2020_2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章復(fù)數(shù)7.2.2復(fù)數(shù)的乘除運算素養(yǎng)課件新人教A版必修第二冊

1、7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運算 【情境探究【情境探究】 1.1.回顧二項式乘法運算回顧二項式乘法運算, ,類比復(fù)數(shù)的乘法運算類比復(fù)數(shù)的乘法運算: : (1)(1)設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di=c+di, ,其中其中,a,b,c,dR,a,b,c,dR, ,則則z z1 1z z2 2= _.= _. (2)z(2)z1 1 =_. =_. (3) =_.(3) =_. 必備知識生成必備知識生成 1 z 2 1 z (ac-bd)+(ad+bc)i(ac-bd)+(ad+bc)i a a2 2+b+b2 2 a a2 2-b-b2 2+2abi+2abi 2.

2、2.復(fù)數(shù)的除法運算與乘法運算有什么聯(lián)系復(fù)數(shù)的除法運算與乘法運算有什么聯(lián)系? ?怎樣由復(fù)數(shù)的乘法運算進(jìn)行復(fù)數(shù)的怎樣由復(fù)數(shù)的乘法運算進(jìn)行復(fù)數(shù)的 除法運算除法運算? ? 提示提示: :復(fù)數(shù)的除法運算與乘法運算互為逆運算復(fù)數(shù)的除法運算與乘法運算互為逆運算, ,可以由復(fù)數(shù)的乘法運算法則得到可以由復(fù)數(shù)的乘法運算法則得到 除法運算法則除法運算法則, ,即即 =z=zz z1 1=zz=zz2 2. .設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)a+bia+bi除以非零復(fù)數(shù)除以非零復(fù)數(shù)c+dic+di的商為的商為x+yix+yi, ,即即 x+yix+yi= ,= ,等價于等價于(x+yi)(c+di)=a+bi(x+yi)(c+di)=a

3、+bi, ,通過相等復(fù)數(shù)解方程可得通過相等復(fù)數(shù)解方程可得, ,即即(xc(xc-yd)-yd) +(xd+yc)i=a+bi+(xd+yc)i=a+bi, ,所以所以 消去消去y,y,解得解得x= x= ，同理消去，同理消去x,x,解得解得 y= .y= .所以所以 = + i(c+di0).= + i(c+di0). 1 2 z z abi cdi xcyda, xdycb, 22 acbd cd 22 bcad cd abi cdi 22 acbd cd 22 bcad cd 【知識生成【知識生成】 1.1.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則 已知已知z z1 1=a+bi,z=

4、a+bi,z2 2=c+di,a,b,c,dR=c+di,a,b,c,dR, ,則則z z1 1z z2 2=(a+bi)(c+di=(a+bi)(c+di)=_.)=_. 2.2.復(fù)數(shù)乘法的運算律復(fù)數(shù)乘法的運算律 運算律運算律恒等式恒等式 交換律交換律z z1 1z z2 2=_=_ 結(jié)合律結(jié)合律(z(z1 1z z2 2)z)z3 3= _= _ 分配律分配律z z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)=z1 1z z2 2+z+z1 1z z3 3 (ac-bd)+(ad+bc)i(ac-bd)+(ad+bc)i z z2 2z z1 1 z z1 1(z(z2 2z z3 3) )

5、 3.3.復(fù)數(shù)的除法運算復(fù)數(shù)的除法運算( (分母實數(shù)化分母實數(shù)化) ) = = + = = + i(a,b,c,dRi(a,b,c,dR, ,且且c+di0).c+di0). abi cdi abi cdi cdi cdi ( )() ( )() 22 acbd cd 22 bcad cd 關(guān)鍵能力探究關(guān)鍵能力探究 探究點一復(fù)數(shù)的乘法運算探究點一復(fù)數(shù)的乘法運算 【典例【典例1 1】1.(20201.(2020江蘇高考江蘇高考) )已知已知i i是虛數(shù)單位是虛數(shù)單位, ,則復(fù)數(shù)則復(fù)數(shù)z= z= 的實部是的實部是 _._. 2.2.計算計算:(1+2i)(2-i):(1+2i)(2-i)2 2(1

6、-2i).(1-2i). 【思維導(dǎo)引【思維導(dǎo)引】1.1.利用復(fù)數(shù)的乘法運算結(jié)果判斷利用復(fù)數(shù)的乘法運算結(jié)果判斷. . 2.2.利用復(fù)數(shù)的乘法運算法則進(jìn)行計算利用復(fù)數(shù)的乘法運算法則進(jìn)行計算. . (1 i)(2i) 【解析【解析】1.z= =3+i,1.z= =3+i,則實部為則實部為3.3. 答案答案: :3 3 2.(1+2i)(2-i)2.(1+2i)(2-i)2 2(1-2i)=(1+2i)(1-2i)(2-i)(1-2i)=(1+2i)(1-2i)(2-i)2 2=5=5(3-4i)=15-20i.(3-4i)=15-20i. (1 i)(2i) 【類題通法【類題通法】復(fù)數(shù)乘法運算的注意

7、事項復(fù)數(shù)乘法運算的注意事項 (1)(1)復(fù)數(shù)的乘法運算與二項式乘二項式類似復(fù)數(shù)的乘法運算與二項式乘二項式類似, ,展開后化簡即可展開后化簡即可, ,注意注意i i2 2=-1=-1的應(yīng)用的應(yīng)用. . (2)(2)多個復(fù)數(shù)的乘法運算多個復(fù)數(shù)的乘法運算, ,可以利用加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡便運算可以利用加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡便運算, ,注意兩注意兩 個共軛復(fù)數(shù)的積是實數(shù)個共軛復(fù)數(shù)的積是實數(shù). . 提醒提醒: :靈活運用靈活運用“平方差公式平方差公式”“”“完全平方公式完全平方公式”解析復(fù)數(shù)乘法計算解析復(fù)數(shù)乘法計算. . 復(fù)數(shù)的減法不滿足交換律和結(jié)合律復(fù)數(shù)的減法不滿足交換律和結(jié)合律. . 1.1.

8、復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=(1+bi)(2+i)z=(1+bi)(2+i)是純虛數(shù)是純虛數(shù), ,則實數(shù)則實數(shù)b=b=( () ) A.-2A.-2B.- B.- C. C. D.2D.2 【解析【解析】選選D.D.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)iz=(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i是純虛數(shù)是純虛數(shù), ,則實數(shù)則實數(shù)b=2.b=2. 1 2 1 2 2.2.計算計算: : 【解析【解析】方法一方法一: : 133131 (i)(i)(i). 222222 133131 (i)(i)(i) 222222 333131 () (i)(i) 444422 22 313

9、3113 (i)iii. 2242422 方法二方法二: : 133131 (i)(i)(i) 222222 133131 (i)(i)(i) 222222 2 1331 (i)(i ) 2244 1313 (i)i. 2222 探究點二復(fù)數(shù)的除法運算探究點二復(fù)數(shù)的除法運算 【典例【典例2 2】1.(20191.(2019全國卷全國卷)設(shè)設(shè)z= ,z= ,則則|z|=|z|=( () ) A.2A.2B. B. C. C. D.1D.1 2.2.計算計算:(1+i):(1+i)(1+i)(1+i)(2-i).(2-i). 【思維導(dǎo)引【思維導(dǎo)引】1.1.通過復(fù)數(shù)的除法運算化簡結(jié)果再計算復(fù)數(shù)的模通

10、過復(fù)數(shù)的除法運算化簡結(jié)果再計算復(fù)數(shù)的模. . 2.2.先對括號內(nèi)的復(fù)數(shù)進(jìn)行計算先對括號內(nèi)的復(fù)數(shù)進(jìn)行計算, ,再進(jìn)行復(fù)數(shù)乘法運算再進(jìn)行復(fù)數(shù)乘法運算. . 3i 12i 3 2 【解析【解析】1.1.選選C.C.因為因為z=z= 所以所以z= = - i,z= = - i, 所以所以|z|= |z|= 故選故選C. C. 3i 12i 3i 1 2i 12i 1 2i ()() ()() 1 5 7 5 22 17 ( )()2 55 2.2.方法一方法一: :因為因為 所以所以所以所以(1+i)(1+i)(1+i)(1+i)(2-i)=(1+i)(2-i)=(1+i) =(1+i)=(1+i)

11、= = = = =2-i.=2-i. 方法二方法二:(1+i):(1+i)(1+i)(1+i)(2-i)=(1+i)(2-i)=(1+i) =(1+i) =(1+i) =2-i. =2-i. 1i(1i)(2i)13i13 i 2i(2i)(2i)555 ， 1i 2i 13 (i) 55 13 (1 i)(i) 55 1313 (i)(i) 5555 42 i 55 19 2525 2i 1i 1i 2i 【類題通法【類題通法】復(fù)數(shù)除法運算的注意事項復(fù)數(shù)除法運算的注意事項 (1)(1)將復(fù)數(shù)的除法運算轉(zhuǎn)化為將復(fù)數(shù)的除法運算轉(zhuǎn)化為“分式分式”的形式的形式, ,再分子分母同乘以分母的再分子分母同

12、乘以分母的“共共 軛復(fù)數(shù)軛復(fù)數(shù)”計算計算. . (2)(2)多個復(fù)數(shù)的除法運算多個復(fù)數(shù)的除法運算, ,有括號先算括號內(nèi)的有括號先算括號內(nèi)的, ,沒有括號按照從左向右的順序沒有括號按照從左向右的順序 進(jìn)行計算進(jìn)行計算. . 提醒提醒: :復(fù)數(shù)的除法運算不滿足交換律和結(jié)合律復(fù)數(shù)的除法運算不滿足交換律和結(jié)合律. . 【定向訓(xùn)練【定向訓(xùn)練】 1.(20201.(2020新高考全國新高考全國卷卷) =) =( () ) A.1A.1B.-1B.-1 C.iC.iD.-iD.-i 【解析【解析】選選D.D. 2i 12i 2i(2i)(12i)24ii25i i. 12i12i (12i)12i (12i

13、)5 2.(20202.(2020全國全國卷卷) )復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 的虛部是的虛部是( () ) 【解析【解析】選選D.D.因為因為 所以復(fù)數(shù)所以復(fù)數(shù) 的虛部為的虛部為 1 1 3i 31 A. B. 1010 13 C. D. 1010 11 3i13 i 1 3i1 3i1 3i1010 ， （）（） 1 1 3i 3 . 10 探究點三復(fù)數(shù)乘方運算以及周期性探究點三復(fù)數(shù)乘方運算以及周期性 【典例【典例3 3】計算計算i+ii+i2 2+i+i3 3+ +i+i2 020 2 020=_. =_. 【思維導(dǎo)引【思維導(dǎo)引】計算計算i in n,nN,nN* *的值的值, ,明確周期性計算明確周期性

14、計算. . 【解析【解析】計算得計算得i+ii+i2 2+i+i3 3+i+i4 4=i-1-i+1=0,=i-1-i+1=0, i i5 5+i+i6 6+i+i7 7+i+i8 8=i=i4 4(i+i(i+i2 2+i+i3 3+i+i4 4)=0,)=0, 所以所以i+ii+i2 2+i+i3 3+ +i+i2 020 2 020=505 =5050=0.0=0. 答案答案: :0 0 【類題通法【類題通法】 i in n(nN(nN* *) )的周期性的周期性 計算復(fù)數(shù)的乘積要用到虛數(shù)單位計算復(fù)數(shù)的乘積要用到虛數(shù)單位i i的乘方的乘方,i,in n有如下性質(zhì)有如下性質(zhì):i:i1 1=

15、i,i=i,i2 2=-1,=-1, i i3 3=i=ii i2 2=-i,i=-i,i4 4=i=i3 3i=-ii=-i2 2=1,=1,從而對于任何從而對于任何nNnN* *, ,有有i i4n+1 4n+1=i =i4n 4n i=(ii=(i4 4) )n ni=i,i=i, 同理可證同理可證i i4n+2 4n+2=-1,i =-1,i4n+3 4n+3=-i,i =-i,i4n+4 4n+4=1, =1, 這就是說這就是說, ,如果如果nNnN* *, ,那么有那么有i i4n+1 4n+1=i,i =i,i4n+2 4n+2=-1,i =-1,i4n+3 4n+3=-i,i

16、=-i,i4n+4 4n+4=1. =1. 注意注意:(1):(1)上述公式中上述公式中, ,說明說明i in n(nN(nN* *) )具有周期性具有周期性, ,且最小正周期是且最小正周期是4.4. (2)n(2)n可推廣到整數(shù)集可推廣到整數(shù)集. . (3)4k(kZ)(3)4k(kZ)是是i in n(nN(nN* *) )的周期的周期. . 顯然顯然i in n+i+in+1 n+1+i +in+2 n+2+i +in+3 n+3=0(nN =0(nN* *).). 因為因為i in n(nN(nN* *) )具有周期性具有周期性, ,解題時要靈活運用解題時要靈活運用, ,或適當(dāng)變形或適

17、當(dāng)變形, ,創(chuàng)造條件轉(zhuǎn)化為創(chuàng)造條件轉(zhuǎn)化為i i 的計算的計算. .一般地一般地, ,有有(1(1i)i)2 2= =2i, =i, =-i.2i, =i, =-i. 1 i 1 i 1 i 1 i 【定向訓(xùn)練【定向訓(xùn)練】 已知已知w= w= 求證求證:w:w3 3=-1.=-1. 【證明【證明】方法一方法一: :由由w=w= 得得w w2 2= = = 所以所以w w3 3=w=w2 2w= w= =- - =-1.=- - =-1. 13 i 22 ， 2 13 (i) 22 13 i 22 ， 13 i 22 ， 13 (i) 22 13 (i) 22 3 4 1 4 方法二方法二: :由

18、于由于w= w= 要證要證w w3 3=-1,=-1,只需證只需證w w3 3+1=0,+1=0, 即證即證(w+1)(w(w+1)(w2 2-w+1)=0,-w+1)=0,即證即證w w2 2-w+1=0,-w+1=0, 即證即證w w2 2-w=w(w-1)=-1,-w=w(w-1)=-1, 因為因為w(w-1)= w(w-1)= = i= i2 2 - =-1, - =-1,所以得證所以得證. . 13 i 22 13 (i) 22 13 (i) 22 3 4 1 4 探究點四實系數(shù)一元二次方程的求根公式探究點四實系數(shù)一元二次方程的求根公式 【典例【典例4 4】已知關(guān)于已知關(guān)于x x的方

19、程的方程 其中其中a a、b b為實數(shù)為實數(shù). . (1)(1)若若x=1- ix=1- i是該方程的根是該方程的根, ,求求a a、b b的值的值; ; (2)(2)當(dāng)當(dāng)a0a0且且 時時, ,證明該方程沒有實數(shù)根證明該方程沒有實數(shù)根. . 【思維導(dǎo)引【思維導(dǎo)引】(1)(1)將將x=1- ix=1- i代入方程代入方程, ,利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求解利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求解. . (2)(2)將方程轉(zhuǎn)化為有理式將方程轉(zhuǎn)化為有理式, ,用判別式判斷用判別式判斷. . xb 1 ax ， 3 b1 a4 3 【解析【解析】(1)(1)將將 代入代入 化簡得化簡得 所以所以 解得解得a=b=2.

20、 a=b=2. (2)(2)原方程化為原方程化為x x2 2-ax+ab=0,-ax+ab=0,假設(shè)原方程有實數(shù)解假設(shè)原方程有實數(shù)解, ,那么那么=(-a)=(-a)2 2-4ab0,-4ab0,即即 a a2 24ab.4ab. 因為因為a0,a0,所以所以 , ,這與題設(shè)這與題設(shè) 相矛盾相矛盾. .故原方程無實數(shù)根故原方程無實數(shù)根. . x 13i xb 1 ax ， 1b33 ()(b)i1 a44a ， 1b 1 a4 33 b0 4a ， ， b a 1 4 b a 1 4 【類題通法【類題通法】實系數(shù)一元二次方程的求根公式實系數(shù)一元二次方程的求根公式 (1)(1)對于實系數(shù)一元二次

21、方程對于實系數(shù)一元二次方程axax2 2+bx+c=0,a,b,cR,a0,=b+bx+c=0,a,b,cR,a0,=b2 2-4ac,-4ac, 當(dāng)當(dāng)00時時, ,方程有兩個不相等的實數(shù)根方程有兩個不相等的實數(shù)根x x1,2 1,2= , = ,若這兩個根為二次根若這兩個根為二次根 式式, ,二者互為有理化因式二者互為有理化因式( (也叫共軛根式也叫共軛根式);); 當(dāng)當(dāng)=0=0時時, ,方程有兩個相等的實數(shù)根方程有兩個相等的實數(shù)根x x1,2 1,2=- ; =- ; 當(dāng)當(dāng)00時時, ,方程有兩個不相等的虛數(shù)根方程有兩個不相等的虛數(shù)根x x1,2 1,2= , = ,這兩個虛根互為共這兩個

22、虛根互為共 軛虛數(shù)軛虛數(shù). . b 2a b 2a bi 2a (2)(2)對于實系數(shù)一元二次方程對于實系數(shù)一元二次方程axax2 2+bx+c=0,a,b,cR,+bx+c=0,a,b,cR,設(shè)其兩個復(fù)數(shù)根分別為設(shè)其兩個復(fù)數(shù)根分別為 x x1, 1,x x2 2, ,根與系數(shù)的關(guān)系 根與系數(shù)的關(guān)系( (即韋達(dá)定理即韋達(dá)定理) )仍然成立仍然成立:x:x1 1+x+x2 2=- ,x=- ,x1 1x x2 2= .= . b a c a 【定向訓(xùn)練【定向訓(xùn)練】 1.1.解方程解方程x x2 2+2x+3=0.+2x+3=0. 【解析【解析】由方程由方程x x2 2+2x+3=0,+2x+3=

23、0,得得=b=b2 2-4ac=-8,-4ac=-8,所以方程的兩根為所以方程的兩根為x x1,2 1,2= = =-1 =-1 i. i. bi 2a 28i 2 2 2.2.已知一元二次方程已知一元二次方程x x2 2-ax+2a+1=0,aR-ax+2a+1=0,aR且且a0a0的一個根是的一個根是1+2i,1+2i,求求a a的值以及的值以及 另一個根另一個根. . 【解析【解析】方法一方法一: :因為一元二次方程因為一元二次方程x x2 2-ax+2a+1=0,aR-ax+2a+1=0,aR的一個根是的一個根是1+2i,1+2i, 則則(1+2i)(1+2i)2 2-a(1+2i)+

24、2a+1=0,-a(1+2i)+2a+1=0,得得(a-2)+(4-2a)i=0,(a-2)+(4-2a)i=0,所以所以a=2.a=2. 方程為方程為x x2 2-2x+5=0,=b-2x+5=0,=b2 2-4ac=-16,-4ac=-16,所以方程的兩根為所以方程的兩根為x x1,2 1,2= = =1=12i,2i,所以方程另一個根為所以方程另一個根為1-2i.1-2i. 方法二方法二: :因為一元二次方程因為一元二次方程x x2 2-ax+2a+1=0,aR-ax+2a+1=0,aR的一個根是的一個根是1+2i,1+2i,則另一個根為則另一個根為 1-2i,1-2i, 由根與系數(shù)的關(guān)

25、系由根與系數(shù)的關(guān)系, ,得得x x1 1+x+x2 2=a,=a,即即a=2.a=2. bi24i 2a2 1. 1. 復(fù)數(shù)的乘法運算復(fù)數(shù)的乘法運算 2. 2. 復(fù)數(shù)乘法的運算律復(fù)數(shù)乘法的運算律 3. 3. 復(fù)數(shù)的除法法則復(fù)數(shù)的除法法則 復(fù)復(fù) 數(shù)數(shù) 的的 乘乘 除除 運運 算算 1. 復(fù)數(shù)乘法與實數(shù)多項式乘法類似復(fù)數(shù)乘法與實數(shù)多項式乘法類似, ,在計算兩個復(fù)數(shù)的乘積時在計算兩個復(fù)數(shù)的乘積時, ,先按照多項先按照多項 式的乘法展開式的乘法展開, ,再將再將i i2 2換成換成- -1,1,最后合并同類項即可最后合并同類項即可. . 2.2.根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則, ,通過分子、分母

26、都乘分母的共軛復(fù)數(shù)通過分子、分母都乘分母的共軛復(fù)數(shù), ,使使“分母實數(shù)化分母實數(shù)化”, ,這這 個過程與個過程與“分母有理化分母有理化”類似類似. . 與復(fù)數(shù)有關(guān)的方程問題與復(fù)數(shù)有關(guān)的方程問題, ,一般是利用復(fù)數(shù)相等的充要條件一般是利用復(fù)數(shù)相等的充要條件, ,把復(fù)數(shù)問題把復(fù)數(shù)問題 實數(shù)化進(jìn)行求解實數(shù)化進(jìn)行求解, ,根與系數(shù)的關(guān)系仍適用根與系數(shù)的關(guān)系仍適用, ,但判別式但判別式“”不再適用不再適用. . 1.1.數(shù)學(xué)抽象：復(fù)數(shù)乘法、除法運算法則數(shù)學(xué)抽象：復(fù)數(shù)乘法、除法運算法則; ; 2.2.邏輯推理：復(fù)數(shù)乘法運算律的推導(dǎo)邏輯推理：復(fù)數(shù)乘法運算律的推導(dǎo); ; 3.3.數(shù)學(xué)運算：復(fù)數(shù)四則運算數(shù)學(xué)運算：復(fù)數(shù)四則運算; ; 4.4.數(shù)學(xué)建模：結(jié)合實數(shù)范圍內(nèi)求根公式和復(fù)數(shù)四則運算，解決復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根問題數(shù)學(xué)建模：結(jié)合實數(shù)范圍內(nèi)求根公式和復(fù)數(shù)四