高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)資料圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程

1、第 51 講圓的方程第 51 講圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程要點(diǎn)梳理一、圓的方程的三種形式(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x a)2(y b)2 r2，方程表示圓心為 (a，b)，半徑為 r 的圓(2)圓的一般方程：對(duì)于方程 x2y2DxEyF0 當(dāng) D2E24F0 時(shí)，表示圓心為DE1D2E24F的圓；( 2，2)，半徑為 2當(dāng) D2E24F0 時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)DE( 2，2)；當(dāng) D2E24F0 時(shí)，它不表示任何圖形(3)以 A(x1，y1)，B(x2， y2)為直徑的兩端點(diǎn)的圓的方程為(x x1)(x x2)(y y1)(yy2)0.考點(diǎn)剖析用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接求圓方程【例 1】(2015 北京文 2)圓心

2、為 (1,1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是 ()A.(x 1)2 (y1)2 1 B.(x1)2(y1)21 C.(x 1)2 (y1)2 2 D.(x1)2(y1)22【解析】 圓的半徑 r 12 12 2， 圓的方程為 (x1)2(y 1)22.答案 D【拓展練習(xí)】 1.(2016 浙江文 10)已知 a R，方程 a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圓，則圓心坐標(biāo)是 _.半徑是 _.【解析】 由已知方程表示圓，則 a2 a 2，解得 a2 或 a 1.當(dāng) a 2 時(shí)，方程不滿足表示圓的條件，故舍去 .當(dāng) a 1 時(shí)，原方程為 x2y2 4x8y5 0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x 2)2 (y 4)

3、225，表示以 (2， 4)為圓心，半徑為 5 的圓 .2.(2015 江蘇文 10)在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，以點(diǎn) (1,0)為圓心且與直線 mxy 2m 1 0(m R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _.【解析】直線 mx y 2m 1 0 恒過(guò)定點(diǎn) (2， 1)，由題意，得半徑最大的圓的半徑r二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (xa)2(yb)2r 2，圓心 A(a，b)，半徑 r .若點(diǎn) M(x0，y0)在圓上，則(x0a)2 (y0b)2r2；若點(diǎn) M(x0， y0)在圓外，則(x0a)2 (y0b)2r2；若點(diǎn) M(x0， y0)在圓內(nèi)，則(x0a)2 (y0b)2

4、r2.三、在求圓的方程時(shí)，常用到圓的以下幾個(gè)性質(zhì)：圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；圓心在任一弦的中垂線上；兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線（12）2（ 01）2 2.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x1)2y2 2.待定系數(shù)法求圓方程(1) 確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法如果選擇標(biāo)準(zhǔn)方程，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，盡量利用圓的 幾何性質(zhì) ，可以大大地減少計(jì)算量(2)如果已知條件中圓心的位置不能確定，可考慮選擇圓的一般方程，圓的一般方程也含有三個(gè)獨(dú)立的參數(shù)，因此，必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件，才能確定圓的一般方程，其方法 2y2DxEy F 0，由三個(gè)條件得到關(guān)于 D、E、F 的一個(gè)三元一次方程組，解方

5、程組，求出參數(shù) D、E、F 的值即可【例 2】 (2015 廣東深圳模擬 11)圓心在直線- 1 -“功夫”文科第一輪復(fù)習(xí)資料x(chóng) 2y30 上，且過(guò)點(diǎn) A(2， 3)，B( 2， 5)的圓的方程為 _【解析】 設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r 2，由題意得(2 a)2( 3 b)2r 2,a1,( 2 a) 2( 5 b)2r 2 , 解得b2,a 2b 30.r 210.故所求圓的方程為 (x1)2(y2)210.【拓展練習(xí)】 3.圓心在直線 y 4x 上，且與直線 l：xy10 相切于點(diǎn) P(3， 2)的圓方程為?！窘馕觥吭O(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2 (y b)2r 2，b 4a，

6、(3 a)2 (2b)2r 2，則有|a b1| r，2a1，解得b 4，r 22. 圓的方程為 (x 1)2 4)28.(y圓性質(zhì)【 例3】（2013重慶文 4）設(shè) P是圓( x 3)2( y 1)24上的動(dòng)點(diǎn)，Q 是直線x 3上的動(dòng)點(diǎn)，則 PQ 的最小值為()A. 6B.4C. 3D.2【解題指南】 PQ 的最小值為圓心到直線的距離減去圓的半徑 .【解析】PQ 的最小值為圓心到直線的距離減去圓的半徑 .圓心 (3, 1)到直線 x3的距離為6 ,半徑為 2 ,所以 PQ 的最小值為62 4 .5)圓(x1)2y2【拓展練習(xí)】 4.(2016 北京文2 的圓心到直線 yx3 的距離為 ()A

7、.1B.2C.2 D.22【解析】圓 (x1)2y22 的圓心坐標(biāo)為 (1，0)，由 yx 3 得 x y 3 0，則圓心到直線的距離 d | 1 0 3| 2.答案 C 12 ( 1)2與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題【規(guī)律方法】： 求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：1.直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；2. 定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；3. 幾何法，利用圓與圓的幾何性質(zhì)列方程；4. 代入法，找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等【例 4】（2009 上海文 17）點(diǎn) P（4， 2）與圓 x2y24 上任一點(diǎn)連續(xù)的中點(diǎn)軌跡方程是（）A. ( x 2)2( y

8、 1)21 B. ( x 2) 2( y 1)24C. (x 4)2( y2) 24 D. (x 2)2( y 1)21【解析】設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q（s，t），PQ 的中4 sx點(diǎn)為 A （ x， y），則2，解得：2ty2s2x4， 代 入圓 方程 ， 得t2 y222（2x4）（2 y2）4 ，整理，得： ( x2)2( y 1)21 【答案】 A【拓展練習(xí)】 5. (2013 課標(biāo)全國(guó) 改 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知圓 P 在 x 軸上截得線段長(zhǎng)為 22，在 y 軸上截得線段長(zhǎng)為23.(1)求圓心 P 的軌跡方程；【解析】(1)設(shè) P(x，y)，圓 P 的半徑為 r.則 y22r

9、2， x23r2. y22x23，即 y2x2 1. P 點(diǎn)的軌跡方程為 y2 x21.考點(diǎn)練習(xí)1方程 y9x2表示的曲線是 ()A 一條射線B一個(gè)圓- 2 -C兩條射線D半個(gè)圓2【解析】由 y9x ，得 x2 y29(y0)方程 y9x2表示半個(gè)圓2（2010 全國(guó)理）圓心在原點(diǎn)且與直線xy20 相切的圓的方程為 _【解析】 由題意可知，原點(diǎn)到直線 x y2 0的距離為圓的半徑，即 r |002| 2， 2所以圓的方程為x2y22.3.（2009 重慶文 1）圓心在 y 軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)（ 1，2）的圓的方程為（）A x2( y 2) 21B x2( y 2)21C ( x 1)2(

10、y 3)21 D x2( y 3)21【解析】 設(shè)圓心坐標(biāo)為(0, b) ，則由題意知( o 1)2(b2)12 ，故圓的方，解得 b程為 x2( y2)21。4（2010 廣東理）已知圓心在 x 軸上，半徑為 2的圓 O 位于 y 軸左側(cè)，且與直線 x y 0 相切，則圓 O 的方程是 _|a|【解析】 設(shè)圓心為 (a,0)(a24.點(diǎn) P 在圓外7 （2009 廣東文 13）以點(diǎn)（ 2，1）為圓心第 51 講 圓的方程且 與 直 線 x y 6 相 切 的 圓 的 方 程是.【解析】將直線 xy 6化為 xy 60 ,圓的半徑 r| 2 16 |5,112所以圓的方程為 ( x2) 2(

11、y 1)225.若28.(2014 山東 )圓心在直線 x2y 0 上的圓 C與 y 軸的正半軸相切，圓 C 截 x 軸所得弦的長(zhǎng)為 2 3，則圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)【解析】設(shè)圓 C 的圓心為 (a，b)(b0)，由題意得 a2b0，且 a2(3)2 b2，解得 a 2， b 1.所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x2)2(y1)24.9.(2014 山東文 14)圓心在直線 x2y 0 上的圓 C 與 y 軸的正半軸相切，圓 C 截 x 軸所得弦的長(zhǎng)為 2 3，則圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為 (a，b)，半徑為 r.由已知a 2b0，又圓心 (a，b)到 y 軸、x 軸的距b0，離分別為

12、 |a|，|b|，所以 |a|r ，|b|2 3 r2.綜上，解得 a 2， b 1， r2，所以圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x2)2(y 1)24.10.（ 2011遼寧文 13）已知圓 C 經(jīng)過(guò) A （5，1），B（ 1，3）兩點(diǎn)，圓心在 x 軸上，則圓 C 的方程為 _【思路點(diǎn)撥】可設(shè)圓心坐標(biāo)C ( x,0) ，利用CACB ，求出圓心和半徑，再寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【 解 析 】 設(shè) C ( x,0) ， 由 CACB ， 得(x5)21(x1)29 ，解得 x2 rCA10 ，圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ( x2) 2y210 11 (2016 石家莊質(zhì)量檢測(cè))若圓 (x 5)2 (y1)2r 2(

13、r0)上有且僅有兩點(diǎn)到直線4x3y- 3 -“功夫”文科第一輪復(fù)習(xí)資料20 的距離等于 1，則實(shí)數(shù) r 的取值范圍為()A.4 ， 6B.(4，6)C.5， 7D.(5， 7)【解析】用圓的幾何性質(zhì)求解.因?yàn)閳A心 (5，|2032|1)到直線4x3y 2 0 的距離為55，又圓上有且僅有兩點(diǎn)到直線 4x3y20 的距離為 1，則 4r0，即 a5. 又圓關(guān)于直線 y2x b 成軸對(duì)稱，2 2b，b4.aba41.14.已知圓 M 的圓心 M(3,4)和三個(gè)點(diǎn)A(1,1)， B(1,0)，C(2,3)，求圓 M 的方程使 A， B， C 三點(diǎn)一個(gè)在圓內(nèi)，一個(gè)在圓上，一個(gè)在圓外【解析】|MA|12

14、25，|MB|22 25，|MC| 2226，2 |MB|MA|MC|.點(diǎn) B 在圓內(nèi)，點(diǎn) A 在圓上，點(diǎn) C 在圓外，22則圓的方程為 (x 3) (y 4) 25.2 215(2016 浙江文 10)已知 aR，方程a x (a 2)y24x8y5a 0 表示圓，則圓心坐標(biāo)是 _.半徑是 _.【解析】 由已知方程表示圓，則 a2 a 2，解得 a2 或 a 1.當(dāng) a2 時(shí)，方程不滿足表示圓的條件，故舍去 .當(dāng) a 1 時(shí)，原方程為x2 y24x 8y5 0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x 2)2 (y 4)225，表示以 ( 2， 4)為圓心，半徑為 5 的圓 .16(2009 年高考上海卷改編 ) 點(diǎn) P(4， 2) 與圓 x2 y24 上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方程是 _2【解析】設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為 (x0，y0)，則 x0 y02 4，連線中點(diǎn)坐標(biāo)為 (x，y)，則04，2x x?02，2y yx02x4，代y02y2，2222入 x0y0 4中得 (x 2) (y 1) 1.17.(2014 陜西 )若圓 C 的半徑為 1，其圓心與點(diǎn) (1