、雙曲線的通徑(最短弦)為絲,焦準(zhǔn)距為p=_ ,拋物線的通徑為2p,焦準(zhǔn)距為p；雙曲線爲(wèi) aca (a0, b0)的焦點(diǎn)到漸進(jìn)線的距離為b; 8中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓，雙曲線方程可設(shè)為 9拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)為AB, A ( xi,yi)、B(x2,y2),則有如下結(jié)論：(1) AB = xi+x2+p; (2) AB 2a e(Xi x?)； 11.對(duì)于y2=2px(p豐0)拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為( 2 V0 -,y。)，以簡(jiǎn)化計(jì)算； 2p 2 11 (ab0)

18、 b21 2 12. 處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點(diǎn)問題常用代點(diǎn)相減法，設(shè)A(X1,屮)、B(X2,y2)為橢圓 篤 a b2 2 y2b2 上不同的兩點(diǎn)，M(xo,yo)是AB的中點(diǎn)，則KabKom=；對(duì)于雙曲線 務(wù) 電 (a0, b0)，類似可得：Kab.Kom=-; aa2 b2a 對(duì)于y2=2px(p工0)拋物線有Kab= 2p y1 y2 13. 求軌跡的常用方法： (1) 直接法：直接通過建立 x、y之間的關(guān)系，構(gòu)成 F(x,y)= 0,是求軌跡的最基本的方法； (2) 待定系數(shù)法：所求曲線是所學(xué)過的曲線：如直線，圓錐曲線等，可先根據(jù)條件列出所求曲線的方程， 再由條件確定其待定系

19、數(shù)，代回所列的方程即可； (3) 代入法(相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法)：若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn) Q(x1,y1)的變化而變化，并且 Q(x1,y1)又在某已 知曲線上，則可先用 x、y的代數(shù)式表示 禺、y1,再將X1、y1帶入已知曲線得要求的軌跡方程； (4) 定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫出方程； (5) 參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P (x,y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x、y均用一中 間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程 有關(guān)解析幾何的經(jīng)典結(jié)論 、橢 圓 1. 點(diǎn)P處的切線 PT平分 PFF2在點(diǎn)P處的外角.

20、 2. PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩 個(gè)端點(diǎn) 3. 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離 4. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切 2 X 2 y 1 上, XoX yoy 1 b2. 5.若 P)(Xo, yo) 在橢圓 2 a b2 則過 Po的橢圓的切線方程是a2 2 X 2 y 1 外 6.若 P)(Xo, yo) 在橢圓 2 a b2 ，則過 Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為 P1、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程 XoX 是a2 yoy b2 1 2 2 X y2 1 7. 橢圓 2 a b(a

21、 b o)的左右焦點(diǎn)分別為F1, F 2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn) F1PF2 ，則橢圓的焦 2 S f,pf2b tan 點(diǎn)角形的面積為2 . 8. 2 ,2 橢圓a b 1 (a b 0)的焦半徑公式: 9. | MF11 a ex() | MF2 | a ex()( R( c,0) F2(c,0) M (X0, y。) 10.設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié) AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的橢圓準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，貝U MFL NF. 11.過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M,A2P和 A1

22、Q交于點(diǎn)N,貝U MFL NF. 2 2 x y_ 2 . 2 12. AB是橢圓a b 1 的不平行于對(duì)稱軸的弦, M(Xo, yo)為AB的中點(diǎn)，則 kOM K AB 13.即 b2Xo 2 a yo。 2 2 x y 14.若 F0(Xo, yo)在橢圓 a2b2 1 內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是 2 XoXyyXo 2 .2 2 aba 2 yo b2 2 2 15.若 P0(Xo, yo)在橢圓 a b2 1 內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是 2 y b2 XoXyoy a2 b2 、雙曲線 1. 點(diǎn)P處的切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角. 2. PT平分 PF1F2在

23、點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的 兩個(gè)端點(diǎn) 3. 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交 . 4. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.(內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支) 5. 若F0(Xo, y0)在雙曲線 2 x 2 a 2 y b2 XX 1 (a 0,b 0) 上,則過P。的雙曲線的切線方程是a2 畑 1 b21 6. 若F0(Xo, y0)在雙曲線 2 y_ b2 1 （a 0,b 0）外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為 P1、P2,則切點(diǎn) 弦P1P2的直線方程是 2 X 7. 雙曲線a 2 y b2 XoX a2 y

24、oy 1 盲1 (a0,b 0)的左右焦點(diǎn)分別為 F1, F 2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn) F1PF2 ，則 雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為 F1PF2 b2c%. 8. 2 X 雙曲線a b2 1 (a0,b 0)的焦半徑公式: （R（ c,0） F2（c,0） 9.當(dāng) M（x,y。）在右支上時(shí)，|MFj ex0 a , |MF2 | ex0 a 10.當(dāng) M（x,y。）在左支上時(shí)，|MR| ex0 a,|MF2| ex0 a 11. 設(shè)過雙曲線焦點(diǎn) F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng) 于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，貝U MF丄NF. 12.

25、過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M A2P和A1Q交于點(diǎn) N,貝U MFL NF. 2 X 13. AB是雙曲線a 2 y_ b2 (a 0,b 0)的不平行于對(duì)稱軸的弦，M(X0,y0)為 AB的中點(diǎn)，則 KoMK AB 也K 2KaB a y0，即 b2X0 2 a y 14.若卩。(心y。)在雙曲線a2b2 1 (a 0,b 0 )內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是 2 X0 y。2 b2 222 x yx -1 - 15.若F0(x0,y0)在雙曲線a2 b2(a0,b 0)內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是 a2

26、xxyoy a2 b2 2 1.橢圓篤 a 橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì) -(會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論) 橢 圓 2 y 牙1 (ab 0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A1( a,0) , A2(a,0),與y軸平行的直線交橢圓于 b Pl、P2 時(shí) AlPl 與AP交點(diǎn)的軌跡方程是 2 x 2.過橢圓a 2 y_ b2 kBC (a 0, b 0)上任一點(diǎn)A(x0,y0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于 b2x B,C兩點(diǎn)，則 直線BC有定向且 2 x 若P為橢圓a a c tan co t 2 2 x a yo (常數(shù)) 3. 2 y_ b2 1 (a b0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn)， PF1F

27、2 PF2F1 4. 設(shè)橢圓 記 F1PF2 5. 若橢圓 圓上求一點(diǎn) 則 2 x 2 a P, 2 y_ b2 6. 2a PF1F2 2 y_ b2 使得 2 x P為橢圓a (a b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P (異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)) sin ，則有 sin sin 為橢圓上任意一點(diǎn)， 在厶PF1F2中, F1F2P 7. A2a 1 ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2, PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF2的比例中項(xiàng). 2 y_ b2 IAF2I |PA| | PF1I (x x。)2 圓 2t 2 B b a2 (Axo 左準(zhǔn)線為 L,則當(dāng)0 v ew 21時(shí)，可在橢 1 (a b

28、 0 )上任一點(diǎn),F1,F2 為二焦 2a 1 AF1 |,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立. (y y。)2 1 與直線 Ax By C 0有公共點(diǎn)的充要條件是 點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則 Byo b2 C)2 8. 已知橢圓 1 |OP |2 2 x 2 a 1 |OQ| 2 x _2 1 b1 (a b 0) , O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP OQ . ( 1 ) 22Z 2 4a ba b 22c22 ;(2) |OP|2+|OQ|2的最大值為a b ； (3) S OPQ的最小值是a b . 9.過橢圓a |PF | 2 y b2 (ab0)的右焦點(diǎn)F作直線交該橢

29、圓右支于 M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交 x軸于 P,則丨MN | 2 x 10.已知橢圓 2 y b2 1 (a b 0) ,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(x0,0) 11. (1) 12. a2 b2 X。 設(shè)P點(diǎn)是橢圓 a2 b2 a 2 x 2 a 2b2 2 y b2 (a b 0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)記 F1PF2 ，則 円|圧| 1 cos .(2) 2 x a 2 b ta n- 2 . B是橢圓 2 y b2 PBA BPA tan tan 1.(3) 22 xy_ 2.2 ab PAB a b 0 )的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是

30、橢圓上的一點(diǎn)， PAB 2 |PA|學(xué)亠 e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1)a c cos 2a2b2 22 cot b a b 0 )的右準(zhǔn)線丨與x軸相交于點(diǎn)E,過橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于 x軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交， 過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直 13. 已知橢圓 B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線I上，且BC 14. 15. 16. 17. 18. 19. A、 1. 的中點(diǎn). 則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直 橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比

31、為常數(shù)e(離心率). (注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)) 橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e. 橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng) 雙曲線 2 雙曲線務(wù) a 2 嶺 1 (a0,b 0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A( a,0) , A2(a,0)，與y軸平行的直線交雙曲線于 b P、P2 時(shí)AP與APz交點(diǎn)的軌跡方程是 2 x 2 a 2 x 2.過雙曲線a kBC 則直線BC有定向且 (a0,b o)上任一點(diǎn)A(x0, y0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn), b2x 2 a y0 (常數(shù)). 3.若P為雙曲線

32、 2 X _2 a y2 b7 PF2F1 4.設(shè)雙曲線 ，則 2 X a c a 2 y_ b2 PF1F2中，記 F1PF2 2 x 2 a 5.若雙曲線 在雙曲線上求一點(diǎn) 1 (a 0,b 0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn)， c a tan cot 2 tan co t - 22 (或 c a (a0,b 0) 的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、 PF1F2 F1F2P F2,P (異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)) sin ，則有(sin sin ) PF1F2 為雙曲線上任意一點(diǎn)，在 c e a 2 y_ b2 p,使得 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2,左準(zhǔn)線為 (a0,b 0) PF1是P到

33、對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF2的比例中項(xiàng). 冬乞1 22 6. P為雙曲線a b( a 0,b 0 )上任一 ARP三點(diǎn)共線且 | AF2| 2a |PA| |PF1|,當(dāng)且僅當(dāng) 2 x 雙曲線a 點(diǎn),F1,F2 為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則 P和A，F(xiàn)2在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立. 7. 8. 已知雙曲線 1 2 y 孑 2 x 2 a 1 (a0,b 0)與直線 Ax By C 0有公共點(diǎn)的充要條件是 22 2 2 A a B b C2 9. 10. 2 (1) |OP| 2 x 過雙曲線a2 交x軸于P,則 11.已知雙曲線 a2 b2 X。 則 12. (1) 13. 2 y b7 2 |O

34、Q| 2 y (b a 0), O為坐標(biāo)原點(diǎn), 丄 2 a 丄 b ; (2) |OP|2+|OQ|2 P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且 2 2 4a b S 的最小值為b a ; (3) S OP OQ OPQ的最小值是 2 J a b 7722 b a |PF | | MN | 2 x a y2 b2 Xo a 或 P點(diǎn)是雙曲線 IPF1IIPF2I 2 x 2 a 2b2 1 cos 是雙曲線 PBA BPA 14. tan tan a 0,b 0)的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線 1 (a0,b 0) ,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于

35、點(diǎn)P(x0,0) 22 a b a y2 . 2 x a c、 (a0,b 0) 上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn) ,F1、F2為其焦點(diǎn)記 F1PF2，則 S pf1f2b cot 2 2 y_ b2 2 e . 1 (a 0,b 0 )的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn), e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有 22 2a b 丄 22 cot b a S PAB 1 (a 0,b 0) 15. 已知雙曲線a 交于A B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線I上，且BC 16. 過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線， 垂直. 17. 18. 19. 20. 21. (1) P是雙曲線上的一點(diǎn)， 2 |PA| 占7 | a c cos | PAB E

36、 ,過雙曲線右焦點(diǎn) F的直線與雙曲線相 x軸，則直線 AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn). 與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交， 的右準(zhǔn)線丨與x軸相交于點(diǎn) 則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線 過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直 雙曲線焦三角形中，外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). (注：在雙曲線焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)). 雙曲線焦三角形中，其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e. 雙曲線焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng) 其他常用公式： 1、連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線

37、段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來計(jì)算弦長(zhǎng)，常用的弦長(zhǎng)公式: 0的直線）與直線 - 1 -1 1 垂直的 2、直線的一般式方程：任何直線均可寫成山二1 （A,B不同時(shí)為0）的形式。 3、知直線橫截距，常設(shè)其方程為-.（它不適用于斜率為 直線可表示為7 - O 兩平行線1i十 I 一間的距離為 1戸1 護(hù) 若直線丄丄與直線平行 -1亠1（斜率）且一二一 =1 （在軸上截距） （充要條件） 圓的一般方程： ：I r，H _ II J ，特別提醒：只有當(dāng)二 V-時(shí)，方程 2.Lj/ +或 _4歹 :才表示圓心為，半徑為；的圓。二元二次方程 小丨丁 表示圓的充要條件是-且三且L- j 7、圓

38、的參數(shù)方程: x - a t r cos （2）求點(diǎn) F2的軌跡時(shí)易少一種情況；（3 ）對(duì)有且僅有一個(gè) 交點(diǎn)誤認(rèn)為方程只有一解。 例題11 已知圓O1 : x 2 2 y 1，圓 O2 : x 10 x 0都內(nèi)切于動(dòng)圓，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程。 2 錯(cuò)解：圓O2： X 2 y 10 x90，即為(x 5)2 16 所以圓02的圓心為。2（5,0）,半徑Q 4 , 而圓 O1 : x2 y2 1的圓心為。1（0,0）半徑r1 1, 設(shè)所求動(dòng)圓圓心 M 的坐標(biāo)為（x,y）,半徑為r 則 r |O1M | 1 且 r |O2M I 4 所以 |O1M | |O2M 即】x2y2 5)2 y2 3 化

39、簡(jiǎn)得 16x2 80 x 9y2640 (5 2 (x 2 即2- 9 2 y 1為所求動(dòng)圓圓心的軌跡方程。 剖析：上述解法將|0“M | |O2M |=3看成|OiM | IO2M | 3,誤認(rèn)為動(dòng)圓圓心的軌跡為雙曲線，這是雙曲 線的概念不清所致。 事實(shí)上，|OiM | IO2M | 3表示動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)Oi及02的距離差為一常數(shù) 3。 (52 (X 2 且|OQ2| 5 3,點(diǎn)M的軌跡為雙曲線右支，方程為J 9 4 2 y 1(x4) 4 例題12點(diǎn)P與定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到直線x=8的距離比是 1： 3,求動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn) R (2 ,3)距離的最值。 4 錯(cuò)解：設(shè)動(dòng)點(diǎn) P(x,y)到直

40、線x=8的距離為 d,則 |PF | 1 3 2 y |X 8| - 即出彳 (1) 由此式可得：(X 9 (19y ) (4) (y 3) 1(y 24)2 罟 8 16 P(x,y)在一橢圓上，由橢圓性質(zhì)知，橢圓上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都是有限制的，上述錯(cuò)解 剖析由上述解題過程知，動(dòng)點(diǎn) y 3 x2這一取值范圍，由以上解題過程知, 2 在于忽視了 3、2 2 性給予解決 | RP |的最值可由二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào) 即：當(dāng)y | PR |max 33.2 2 2 例題13已知雙曲線務(wù) a 2 y b2 1(a 0, b 0)的離心率過點(diǎn)A( 0, b )和B(a,0)的直線與原點(diǎn)的距 73 離為 ，

41、直線y=kx+m (k 2 0,m 0)與該雙曲線交于不同兩點(diǎn) C、D，且C、D兩點(diǎn)都在以 A為圓心的同一圓 上，求m的取值范圍。 2 e 錯(cuò)解由已知，有 ab a2 b2 4 3 -解之得：a2 3,b2 2 2 x 1所以雙曲線方程為一 y2 1 2 2 把直線y=kx+m代入雙曲線方程，并整理得：(1 3k )x 2 6kmx 3m 30 所以m2 1 3k20(1) 設(shè)CD中點(diǎn)為P(Xo,yo)，則AP CD，且易知：Xo 3km 3k 2，yo m 1 3k2 所以kAP m 2 1 3k2 3km 2 3k 4m 1 1 3k2 剖析 2 將式代入(1)式得m 4m 0解得m4或m

42、 0 故所求m的范圍是m (,0)(4,) 將k2 上述錯(cuò)解，在于在減元過程中， 4m 1 代入(1)式時(shí)，m受k的制約。 3 忽視了元素之間的制約關(guān)系, 因?yàn)?k2 例題 14 橢圓中心是坐標(biāo)原點(diǎn), 長(zhǎng)軸在x軸上, 離心率e 三，已知點(diǎn) 2 3 P( 0 -) 2 到橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離是 7， 1 0所以m故所求m的范圍應(yīng)為 m4或 4 求這個(gè)橢圓的方程。 錯(cuò)解設(shè)所求橢圓方程為 2 X 2 a b 0) 因?yàn)? a 2 2 a c 2 a 所以 a=2b 2 于是橢圓方程為二 4b 2 y b2 設(shè)橢圓上點(diǎn) M (x,y)到點(diǎn) P(0,2) 的距離為d, 2 則：d 23 2 x2 (y -

43、)2 2 4b (1 2 白) 3y 91 4 勢(shì)-)4b 3 所以當(dāng) 2時(shí)，有 d2 2 max 4b 3 7,b x2 所以所求橢圓方程為4 y2 1 剖析 2 x 由橢圓方程 ： a 2 y 2 1(a b b2 0)得 由式知d 2是y的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為y 上述錯(cuò)解在于沒有就對(duì)稱軸在區(qū)間b,b內(nèi)或外進(jìn)行分類, 1 2 2 其正解應(yīng)對(duì)f(y)=3( y ) 4b3的最值情況進(jìn)行討論: 2 (1)當(dāng) b 1 即b 丄時(shí) d 2 maxf () 4b2 3=7 b 1,方程為 2 x2彳 y 1 2 2 2 4 1 1 , 2 _31. 1 (2)當(dāng) b, 即b 時(shí)， d maxf (

44、b) 7 b7，與 b矛盾。 2 2 2 2 2 綜上所述，所求橢圓方程為 2 例題15已知雙曲線x2 2 1,問過點(diǎn)A （1, 1）能否作直線I ,使l與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，并且A為線段 PQ的中點(diǎn)？若存在，求出直線 I的方程，若不存在，說明理由。 錯(cuò)解 設(shè)符合題意的直線I存在，并設(shè)P（xX2 ）、 QX, y2) 2 X1 則 2 X2 2 2 2 2 (1) (2)得(X1 1 X2)(X1X2)尹1y2)(y1 y2) (3) 因?yàn)锳 X1 （1,1）為線段PQ的中點(diǎn)，所以 y1 X2 y2 將、 代入（3）得X1X2 1 尹1 y2) 若X1 X2，則直線I的斜率k 力 y22 X

45、-Ix2 所以符合題設(shè)條件的直線I存在。 其方程為2x 剖析 在（3）式成立的前提下，由（4）、（ 5）兩式可推出（6）式，但由（6）式不能推出（4）（5）兩式，故應(yīng)對(duì)所求 直線進(jìn)行檢驗(yàn)，上述錯(cuò)解沒有做到這一點(diǎn)，故是錯(cuò)誤的。 應(yīng)在上述解題的基礎(chǔ)上，再由 x2 2x 2 y 2 1 得2x2 4x 30 根據(jù) 1 80,說明所求直線不存在。 例題16已知橢圓C : （X 1） 4 1，F(xiàn)為它的右焦點(diǎn)，直線I過原點(diǎn)交橢圓 C于A、B兩點(diǎn)。求|FA| I FB| 是否存在最大值或最小值？若不存在，說明理由。 錯(cuò)解 設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（XA,yA）、（xb , yB） 因?yàn)閍24,b23 所以c

46、.a2 2 a 4 c I FA I 又橢圓中心為（1,0）,右準(zhǔn)線方程為x=5，所以L 5 Xa 即 | FA | 1 (5 xA)同理 | FB | -(5 2 2 Xb) 所以 |FA | | FB | 丄25 5(Xa Xb) XaXb (1) 4 設(shè)直線I的方程為y=kx，代入橢圓方程得（3 4k2）x2 6x 9 0 所以XaXb 眾） 691 2,XaXb2 代入(1)式得 I FA | | FB |(25 3 4k3 4k4 所以3 | FA | | FB |25，所以| FA | FB |有最小值3,無最大值。 l的斜率不存在時(shí), 4 剖析 上述錯(cuò)解過程忽視了過原點(diǎn)斜率不存在

47、的直線，當(dāng) 5 25 所以| FA | FB有最小值為3,最大值為25/4 24 5 有 | FA | | FB |5 2 課后練習(xí)題 1、圓 2 2 x + 2x + y + 4y -=0上到直線x + y + 1 = 0的距離等于 2的點(diǎn)共有（ A、 分析: 這里直線和圓相交, 2個(gè)C、 3個(gè) 很多同學(xué)受思維定勢(shì)的影響, 錯(cuò)誤地認(rèn)為圓在此直線的兩側(cè)各有兩點(diǎn)到直線的距離為 導(dǎo)致錯(cuò)選（ D )。 事實(shí)上，已知圓的方程為: (X +1)2 + (y+2) 2 = 8，這是 以（-1，-2）為圓心，以 2 2為半徑的圓，圓的圓心到直 線x + y + 1 = 0的距離 1 、2 為 d= 2 這樣

48、只需畫出（x +1）2 + （y+2） 2 = 8 Y C O A B x+y=1 和直線x + y + 1 = 0以及和x + y + 1 = 0的距離為 2的平行直線即可。 如圖2所示，圖中三個(gè)點(diǎn) A、B、C為所求，故應(yīng)選（C）。 2 2 2 2、過定點(diǎn)（1, 2）作兩直線與圓x y kx 2y k 15 0相切，則k的取值范圍是 A k2 B -3k2 C k2 D 以上皆不對(duì) 解答：D易錯(cuò)原因: 忽略題中方程必須是圓的方程，有些學(xué)生不考慮 D2 E2 4F 0 1(a b 0）的半焦距為C,直線L過（a,0）,（0, b）兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線L的距離為2， 4 則雙曲線的離心率為 解

49、答：D 易錯(cuò)原因：忽略條件 a b 0對(duì)離心率范圍的限制。 4、已知二面角 的平面角為 ，PA ， PB ，A，B為垂足，且PA=4, PB=5,設(shè)A、B到二面角的 / V 7 3 O X A 解 答: 5、若曲線y x, y的關(guān)系式，而未考慮實(shí)際問題中 D易錯(cuò)原因：只注意尋找 、.x2 4與直線y k(x 2) +3有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) x, y的范圍。 k的取值范圍是 x24轉(zhuǎn)化為 解 答: C 易錯(cuò)原因：將曲線y 且與漸近線y x平行的直線與雙曲線的位置關(guān)系。 y24時(shí)不考慮縱坐標(biāo)的范圍；另外沒有看清過點(diǎn)(2,-3) 6、已知圓x 3 2 +y2 =4和 直線y=mx的交點(diǎn)分別為

50、P、 Q兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn), 則丨0P ! 2 A 1+m OQI =() 5 B2 C 5 1 m2 10 正確答案：C 錯(cuò)因：學(xué)生不能結(jié)合初中學(xué)過的切割線定I 0P | ! OQI等于切線長(zhǎng)的平方來解題。 x2 7、雙曲線一 9 8、已知 是三角形的一個(gè)內(nèi)角, A 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 C焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 正確答案：D錯(cuò)因：學(xué)生不能由 sin 9、過拋物線的焦點(diǎn) 行線交拋物線于 A 共圓 正確答案：B 1 sin +cos = 則方程 x2 sin y 2 cos 5 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 1 =判斷角 5 分別交準(zhǔn)線于 =1表示( +COS 為鈍角。 F作互相垂直的

51、兩條直線， M、N兩點(diǎn)，則M、N、F三點(diǎn) 共線 C在另一條拋物線上 P、Q兩點(diǎn)，又過P、 Q分別作拋物線對(duì)稱軸 OF的平 B 錯(cuò)因：學(xué)生不能結(jié)合圖形靈活應(yīng)用圓錐曲線的第二定義分析問題。 分布無規(guī)律 2 匚=1中，被點(diǎn)P(2,1)平分的弦所在直線方程是( 4 A 8x-9y=7 B 8x+9y=25 C 4x-9y=16 D不存在 正確答案：D錯(cuò)因：學(xué)生用“點(diǎn)差法”求出直線方程沒有用“”驗(yàn)證直線的存在性。 10、已知實(shí)數(shù)x, y滿足3x2+2y2=6x,貝U x2+y2的最大值是() 9 A、B、4C 5D、2 2 正確答案：B錯(cuò)誤原因：忽視了條件中x的取值范圍而導(dǎo)致出錯(cuò)。 11、 過點(diǎn)(0,1

52、)作直線，使它與拋物線y2 4x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有() A.1條 B.2 條 C. 3 條 D. 0 條 正確答案： C錯(cuò)解：設(shè)直線的方程為 y kx 1，聯(lián)立 y4x ，得kx 1 2 4x, y kx 1 即：k2x2（2k4）x 10，再由= 0,得 k=1,得答案 A. k=0的情形丟掉了，故本題 剖析：本題的解法有兩個(gè)問題，一是將斜率不存在的情況考慮漏掉了，另外又將斜率 應(yīng)有三解，即直線有三條。 |3x 4y 11|，則P點(diǎn)的軌跡是 12、已知?jiǎng)狱c(diǎn) P(x,y)滿足 5 (x 1)2 (y 2)2 A、直線B、拋物線C 、雙曲線 D 、橢圓 正確答案：A錯(cuò)因：利用圓錐曲線的

53、定義解題，忽視了（1，2）點(diǎn)就在直線3x+4y-11=0上。 13、 在直角坐標(biāo)系中，方程x y 1 3 2x x2y0所表示的曲線為（） A. 條直線和一個(gè)圓B. 條線段和一個(gè)圓 C. 一條直線和半個(gè)圓D. 條線段和半個(gè)圓 正確答案：D錯(cuò)因：忽視定義取值。 2 x2 14、 設(shè)F1和F2為雙曲線y 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上且滿足F1PF2 90，則 4 F1PF 2的面積是（）。A.1 2 、 5 B. 2 C. 2 D.:眉5 正解：A x2 y21 a 2,C 4 5 IIPF1 | I PF2 II 4 I PF1 |2 2|PF1 |PF2 | IPF2I2 16 又 F1PF2

54、90| PF1 I2 I PF2 I2 2 (2.5)2 聯(lián)立解得I PF1 | PF2 I 2S F1PF21 誤解：未將| PF1 | | PF2 | 4兩邊平方，再與聯(lián)立，直接求出| PF1 | PF2 |。 M ( X0, y), 15、已知對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的漸近線方程為 使a | y0 | b | x0 |，那雙曲線的交點(diǎn)（ b y x, （a 0, b 0），若雙曲線上有一點(diǎn) a ）。 D當(dāng)a b時(shí)在y軸上 A.在x軸上B.在y軸上 C.當(dāng) a b時(shí)在x軸上 正解：B。由ay。 b x0得址 ，可設(shè) X。0, y0 a 0 ,此時(shí)OM的斜率大于漸近線的斜率, 由圖像的性 質(zhì)，

55、可知焦點(diǎn)在y軸上。所以選B。 2 2 誤解：設(shè)雙曲線方程為 務(wù) 7 a b ,“小,2222 ，化簡(jiǎn)得：b x a y 2 2, 2 22 2 a b ,代入(x, y), b X。a b 2 2,22 ay。b X。, 0, 焦點(diǎn)在x軸上。這個(gè)方法沒錯(cuò)，但確定有誤，應(yīng) 誤解：選B,沒有分組。 0 , 焦點(diǎn)在y軸上。 16、與圓 x2 (y 5)2 3相切，且縱截距和橫截距相等的直線共有（ A、 答案：C 2條 錯(cuò)解: B、 3條C、4條D、6條 錯(cuò)因：忽略過原點(diǎn)的圓 C的兩條切線 17、若雙曲線X 1的右支上一點(diǎn) P （a,b）直線y=x的距離為.2，則a+b的值是（ A、 B、 C、 D、

56、 答案: 錯(cuò)解：C 錯(cuò)因：沒有挖掘出隱含條件 18、雙曲線 2 J 1中，被點(diǎn)P （2, 1）平分的弦所在的直線方程為（ 4 A、8x 9y 7B、8x 9y 25 C、 4x 9y 6 D、不存在 答案：D 錯(cuò)解：A 錯(cuò)因：沒有檢驗(yàn)出 8x 9y 7與雙曲線無交點(diǎn)。 4x 19、過函數(shù)y=- x y2=8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)共有（ 9 的圖象的對(duì)稱中心，且和拋物線 2 A、1條B、2條C、3條 正確答案：（B）錯(cuò)誤原因：解本題時(shí)極易忽視中心（ 線對(duì)稱軸的直線和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)。 D、不存在 2，4）在拋物線上，切線只有 1條，又易忽視平行于拋物 2 2 20、雙曲線x 1上的

57、點(diǎn)P到點(diǎn)（5,0）的距離為 169 8.5，則點(diǎn) P到點(diǎn)（5,0 ）的距離 錯(cuò)解 設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為片（5,0） ,F2（5,0）, 由雙曲線定義知IIPFj |PF2| 8 所以 |PF1 | 16.5或 |PF1 | 0.5 剖析由題意知，雙曲線左支上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最短距離為 1,所以PF15不合題意，事實(shí)上，在求解此 類問題時(shí)，應(yīng)靈活運(yùn)用雙曲線定義，分析出點(diǎn) P的存在情況, 然后再求解。如本題中，因左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離 為98.5,故點(diǎn)P只能在右支上，所求 PF1 16.5 21、一雙曲線與橢圓 2 x 27 2 L 1有共同焦點(diǎn), 36 并且與其中一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,則這個(gè)雙曲

58、線的方程為 x2 正解：-一 5 又由題意知 2 y 4 22 1 x215 2736 4，設(shè)雙曲線的方程為 x2 k 15 k 27 27 y 2 1(27 k 36) 36 k 42 36 k 1 k 32故所求雙曲線方程為5 誤解：不注意焦點(diǎn)在y軸上，出現(xiàn)錯(cuò)誤。 2 22、過雙曲線X2 2 1的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于 A、B兩點(diǎn)，且 AB 4，則這樣的直線有 條。 錯(cuò)解：2錯(cuò)因：設(shè)y k（x 、.3）代入橢圓的方程算出有兩條，當(dāng)k不存在，即直線 AB x軸時(shí)，丨AB |= 4, 忽視此種情況。正解: 23、一動(dòng)點(diǎn)到定直線 1 一 x=3的距離是它到定點(diǎn) F(4，0)的距離的比是，則動(dòng)點(diǎn)軌

59、道方程為 2 8 2 (x 3)2 答案：L 4 9 2 錯(cuò)解：由題意有動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，又F(4, 0),所以c=4,又準(zhǔn)線x=3所以 3,a2 12,b2 4，故 c 2 雙曲線方程為 12 錯(cuò)因: 沒有明確曲線的中心位置，而套用標(biāo)準(zhǔn)方程。 2 24、經(jīng)過雙曲線X 2 y 1的右焦點(diǎn) 3 F2作傾斜角為 30的弦AB,則 Fi AB的周長(zhǎng)為 答案：設(shè)A(xi, yi), B(x2, y2)其中人 0,X2 0,a 1,e 2,則 AF1a 2x1 1, BF1 (2X21)， 所以AF1 BF1 2(Xi X2)，將弦AB的方程 (X 2)代入雙曲線方程, 3 整理得8x 4x 1 13

60、 0,所以 X1 X2,X1X2 2 匹,則AB 8 可求得 Xi X2 沁，故答案為3 3-.3 2 錯(cuò)解：10 錯(cuò)因：作圖錯(cuò)誤, 沒有考慮傾斜角為 30 的直線與漸近線的關(guān)系， 而誤將直線作成與右支有兩交點(diǎn)。 25、如果不論實(shí)數(shù)b取何值, 直線y kx b與雙曲線x2 2y2 1總有公共點(diǎn)，那么k的取值范圍為 答案：( 錯(cuò)因：沒考慮b=0時(shí)，直線不能與漸近線平行。 26、雙曲線9 16 =1上有一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為 普,則P到右焦點(diǎn)的距離為 錯(cuò)解：設(shè)F1、F2分別為由雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則由雙曲線的方程為29 2 =1，易求得a=3,c=5從而離心 率e = 3 ,再由第二定義，易求|P