探尋神奇的幻方

1、 綜合與實(shí)踐 探尋神奇的幻方 大方四中肖艷玉 教學(xué)目標(biāo) 1、 借助字母表示數(shù)、探索規(guī)律揭示幾種簡(jiǎn)單的三階幻方的本質(zhì)特征； 體驗(yàn)有理數(shù)混合運(yùn)算、 字母表示數(shù)、探索規(guī)律與幾種簡(jiǎn)單的三階幻方本質(zhì)特征的內(nèi)在聯(lián)系；能夠快速對(duì)含有具體數(shù) 字的不完整幻方進(jìn)行補(bǔ)充，掌握幻方的形成和相等關(guān)系的一般性描述. 2、 在幻方規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、 幻方之間關(guān)系的探索過(guò)程中，形成初步的研究體驗(yàn)， 獲得一些發(fā)現(xiàn) 問(wèn)題、研究問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，提高能力； 3、 借助洛書(shū)、楊輝幻方等史料，幫助學(xué)生感受祖國(guó)文化的博大精深，增強(qiáng)民族自豪感，激 發(fā)他們將民族瑰寶進(jìn)一步發(fā)揚(yáng)光大的信心和決心，從幻方對(duì)稱(chēng)的圖形、美妙的結(jié)論中，初步 感受數(shù)學(xué)的美 教學(xué)過(guò)程

2、設(shè)計(jì) 本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：課前準(zhǔn)備 查閱資料； 第二環(huán)節(jié)：結(jié)識(shí)幻方； 第三環(huán)節(jié)：研究三階幻方；第四環(huán)節(jié)：制作三階幻方；第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布 置作業(yè). 第一環(huán)節(jié)課前準(zhǔn)備 活動(dòng)內(nèi)容：查閱資料（提前一周布置） 查閱相關(guān)資料，了解幻方的有關(guān)知識(shí). 活動(dòng)目的：課前安排學(xué)生通過(guò)上網(wǎng)等方式查閱資料，了解幻方的有關(guān)知識(shí)， 使學(xué)生對(duì)幻方有 更深入、更全面的了解.也可以布置課前思考題，女口： “請(qǐng)將19這九個(gè)數(shù)分別填在三行三 列的數(shù)表中，使每行每列及對(duì)角線(xiàn)上的和都相等.” 第二環(huán)節(jié)：結(jié)識(shí)幻方 活動(dòng)內(nèi)容：據(jù)說(shuō)夏禹治水時(shí)，在黃河支流洛水中浮現(xiàn)出一只大烏龜， 背上有一個(gè)很奇怪 的圖形，古人認(rèn)

3、為是一種祥瑞，預(yù)示著洪水將被夏禹王徹底制服.后人稱(chēng)之為”洛書(shū)”，即現(xiàn) 4 9 2 洛書(shū) 3 5 7 三階幻方 三階幻方，具有 丄 丄 6 一個(gè)十分“漂 在的三階幻方. 亮”的性質(zhì)：每一橫行、每一豎列和對(duì)角線(xiàn)上的三個(gè)數(shù)的 和都相等.不信，我們來(lái)驗(yàn)證一下. 一般地，一個(gè)n行n列的正方形方格中， 每一橫行、每一豎列和對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)字和都相 等，這樣的數(shù)字方陣稱(chēng)為 n階幻方. 13 2 3 16 8 11 10 5 12 7 6 9 1 14 15 4 1 、算出右圖中各橫排、豎列及對(duì)角線(xiàn)上數(shù)字的和，看看它是不是一個(gè)幻方 活動(dòng)目的：通過(guò)簡(jiǎn)介有關(guān)幻方古今內(nèi)外的奇聞趣事， 增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪 感、激發(fā)對(duì)幻方

4、的研究興趣；問(wèn)題1以思考題的形式，在學(xué)生有一定的課 前感悟基礎(chǔ)上簡(jiǎn)介幻方引入課題 活動(dòng)注意事項(xiàng)：幻方的相關(guān)知識(shí)可以在學(xué)生已搜集資料的基礎(chǔ)上，共同交 流解決問(wèn)題1時(shí)，教師可以提示學(xué)生：如正方形最核心位置的數(shù)是幾， 數(shù)據(jù)是否成對(duì)出現(xiàn)？以便為后面的探究做一定的經(jīng)驗(yàn)積累 第三環(huán)節(jié)：研究三階幻方 活動(dòng)內(nèi)容： 在三階幻方中， （1）你能發(fā)現(xiàn)哪些相等的關(guān)系？橫行、豎行、斜對(duì)角的三個(gè)數(shù)之和分別是多少? （2）如果把和相等的每一組數(shù)分別連線(xiàn)，這些連線(xiàn)段會(huì)構(gòu)成一個(gè)怎樣的圖形？描述你得到 的圖形有什么特點(diǎn)？ （3）你能否改變上述幻方中數(shù)字的位置，使它們?nèi)匀粷M(mǎn)足你發(fā)現(xiàn)的那些相等關(guān)系嗎 （4）在你構(gòu)造的幻方中，最核心位

5、置是什么？有沒(méi)有“成對(duì)”的數(shù)？這是一般規(guī)律嗎？你 能證明它嗎？ （5 ）你還有什么新的發(fā)現(xiàn)和疑問(wèn)？ 活動(dòng)目的：借助對(duì)神農(nóng)幻方的深入觀(guān)察分析，體會(huì)其中蘊(yùn)含的圖形上的變換幫助學(xué)生初步認(rèn) 識(shí)最古老的洛書(shū)三階幻方，引發(fā)思索和質(zhì)疑，為后繼的進(jìn)一步探究埋下伏筆對(duì)于問(wèn)題（4） 教師可提示：每行、列、對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)字和是多少？如果設(shè)中間的數(shù)是X,你能得到哪些關(guān) 于x的式子？ 活動(dòng)實(shí)際效果：學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)洛書(shū)三階幻方奇數(shù)與偶數(shù)的設(shè)置，以及和相等的每一組連線(xiàn) 段構(gòu)成的圖形均衡對(duì)稱(chēng)， 和諧美麗；每行每列以及斜對(duì)角的三個(gè)數(shù)之和是15；對(duì)于問(wèn)題（4）， 有的學(xué)生可能借助 9個(gè)數(shù)的奇偶性解釋自己的想法：因?yàn)槠鏀?shù)+ 奇數(shù)=偶

6、數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù), 偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，如果5不在中間位置將無(wú)法滿(mǎn)足題意；而且進(jìn)一步當(dāng)把5填入中間格時(shí)， 如果四個(gè)角上填奇數(shù)，則其他四格填偶數(shù)，我們可以看到第一行、第三行、第一列、第三列 他們的和都得偶數(shù)，而據(jù)題目所求，三個(gè)數(shù)之和為15, 15是奇數(shù)，所以與題意不符（如圖 1）.如果四個(gè)角上一對(duì)奇數(shù)一對(duì)偶數(shù)，則剩下的四個(gè)格中也應(yīng)該一對(duì)奇數(shù)一對(duì)偶數(shù)，此時(shí)我 們可以看到第一行、第三行和都為偶數(shù)，同樣與題意不符（如圖2）.然而如果四個(gè)角上都 填偶數(shù)，剩下的四個(gè)格填奇數(shù)則符合題意（如圖3）. 奇 偶 奇 數(shù) 數(shù) 數(shù) 偶 數(shù) 5 偶 數(shù) 奇 數(shù) 偶 數(shù) 奇 數(shù) 奇 數(shù) 奇 數(shù) 偶 數(shù) 偶 數(shù) 5 偶

7、數(shù) 偶 數(shù) 奇 數(shù) 奇 數(shù) 圖2 偶 數(shù) 奇 數(shù) 偶 數(shù) 奇 數(shù) 5 奇 數(shù) 偶 數(shù) 奇 數(shù) 偶 數(shù) 圖3 對(duì)于5為何必須放在中間？也有的同學(xué)借助小學(xué)學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)易方程給出精妙的解釋?zhuān)喝鐖D4, 由于每列的和，以及每條對(duì)角線(xiàn)的和都是 15,所以?xún)蓷l對(duì)角線(xiàn)的和與第二列的和相加得 45, 其中x出現(xiàn)3次，第一、三行的數(shù)均各出現(xiàn)一次，故: 3x + 2X 15=3X 15,從而 x=5 第四環(huán)節(jié)：制作三階幻方 活動(dòng)內(nèi)容： 上面是用1-9這9個(gè)數(shù)字組成的三階幻方，用其他9個(gè)數(shù)字能組成3階幻 方嗎？ 1、將2,3,4,5,6,7,8,9,10 填入到3 X 3的方格中，使得每行、每列、斜對(duì)角的三個(gè)數(shù)之和 相等

8、？ 學(xué)生思考：這9個(gè)數(shù)與原來(lái)9個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？ 2、將-2，-1，0，1，2，3, 4，5，6填入到3X 3的方格中，使 來(lái)？ 小組合作共同完成以下 3、有人發(fā)現(xiàn)將原來(lái) 得每行、每列、斜對(duì)角的三個(gè)數(shù)之和相等 學(xué)生思考：這9個(gè)數(shù)可以由原來(lái) 9個(gè)數(shù)怎么變過(guò) 問(wèn)題： 三階幻方中每個(gè)數(shù)加1就得到1中的幻方，將每 個(gè)數(shù)減少3就得到2中的幻方一般地，原來(lái)幻方中的每個(gè)數(shù)分別增加任意一個(gè)相同的數(shù), 還構(gòu)成一個(gè)幻方嗎？說(shuō)說(shuō)你的道理 如果每個(gè)數(shù)同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)呢? 如果先擴(kuò)大相同的倍數(shù)，再同時(shí)增加另一個(gè)數(shù)呢? 在下面自己制作幾個(gè)幻方 活動(dòng)目的：設(shè)置多角度的實(shí)踐 機(jī)會(huì)，對(duì)神農(nóng)幻方進(jìn)行拓展變 式，幫助學(xué)生在實(shí)踐中形

9、成對(duì) 三階幻方的感性認(rèn)識(shí)，對(duì)逐步 顯現(xiàn)的規(guī)律不斷加深感悟，從而關(guān)注怎樣去表達(dá)方法的本質(zhì) 活動(dòng)注意事項(xiàng)：一定要留給學(xué)生充足的自主探究與合作交流的時(shí)間，對(duì)問(wèn)題1,需要的話(huà) 可多設(shè)置幾個(gè)變式練習(xí)， 幫助學(xué)生在實(shí)踐中對(duì)頭腦中的猜想獲得更直觀(guān)的感受，對(duì)逐步顯 現(xiàn)的規(guī)律不斷加深感悟，從而關(guān)注怎樣去表達(dá)方法的本質(zhì) 第五環(huán)節(jié)：反思小結(jié) 活動(dòng)內(nèi)容： （1）你是怎樣解決上述問(wèn)題的？ （2）你認(rèn)為怎樣的九個(gè)數(shù)可以滿(mǎn)足三階幻方的要求？應(yīng)怎樣把這九個(gè)數(shù)填入三階幻方？說(shuō) 說(shuō)你的道理 （3 ）你還有什么新的猜想？研究中，你有哪些結(jié)論，有哪些感受，與同伴交流 活動(dòng)目的：對(duì)這些開(kāi)放性的問(wèn)題，不同能力層次的學(xué)生可能有不同層次水平

10、的答案此環(huán)節(jié) 幫助學(xué)生借助字母表示數(shù)、探索規(guī)律把對(duì)三階幻方的感性認(rèn)識(shí)過(guò)渡到理性經(jīng)驗(yàn)的層面，能感 知并解釋幾種簡(jiǎn)單三階幻方的數(shù)學(xué)模型，能對(duì)相應(yīng)的探究方法反思提煉 活動(dòng)注意事項(xiàng)：對(duì)問(wèn)題1，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)可能有：只要連續(xù)的9個(gè)數(shù)填入到3X3的方格中即 可滿(mǎn)足橫行、豎列、斜對(duì)角的和相等；“等差”的九個(gè)數(shù)可以填入到3X3的方格中，使得 橫行、豎列、斜對(duì)角的和相等；9個(gè)數(shù)的最中間數(shù)應(yīng)填在中心格；9個(gè)數(shù)被分成三組，如果 每組數(shù)之間間隔都相同， 而且組間也都間隔一樣大則填入到3X3的方格中，也能使得橫行、 豎列、斜對(duì)角的和相等對(duì)于每一條經(jīng)驗(yàn)都不能止于感受，而要啟發(fā)學(xué)生“說(shuō)說(shuō)你的道理”， 關(guān)注言之有據(jù)習(xí)慣的養(yǎng)成 問(wèn)

11、題2要求學(xué)生歸納、類(lèi)比、由特殊到一般，把感悟到的數(shù)量關(guān)系符號(hào)化，借助字母表 示數(shù)、探索規(guī)律揭示幾種被學(xué)生發(fā)現(xiàn)的簡(jiǎn)單的三階幻方的本質(zhì)特征，此處要重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng) 歷根據(jù)特例大膽猜想，然后再綜合運(yùn)用有理數(shù)混合運(yùn)算、字母表示數(shù)、探索規(guī)律、返回去驗(yàn) 證猜想的數(shù)學(xué)思維過(guò)程 數(shù)學(xué)活動(dòng)的目的是促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)現(xiàn)，為理性的東西提供直觀(guān)素材， 在“綜合與實(shí)踐” 中往往提出一個(gè)問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要，源自學(xué)生中間的問(wèn)題更能撥動(dòng)他們彼此的思維之 弦，問(wèn)題3旨在培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí) 第六環(huán)節(jié)：課后作業(yè)： 1閱讀教材讀一讀部分 2.自行選取一組數(shù)構(gòu)造一個(gè)三階幻方，使得每一行、每一列和對(duì)角線(xiàn)上的三數(shù)之和都等于 60. K3.用

12、25個(gè)數(shù)構(gòu)造一個(gè)五階幻方 K4.本課時(shí)給出的數(shù)， 從小到大排列，好像都是等距的.不“等距”的9個(gè)數(shù)能否構(gòu)成三階幻 方呢？ 活動(dòng)目的：通過(guò)正文的學(xué)習(xí)幫助學(xué)生感知探究方法，這里的讀一讀是為學(xué)生開(kāi)辟進(jìn)一步探究 此問(wèn)題的方向和路徑 教學(xué)反思： 幫助學(xué)生借助字母表示數(shù)、探索規(guī)律把對(duì)三階幻方的感性認(rèn)識(shí)過(guò)渡到理性經(jīng)驗(yàn)的層面， 能感知并解釋幾種簡(jiǎn)單三階幻方的數(shù)學(xué)模型，能對(duì)相應(yīng)的探究方法反思提煉；提供學(xué)生充足 的探索數(shù)量關(guān)系并符號(hào)化的時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生在探索的過(guò)程中多角度嘗試，不要以教師的講解 代替學(xué)生的思考、討論；借助對(duì)神農(nóng)幻方的深入觀(guān)察分析，體會(huì)其中蘊(yùn)含的圖形上的變換， 幫助學(xué)生初步認(rèn)識(shí)三階幻方，引發(fā)思索和質(zhì)疑；對(duì)神農(nóng)幻方進(jìn)行拓展變式， 幫助學(xué)生在實(shí)踐 中形成對(duì)三階幻方的感性認(rèn)識(shí)，對(duì)逐步顯現(xiàn)的規(guī)律不斷加深感悟，從而關(guān)注怎樣去表達(dá)方法 的本質(zhì)，但有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)不了變式練習(xí)中的九個(gè)數(shù)與神農(nóng)幻方中的九個(gè)數(shù)之間的關(guān)聯(lián)；有的 學(xué)生探索止于對(duì)數(shù)量關(guān)系的感知，做不到把所進(jìn)行的探索符號(hào)化。面對(duì)學(xué)生的這些困難，教 師既不能簡(jiǎn)單告訴， 又不能放手不管，一定要依據(jù)學(xué)生的學(xué)