八年級(jí)數(shù)學(xué)整式的乘法復(fù)習(xí)與測(cè)試

1、第 14 章整式的乘法復(fù)習(xí)與測(cè)試知識(shí)網(wǎng)絡(luò)歸納aman= m na冪的運(yùn)算法則mnamn為正整數(shù)，可為一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)式項(xiàng)式)(a)(m, na, b整(ab)nanbn式單項(xiàng)式單項(xiàng)式的單項(xiàng)式 多項(xiàng)式 : m(ab)mamb乘法整式的乘法多項(xiàng)式 多項(xiàng)式：n)(ab)mambnanb(m特殊的乘法公式平方差公式 : (ab)(ab)a2b2完全平方公式：b)2a22ab b2(a互逆因式分解的意義提公因式法因式分解 因式分解的方法運(yùn)用公式法平方差公式 : a2b2(ab)(ab)完全平方公式 : a22abb2(a b)2因式分解的步驟難點(diǎn)講解：（2）正確處理運(yùn)算中的 “符號(hào)”，避免以下錯(cuò)誤， 如

2、：等；例 5【點(diǎn)評(píng)】由（ 1）、（2）可知互為相反數(shù)的同偶次冪相等；互為相反數(shù)的同奇次冪仍互為相反數(shù)3、下列各式計(jì)算正確的是（）A、a 2 b23a 6b6B、 a 2 b 5a 2 b51 ab31 a3b22C、a 4b12D、1 a6 b 443912、3 m33 m 1 的值是（）A、 1B、 1C 、0D 、 3 m 111、 a 3 xy 3a 2b yx 因式分解為。（6）2 35a25 3737aa(6)12a 2b(x y) 4ab(y x)(7m11n)(11n7m)=_； (2 yx)(x2 y)_, (1xy)(xy 1)(3ab) 2_, (2ab)2_ _( ab)

3、2( a b) 2_ _, (x2 y) 2_ _(0.2m 2mn) 20.04m 40.6m3 nm 2 n 2( 4x y)( 5x 2y) _ ( 2)( x2)( x3) ( x6)( x1)2、求 ( a b) 2 ( ab) 24ab 的值，其中 a xx，bxx2化簡(jiǎn) a(bc)b(ca)c(ab) 的結(jié)果是（）專題綜合講解專題一巧用乘法公式或冪的運(yùn)算簡(jiǎn)化計(jì)算方法 1逆用冪的三條運(yùn)算法則簡(jiǎn)化計(jì)算（冪的運(yùn)算是整式乘法的重要基礎(chǔ)，必須靈活運(yùn)用，尤其是其逆向運(yùn)用。）例 1(1) 計(jì)算： (3 )1996 (3 1)1996 。10 3(2) 已知 3 9m27 m 321，求 m 的

4、值。(3) 已知 x2n 4，求 (3x 3n)24(x 2) 2n 的值。思路分析： (1) 33 13101，只有逆用積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，才能使運(yùn)算簡(jiǎn)便。103103(2) 相等的兩個(gè)冪，如果其底數(shù)相同，則其指數(shù)相等，據(jù)此可列方程求解。(3) 此題關(guān)鍵在于將待求式 (3x3n)2 4(x 2) 2n用含 x2n 的代數(shù)式表示，利用(xm)n (x n)m 這一性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化。3)199611996(31 19961996解： (1) (3 )3)( 1)1 .103103(2) 因?yàn)?3 9m 27 m 3 (32)m (33)m 3 32m 33m 31 5m，所以 315m 321。所以

5、 15m 21，所以 m 4.(3) (3x 3n)2 4(x 2)2n 9(x3n)2 4(x 2)2n 9(x 2n)3 4(x2n)2 9 43 4 42 512。、已知：39m27m36m3，求 .方法 2巧用乘法公式簡(jiǎn)化計(jì)算。例 2 計(jì)算： (111111)(12 )(14 )(18 )15 .22222思路分析： 在進(jìn)行多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先觀察給出的算式是否符合或可轉(zhuǎn)化成某公式的形式， 如果符合則應(yīng)用公式計(jì)算，若不符合則運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算。觀察本題容易發(fā)現(xiàn)缺少因式 (1 1) ，如果能通過(guò)恒等變形構(gòu)造一個(gè)因式(1 1 ) ，則運(yùn)用平方差公式就會(huì)迎22刃而解。解： 原式 2(1

6、111111)(1)(12 )(14 )(18 )15222222 2(1111112 )(122 )(14 )(18 )152222 2(111114 )(124 )(18 )15222 2(11118 )(128 )1522 2(11116 )1522 2 211112 .21621522152151點(diǎn)評(píng)： 巧妙添補(bǔ)2 (1) ，構(gòu)造平方差公式是解題關(guān)鍵。2方法 3將條件或結(jié)論巧妙變形，運(yùn)用公式分解因式化簡(jiǎn)計(jì)算。例 3 計(jì)算： xx002 2 xx021 xx023原式 xx002 2 (xx002 1)(xx002 1) xx002 2 (xx002 21) xx002 2 xx002

7、2 1 1點(diǎn)評(píng)： 此例通過(guò)把xx021 化成 (xx023 1)，把 xx023 化成 (xx022 1)，從而可以運(yùn)用平方差公式得到 (xx022 2 1)，使計(jì)算大大簡(jiǎn)化。 由此可見乘法公式與因式分解在數(shù)值計(jì)算中有很重要的巧妙作用，注意不斷總結(jié)積累經(jīng)驗(yàn)。例 4 已知 (x y)2 1， (x y)2 49，求 x2 y2 與 xy 的值。( x y) 2(x y)21 49解法 1： x2y2225 .2(x y)2 ( x y)21 4912 .xy44解法 2：由(x y)2 1 得 x2 2xy y2 1.由 (x y)2 49 得 x2 y2 2xy 49.得 4xy 48，所以

8、xy 12.點(diǎn)評(píng)： 解決本題關(guān)鍵是如何由(x y)2、 (x y)2 表示出 x2 y2 和 xy ，顯然都要從完全平方公式中找突破口。以上兩種解法，解法1更簡(jiǎn)單。專題二整式乘法和因式分解在求代數(shù)式值中的應(yīng)用（格式的問(wèn)題）方法 1先將求值式化簡(jiǎn)，再代入求值。例 1先化簡(jiǎn)，再求值。(a 2b)2 (a b)(ab) 2(a 3b)(a b)，其中 a 1 ， b 3.2思路分析： 本題是一個(gè)含有整式乘方、乘法、加減混合運(yùn)算的代數(shù)式，根據(jù)特點(diǎn)靈活選用相應(yīng)的公式或法則是解題的關(guān)鍵。解： 原式 a2 4ab 4b2a2 b2 2(a2 4ab 3b2) 2a2 4ab3b2 2a2 8ab6b2 4a

9、b 3b2。當(dāng) a 1 ，b 3 時(shí)，原式 4 1 ( 3) 3( 3)2 6 27 33.22點(diǎn)評(píng)： (1) 本題要分沮是否可用公式計(jì)算。(2) 本題綜合應(yīng)用了完全平方公式、平方差公式及多項(xiàng)式乘法法則。(3) 顯然，先化簡(jiǎn)再求值比直接代入求值要簡(jiǎn)便得多。方法 2整體代入求值。 ）例 2當(dāng)代數(shù)式 ab 的值為3 時(shí)，代數(shù)式 2a 2b 1 的值是（）A 、 5B、 6C、 7D、 8解析： 2a2b 1 2(ab) 1 2 3 1 7，故選 C。點(diǎn)評(píng)： 這里運(yùn)用了“整體思想” ，這是常用的一種重要數(shù)學(xué)方法。練習(xí) 1：、若代數(shù)式2a23a1 的值為 6，則代數(shù)式 6a 29a5 的值為.5、已知

10、 ; a2a10，32a21999 的值求 a5、已知 x( x 1) (x2y)3 ，求x2y2xy 的值2綜合題型講解題型一學(xué)科內(nèi)綜合(一 ) 數(shù)學(xué)思想方法在本章中的應(yīng)用1、從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律和方法在探索冪的運(yùn)算法則時(shí)，都是從幾個(gè)特殊例子出發(fā)，再推出法則。如：從以下幾個(gè)特殊的例子a2 a3 a a a a a a5 a2 3，1 2 32個(gè)個(gè)3a4 a6 a a a a a a a a a a a10 a4 6，14 2431 44 2 4 434個(gè)6個(gè)推廣到 am an a a La a a L a am+n。14 2 4314 2 43m個(gè)n個(gè)從而得到法則“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，

11、指數(shù)相加”。2、化歸思想即將要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)較易解決的問(wèn)題或已經(jīng)解決的問(wèn)題，這是初中數(shù)學(xué)中最常用的思想方法， 如在本章中， 單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式可轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘法和同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算；單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式以及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式都可轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，即多多轉(zhuǎn)化多單轉(zhuǎn)化單單。還有：如比較420 與 1510 的大小，通常也是將要比較的兩個(gè)數(shù)化為 底數(shù)相同或指數(shù)相同的形式，再進(jìn)行比較，即420 (42 10 1610，16101510，所以)420 1510。3、逆向變換的方法（不講）在進(jìn)行有些整式乘法運(yùn)算時(shí)，逆用公式可使計(jì)算簡(jiǎn)便。這樣的例子很多，前邊已舉了一些，這里再舉一例。例： ( 5) 2

12、002 1.42003( 5) 2002(7 )200277755( 57)2002 71 77.75555還有把乘法公式反過(guò)來(lái)就得出因式分解的公式等。4、整體代換的方法（在冪與乘法，及因式分解中）此方法的最典型應(yīng)用表現(xiàn)于乘法公式中，公式中的字母a、b 不僅可以表示一個(gè)單項(xiàng)式，還可以表示一個(gè)多項(xiàng)式，在因式分解3a(m 2) 4b(m 2)中，可把 m 2 看作一個(gè)整體，提公因式 m 2，即原式 (m 2)(3a 4b)。(二 ) 與其他知識(shí)的綜合(方程，不等式，面積的)（舉例）例 1（與方程綜合）一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)增加4 cm，寬減少1 cm，面積保持不變；長(zhǎng)減少 2 cm，寬增加 1 cm，面積

13、仍保持不變。求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積。解： 設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為 a cm，寬為 b cm，由題意得(a4)(b1)ab,a4b40,(a2)(b1)ab,即2b20.a解得a8,b3.因?yàn)?ab8 3 24，所以這個(gè)長(zhǎng)方形面積為24 cm2。點(diǎn)評(píng)： 本題是一道多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式和列二元一次方程組解應(yīng)用題的綜合題。4、解不等式( y2)2(3y)( y3)1題型二學(xué)科間的綜合例 2生物課上老師講到農(nóng)作的需要的肥料主要有氮、磷、鉀三種，現(xiàn)有某種復(fù)合肥共50 千克，分別含氮23%、磷 11%、鉀 6%，求此種肥料共含有肥料多少千克？解： 5023% 5011%50 6% 50（ 23% 11% 6%） 50

14、 40% 20.答： 復(fù)合肥共含有肥料20 千克。題型三拓展、創(chuàng)新、實(shí)踐（整除問(wèn)題）例 3 （拓展創(chuàng)新題） 248 1 可以被 60 和 70 之間某兩個(gè)數(shù)整除，求這兩個(gè)數(shù)。思路分析： 由 248 1 (224)2 1(2 24 1)( 224 1) (2241)(2 12 1) (2121) (2 24 1)(2121)(2 6 1)(26 1) (2 24 1)(2121)(2 6 1)(64 1)(64 1) (2 24 1)(2121)(2 6 1)65 63，所以這兩個(gè)數(shù)是65 和 63。點(diǎn)評(píng)： 本題是因式分解在整除問(wèn)題中的應(yīng)用。同步測(cè)試一、填空題1、 ( a)2 ( a)3， (

15、x) x2 ( x4)， (xy 2)2.2、 ( 2 105)2 1021， ( 3xy2 )2 ( 2x2y).3、計(jì)算： ( 8)xx ( 0.125)xx， 2xx 2xx.4、計(jì)算： (m n)3 (mn)2(n m)，(3 a)(1a)，(a 2)(a 2)(4 a2)，(m n1)(m n 1).5、xn 5，yn 3，則 (xy) 2n，若 2x m，2y n，則 8x+y .6、若 A 3x 2， B 1 2x， C 5x，則 A B A C.7、不等式 (x 16)(x 4) (x 12)2 的解集是.8、比較 25180，64120， 8190 的大小用“”號(hào)聯(lián).9、把下

16、列各式分解因式：(1) a2n 2a2n 1；(2) 1x2 x 1；4(3) m m5；(4) (1 x) (x 1)3 .10、在多項(xiàng)式 16a2 4 上加上一個(gè)單項(xiàng)式， 使其成為一個(gè)整式的平方，該單項(xiàng)式是.11、四個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，已知兩個(gè)大數(shù)的積與其余兩個(gè)數(shù)的積的差等于58，則這四個(gè)數(shù)的和是.12、如圖 (1)的面積可以用來(lái)解釋(2a)2 4a2，那么根據(jù)圖(2)，可以用來(lái)解釋（寫出一個(gè)符合要求的代數(shù)恒等式） 。二、選擇題13、下列各式中，正確的是（）A 、 m2 m3 m6B、 ( a b)(b a) a2 b2C、 25a2 2b2 (5a 2b)(5a 2b)D、 (x y)(x

17、2 xy y2)x3 y314、與 (x2 x 1)(x 1)的積等于 x6 1的多項(xiàng)式是（）A 、 x2 1B、 x3 1C、 x2 1D、 x3 115、已知 5x 3， 5y4，則 25x+y 的結(jié)果為（）A 、 144B、 24C、 25D、 4916、 x 為正整數(shù)，且滿足3x+1 2x 3x2x+1 66，則 x（）A 、 2B、 3C、 6D、 1217、把多項(xiàng)式2x2 bx c 分解因式后得2(x 3)(x 1)，則 b、 c 的值為（）A 、 b 3， c 1B、 b 6， c 2C、 b 6， c 4D、 b 4， c 618、如果 xy 0，且 (x y)3 x3 y3，

18、那么 x、 y 的關(guān)系為（）A 、 x yB、 x y 0C、 x、 y 異號(hào)D、 x、 y 同號(hào)19、不等式 (x 1)2 (x 1)(x 1) 3(x 1)0的正整數(shù)解為（）A 、 1, 2B、 1, 2, 3C、 1, 2, 3, 4D、任意正整數(shù)20、若二次三項(xiàng)式ax2 bx c (a時(shí)， c1 ，c21x c1)(a2x c2)，則當(dāng) a 0， b 0， c0的符號(hào)為（）A 、 c1 0, c2 0B、 c1 0, c2 0C、 c1 0, c2 0D、 c1, c2 異號(hào)21、若 m2 m1 0，則 m3 2m2 3（）A 、 2B、 4C、 2D、 422、已知 x2 ax 12

19、 能分解成兩個(gè)整系數(shù)的一次因式的積，則符合條件的整數(shù)a 的個(gè)數(shù)是（）A 、 3 個(gè)B、 4 個(gè)C、 6 個(gè)D、 8 個(gè)三、解答題23、計(jì)算：(1) ( 2y3 )2 (-4y 2)3 ( 2y)2 (-3y 2)2；(2) (3x 2)2 (3x 2)2 (3x2) 2 (3x 2) 2；(3) 3.7654 2 0.46923.7654 0.23462.24、因式分解：(1) (a 3)2 (6 2a)；(2) 81(a b)2 4(a b)2；(3) (x 2 5)2 8(5 x2) 16.25、解方程或不等式：(1) 3(x 2)2 (2x 1)2 7(x 3)(x 3) 28；(2)

20、(1 3x)2 (2x 1)2 5(x 1)(x 1).26、化簡(jiǎn)求值：(1) (x 2 3x)(x 3) x(x 2)2 ( xy)(y x)，其中 x 3， y 2；(2) 已知 x2 3x 10，求下列各式的值， x21 x41x2 ；x4 .四、應(yīng)用題27、如圖大正方形的面積為16，小正方形的面積為4，求陰影部分的面積。28、如圖四邊形ABCD 是校園內(nèi)一邊長(zhǎng)為a b 的正方形土地（其中ab）示意圖，現(xiàn)準(zhǔn)備在這塊正方形土地中修建一個(gè)小正方形花壇，使其邊長(zhǎng)為a b，其余的部分為空地，留作道路用，請(qǐng)畫出示意圖。(1) 用尺規(guī)畫出兩種圖形的情形， 保留痕跡， 不寫作法，并標(biāo)明各部分面積的代數(shù)

21、式。(2) 用等式表示大小正方形及空地間的面積關(guān)系。附 1：中考熱點(diǎn)透視分解因式一章中，我們主要學(xué)習(xí)了分解因式的概念、會(huì)用兩種方法分解因式，即提公因式法、 平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超過(guò)兩次） 進(jìn)行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)） . 具體要求有：1、經(jīng)歷探索分解因式方法的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的整體（整式乘法與因式分解）聯(lián)系 .2、了解因式分解的意義，會(huì)用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超過(guò)兩次）進(jìn)行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）.3、通過(guò)乘法公式： （a + b ）（a - b）=a2 - b 2，（ a b） 2= a 2 2ab + b 2 的逆向變形，進(jìn)一步發(fā)展觀察、

22、歸納、類比、概括等能力，發(fā)展有條理思考及語(yǔ)言表達(dá)能力.在中考中，除了考查對(duì)一個(gè)整式進(jìn)行分解因式等常規(guī)題型外，因式分解作為一種重要的解題方法和工具，經(jīng)常出現(xiàn)于各種題型中，以下幾種就值得引起注意.一、構(gòu)造求值型例 1（ xx 山西）已知 x+y=1，那么1 x2xy1 y2 的值為 _.22分析 ：通過(guò)已知條件，不能分別求出x、 y 的值，所以要考慮把所求式進(jìn)行變形，構(gòu)造出 x+y 的整體形式 . 在此過(guò)程中我們要用完全平方公式對(duì)因式分解中的.1x2xy1y2 =1（ x2+2xy+y 2） = 1(x+y) 2 =12222221 =1 1 = 1 .2 2在此過(guò)程中，我們先提取公因式1 ，再用

23、完全平方公式對(duì)原式進(jìn)行因式分解，產(chǎn)生x+y2的整體形式，最后將x+y=1 代入求出最終結(jié)果.例 2（ xx 廣西桂林）計(jì)算：2 2223218219220_.分析 ：為了便于觀察，我們將原式“倒過(guò)來(lái)”，即原式 =22021921823222=219 ( 2 1) 21823222=219218232 22=218 (2 1)23222=21823222= = 2 2 + 2 = 4+2 = 6.此題的解題過(guò)程中， 巧妙地用到了提公因式法進(jìn)行分解因式， 使結(jié)構(gòu)特點(diǎn)明朗化， 規(guī)律凸現(xiàn)出來(lái) . 此題解法很多，比如，我們還可以采用整體思想，把原式看作一個(gè)整體，利用方程與提公因式法分解因式相結(jié)合的方法解

24、答此題.設(shè)M=2 2223218219220，則-M=22223218219220M2(1 2 22218219 )21( 2 22218219 )21 ( M 4 - 2219220 ) 2M 6即M2M - 6 .解得M = 6.二、探索規(guī)律型例 3(xx 福建福州 ) 觀察下列各式： l 2+1=1 2，22+2=2 3，32+3 34，請(qǐng)你將猜想到的規(guī)律用自然數(shù)n(n 1) 表示出來(lái).分析 ：根據(jù)題意，不難猜想到規(guī)律： n2+n=n(n+1).這個(gè)結(jié)論就是用提公因式法把n2+n 進(jìn)行了因式分解 .例 4（xx 青海）請(qǐng)先觀察下列算式，再填空：32128 1， 52328 2 （1） 7

25、 2528；（2） 9 2 （） 2 8 4；（3）（） 2 9 2 85；（4） 132 （） 2 8；通過(guò)觀察歸納， 寫出反映這種規(guī)律的一般結(jié)論：.分析 ：類比各式，可以發(fā)現(xiàn)：（ 1） 72528 3 ；（ 2） 92 （ 7） 2 8 4；（ 3）（ 11 ） 2 9 2 8 5；（ 4） 13 2 （ 11 ） 2 8 7 ；通過(guò)觀察歸納， 得到這種規(guī)律的一般結(jié)論是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8 整除（或說(shuō)是8 的倍數(shù)） .如果我們分別用2n+1 和 2n-1 表示兩個(gè)相鄰的奇數(shù)，則利用平方差公式，有(2n+1) 2 (2n-1) 2 = (2n+1)+(2n-1) (2n+1)-(2n-

26、1) = 4n2 = 8n.四、你能很快算出1995 2 嗎？為了解決這個(gè)問(wèn)題， 我們考察個(gè)位上的數(shù)字是5 的自然數(shù)的平方， 任意一個(gè)個(gè)位數(shù)為 5 的自然數(shù)可寫成 10n5，即求 10n5 2 的值（n 為正整數(shù)），你分析 n=1、n=2，這些簡(jiǎn)單情況，從中探索其規(guī)律，并歸納、猜想出結(jié)論（在下面的空格內(nèi)填上你探索的結(jié)果）。（ 1）通過(guò)計(jì)算，探索規(guī)律152=225可寫成 101（ 1+1）+25252=625可寫成 102（ 2+1）+25352=1225可寫成 103（ 3+1） +25452=2025可寫成 104（ 4+1） +2575 25625可寫成。85 27225可寫成。（ 2）從

27、第（ 1）題的結(jié)果歸納、猜想得：10n5 2。（ 3）根據(jù)上面的歸納、猜想，請(qǐng)算出：1995 2。三、開放創(chuàng)新型例 5（ xx 福建南平）請(qǐng)寫出一個(gè)三項(xiàng)式，使它能先提公因式，在運(yùn)用公式來(lái)分解.你編寫的三項(xiàng)式是_，分解因式的結(jié)果是 _.分析 ：利用整式乘法與因式分解的互逆關(guān)系，可以先利用乘法公式中的完全平方公式，寫出一個(gè)等式，在它的兩邊都乘一個(gè)因式，比如2223222m(m+n) = 2m(m+2mn+n)=2m +2mn+2mn,3a(2x-5y) 2=3a(2x) 2-2 2x 5y+(5y)2=3a(4x 2-20xy+25y 2 )=12ax 2-60axy+75ay 2，等等 .于是編

28、寫的三項(xiàng)式可以是32222m+2mn+2mn，分解因式的結(jié)果是 2m(m+n) ；或者編寫的三項(xiàng)式可以是12ax 2-60axy+75ay 2 ，分解因式的結(jié)果是3a(2x-5y) 2，等等 .例 6（ xx 四川）多項(xiàng)式9x 2 + 1 加上一個(gè)單項(xiàng)式后，使它能成為一個(gè)整式的完全平方，那么加上的單項(xiàng)式可以是 _( 填上一個(gè) 你認(rèn)為正確的即可 ).分析 ：根據(jù)完全平方公式a22ab+b2= (a b)2 的特點(diǎn)， 若 9x21表示了 a2+b 2 的話， 則有 a=3x， b=1 ，所以，缺少的一項(xiàng)為 2ab= 2（ 3x） 1= 6x ，此時(shí)， 9x2 + 1 6x=(3x 1)2；如果認(rèn)為

29、 9x2 + 1 表示了 2ab+b2 的話，則有 a=4.5x2，b=1 ，所以，缺少的一項(xiàng)為a2=（ 4.5x）2=(4.5x 2+1)2.2= 20.25x 4，此時(shí)， 20.25x 4+9x + 1從另外一個(gè)角度考慮， “一個(gè)整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多項(xiàng)式，也可以是單項(xiàng)式. 注意到 9x2=(3x) 2， 1=12，所以，保留二項(xiàng)式9x2 + 1中的任何一項(xiàng)，都是“一個(gè)整式的完全平方”，故所加單項(xiàng)式還可以是 -1 或者 -29x2，此時(shí)有 9x +1-1=9x 2=(3x) 2，或者 9x2 + 1 -9x 2=12.綜上分析，可知所加上的單項(xiàng)式可以是6x、

30、 20.25x4、-1 或者 - 9x 2.四、數(shù)形結(jié)合型例 7（ xx 陜西）如圖 1，在長(zhǎng)為 a 的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b 的小正方形 (a b) 把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形( 如圖 2), 通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖形( 陰影部分 ) 的面積， 驗(yàn)證了一個(gè)等式,則這個(gè)等式是 ( D)A a2 b2 (a 十 b)(a b)B (a b) 2a22ab 十 b2C (a b) 2a22ab b2D (a 十 2b)(a b) a2 ab 2b2分析 ：圖 1 表示的是a2 b2，圖 2 表示的是 (a 十 b)(a b)，兩者面積相等，所以a2 b2(a 十 b)(ab).故選 A 例 8（ xx

31、年山東省濟(jì)南市中考題）請(qǐng)你觀察圖輔助線，便可得到一個(gè)你非常熟悉的公式，這個(gè)公式是3，依據(jù)圖形面積間的關(guān)系，不需要添加_圖 3分析 ：圖中所表示的整個(gè)正方形的面積是x2，兩個(gè)小正方形的面積分別是y2 與（ x-y ）2，利用這些數(shù)據(jù)關(guān)系，結(jié)合圖形便可以寫出以下公式：x2-2xy+y 2 = (x-y) 2，或者 x2-y2 = (x+y)(x-y).當(dāng)然，在沒有限定的情況下，也能寫成乘法公式.根據(jù)幾何圖形的特征，研究其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)公式，是“數(shù)形結(jié)合思想”的具體體現(xiàn).例 9（ xx 山西）有若干張如圖 4 所示的正方形和長(zhǎng)方形卡片，abbaba(1)(2)(3)圖 4表中所列四種方案能拼成邊長(zhǎng)為a

32、b 的正方形的是（）卡片數(shù)量（張）（ 1）（ 2）（ 3）方案A112B111C121D211分析： 此題的本意就是判斷哪些卡片的面積之和是（a+b） 2.222因?yàn)?a +2ab+b =（ a+b） ，對(duì)照?qǐng)D 4 所示的正方形和長(zhǎng)方形卡片，可知三種卡片的面積分別為 a2、 b2 和 ab，它們分別需要 1 張、 1 張、 2 張. 由此可選出正確答案為 A.例 10（ xx 山西太原）如圖5 是用四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請(qǐng)利用圖中空白部分的面積的不同表示方法寫出一個(gè)關(guān)于a、 b 的恒等式圖 5分析 ：外框圍成的大正方形面積為（a+b） 2， 4 個(gè)矩形的面積之和為4ab，中間的空白部分

33、的面積為 (a-b) 2. 于是，可以列出等式（a+b） 2-4ab = (a-b)2.對(duì)于它的正確性，可以用因式分解的方法證明：（ a+b） 2-4ab =a 2+2ab+b2-4ab = a2-2ab+b 2 = (a-b)2.29、在通常的日歷牌上,可以看到一些數(shù)所滿足的規(guī)律,表 1 是 xx 年 6 月份的日歷牌。表 1表 2星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六1234567891011表 312131415161718192021222324252627282930(1) 在表 1 中，我們選擇用如表2 那樣 2 2 的長(zhǎng)方形框任意圈出2 2 個(gè)數(shù)，將它們交叉相乘，再相減，如：

34、2 81 9 7，1420 1321 7，24 18 17 25 7，你發(fā)現(xiàn)了什么？再選擇幾個(gè)試試，看看是否都是這樣，想一想，能否用整式的運(yùn)算加以說(shuō)明。(2) 如果選擇用如表3 那樣 3 3 的長(zhǎng)方形方框任意圈出3 3 個(gè)數(shù)，將長(zhǎng)方形方框四解位置上的4 個(gè)數(shù)交叉相，再相減，你發(fā)現(xiàn)了什么？請(qǐng)說(shuō)明理由。30、為了美化校園環(huán)境，爭(zhēng)創(chuàng)綠色學(xué)校，某區(qū)教育局委托園林公司對(duì)園綠化，已知A 校有如圖 (1) 的陰影部分空地需鋪設(shè)草坪，A ，B 兩校進(jìn)行校 B 校有如圖 (2) 的陰影部分空地需鋪設(shè)草坪，在甲、乙兩地分別有同種草皮3500 米 2 和 2500 米售價(jià)一樣，若園林公司向甲、乙兩地購(gòu)買草皮，其路程

35、和運(yùn)費(fèi)單價(jià)表如下：路程、運(yùn)費(fèi)單價(jià)表A 校B 校2 出售，且路程 (千米 )運(yùn)費(fèi)單價(jià)(元 )路程 (千米 )運(yùn)費(fèi)單價(jià)(元 )甲地200.15100.15乙地150.20200.20（注：運(yùn)費(fèi)單價(jià)表示每平方米草皮運(yùn)送1 千米所需的人民幣）求： (1)分別求出圖1、圖2 的陰影部分面積；(2) 若園林公司將甲地 3500m2 的草皮全部運(yùn)往 A 校，請(qǐng)你求出園林公司運(yùn)送草皮去 A 、B 兩校的總運(yùn)費(fèi)；(3) 請(qǐng)你給出一種運(yùn)送方案，使得園林公司支付出送草皮的總運(yùn)費(fèi)不超過(guò)15000元。第 30 題圖參考答案一、填空題1、 a5， x7，x2 y42、 41031， 18x 4y53、 8， 2xx4、

36、(m n)6， 3 2a a2， a4 16， m2 2m 1n25、 225， m3 n36、 21x2 17x 27、 x 208、 8190 64120 251809、 a2n1 (a 2)， ( 1 x 1)2， m(1 m2)(1 m)(1 m)， x(1 x)(2 x)210、 16a11、 5812、 (a b)2 (a b)2 4ab二、選擇題13、 D14、 D15、 A16、 C17、 D18、 B19、 D20、 B21、 B22、 C三、解答題23、 (1) 96y6(2) 81x 4 72x224x 16(3) 1624、 (1) (a 3)(a 1)；(2) (11a 7a)(7a 11b)；(3) (x 3) 2 (x 3)225、 (1) x 6；5(2) x .226、 (1)原式 5x2 13x y2，當(dāng) x 3， y 2 時(shí)，原式 2；(2)13，由題意得 xx11 )2x2(x27x2xx41( x21 )2 2 722 47x4x227、大正方形的邊長(zhǎng)為4，小正方形的邊長(zhǎng)為 2.長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為6，寬為 4.S 陰 64 16 44.28、 (1) 如圖(2) (a b)2 (a b)2 4ab (ab) 2