高考數(shù)學(xué)必備—高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題—第8煉 函數(shù)方程問題的分析

1、高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家第8煉 函數(shù)方程問題的分析一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、函數(shù)方程：含有未知函數(shù)的等式叫做函數(shù)方程，例如：都可稱為函數(shù)方程。在高中階段，涉及到函數(shù)方程有以下幾個(gè)類型：（1）表示函數(shù)的某種性質(zhì)：例如體現(xiàn)是偶函數(shù)；體現(xiàn)是周期為1的周期函數(shù)（可詳見“函數(shù)對(duì)稱性與周期性”一節(jié)）（2）可利用解方程組的思想解出涉及的函數(shù)的解析式：例如：，可用代替得，即 （3）函數(shù)方程也是關(guān)于變量的恒等式，所以通過對(duì)變量賦特殊值得到某些數(shù)的函數(shù)值2、雙變量函數(shù)方程的賦值方法：（1）對(duì)均賦特殊值，以得到某些點(diǎn)的函數(shù)值，其中有些函數(shù)值會(huì)對(duì)性質(zhì)的推導(dǎo)起到關(guān)鍵作用，比如，在

2、賦特殊值的過程中要注意所賦的值要符合函數(shù)定義域。（2）其中某一個(gè)變量不變，另一個(gè)賦特殊值，可得到單變量的恒等式，通常用于推斷函數(shù)的性質(zhì)3、常見函數(shù)所符合的函數(shù)方程：在填空選擇題時(shí)可作為特殊的例子輔助處理，但是在解答題中不能用這些特殊的函數(shù)代表函數(shù)方程（1）： （2）： （3） 當(dāng)時(shí)，： 當(dāng)時(shí)，：二、典型例題例1：已知函數(shù)對(duì)任意的均有，且當(dāng)時(shí)，（1）求證：為奇函數(shù)（2）求證：為上的增函數(shù)（1）思路：要證明奇函數(shù)，則需要出現(xiàn)在同一等式中，所以考慮令，則有，再通過代入特殊值計(jì)算出即可解：（1）令，則 令，則解得為奇函數(shù)（2）思路：要證明單調(diào)遞增，則需任取，且，去證明與的大小，結(jié)合等式，則需要讓與分居

3、等號(hào)的兩側(cè)，才能進(jìn)行作差。所以考慮，進(jìn)而。只需判斷的符號(hào)即可解：任取，且，令，代入方程可得： ，依題意可得：即為增函數(shù)小煉有話說：第（2）問將拆分為是本題證明的亮點(diǎn)，達(dá)到了讓與分居等號(hào)的兩側(cè)的目的例2：已知定義在上的函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)都滿足，且，當(dāng)時(shí)，（1）求的值（2）求證：在上是增函數(shù)（3）求不等式：的解集解：（1）令，則有，解得或令可得： （2）思路：考慮證明單調(diào)遞增，則需構(gòu)造出，即可設(shè)且令，則有，從而，由和已知條件可得：所以需要證明，即，可考慮結(jié)合題目條件和，令，則有，從而單調(diào)性可證證明：，則令，代入函數(shù)方程有： ，下證由已知可得，時(shí)，所以只需證明時(shí)，令 ，即在上單調(diào)遞增（3）思路：本題

4、并沒有的解析式，所以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性求解。由（1）（2）問可得，從而，再根據(jù)單調(diào)性即可得到關(guān)于的不等式，解出不等式即可解： ，且 由（2）可得單調(diào)遞增解得例3：定義在的函數(shù)滿足關(guān)系，當(dāng)時(shí)，若，則的大小關(guān)系為（ ）A. B. C. D. 思路：由比較函數(shù)值大小聯(lián)想到考慮函數(shù)的單調(diào)性，先化簡(jiǎn)，由可得：，令解得：，即，所給方程左邊已經(jīng)作差，所以考慮，則，因?yàn)椋?，從而，即，得到在單調(diào)遞增，所以答案：D小煉有話說：本題在證明單調(diào)性時(shí)，因?yàn)榭紤]了中自變量的取值，所以只需考慮的單調(diào)性，縮小的范圍使得判斷的范圍較容易。但也可將在中任取，但是在判斷的范圍會(huì)比較復(fù)雜，可利用不等式的等價(jià)變形來證：假設(shè)，因?yàn)?/p>

5、 且 由可得成立，從而例4：函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，在區(qū)間上單調(diào)遞增，若滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路：從所求中發(fā)現(xiàn)互為相反數(shù)，所以聯(lián)想到判定是否具有奇偶性。令，則有，需求出：令，則，再令，則，所以，為偶函數(shù)。所以，所解不等式為，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且區(qū)間上單調(diào)遞增，所以自變量距離軸越近，則函數(shù)值越小，所以，即，解得，因?yàn)?，所以的范圍為答案：D例5：設(shè)角的終邊在第一象限，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，有，則使等式成立的的集合為 思路：首先從所求出發(fā)，由確定代入的特殊值。令得：，則下一步需要確定的值，令，則有，所以，由角的終邊在第一象限可得：，從而的集合為答案：例6：定義在上的函

6、數(shù)滿足：對(duì)于任意的，有，且時(shí)，有，設(shè)的最大值和最小值分別為，則的值為（ ）A. B. C. D. 思路：由最值聯(lián)想到函數(shù)的單調(diào)性，從而先考慮證明單調(diào)，令（其中），則可證明為增函數(shù)，從而，再利用函數(shù)方程求出的值即可解：，且，令代入函數(shù)方程可得：， 在單調(diào)遞增 令，可得：答案：D例7：已知函數(shù)滿足：，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則（ ）A. B. C. D. 思路：由所求出發(fā)可考慮判斷是否具備周期性，令，可得，即，所以，兩式相加可得，則可判定的周期為6，由可得：，即，由可得，則，從而，所以，且答案：B例8：已知是定義在上的函數(shù)，且對(duì)任意的，都有，那么_思路：函數(shù)方程為“和積”的特點(diǎn)，抓住，可發(fā)現(xiàn)令，則，所以可

7、得：自變量間隔,，其函數(shù)值的和為0，所以將求和的式子兩兩一組，即：答案：例9：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)，都有，則的解析式為_思路：觀察到右邊的結(jié)構(gòu)并非的輪換對(duì)稱式，考慮其中一個(gè)變量不變，另一個(gè)變量賦值為1，則時(shí)， ，時(shí)， ，則求是關(guān)鍵，結(jié)合，可令，則，代入到可得：，即，消去解得：答案：:例10：已知函數(shù)是定義在上不恒為的函數(shù)，且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)滿足，考察下列結(jié)論： 為奇函數(shù) 數(shù)列為等差數(shù)列 數(shù)列為等比數(shù)列，其中正確的個(gè)數(shù)為( ) A B C D 思路：考慮按照選項(xiàng)對(duì)函數(shù)方程中的進(jìn)行賦值。計(jì)算，令，可得；令，則，所以，正確 使等式中出現(xiàn)，令，則，需要計(jì)算出，結(jié)合方程可令，則有，即，所以，為奇函數(shù)，正確 從等差數(shù)列定義出發(fā)，考慮遞推公