上海高二數(shù)學(xué)解析幾何經(jīng)典例題12頁(yè)

1、上海高二數(shù)學(xué)解析幾何經(jīng)典例題 第13頁(yè) 共13頁(yè)軌跡方程1、已知反比例函數(shù)的圖像是以軸與軸為漸近線的等軸雙曲線（1）求雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)、為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)、是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)求直線與交點(diǎn)的軌跡的方程；（3）設(shè)直線過點(diǎn)，且與雙曲線交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)當(dāng)，且時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)面積2、在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若軌跡上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)（）的距離的最小值為，求的值（3）設(shè)點(diǎn)、是軌跡上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線、與軌跡的另一交點(diǎn)分別為、，且直線、的斜率之積等于，問四邊形的面積是否為定值？請(qǐng)說明理由定點(diǎn)3、動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離和它到直線

2、的距離相等，記點(diǎn)的軌跡為曲線(1) 求曲線的方程；(2) 設(shè)點(diǎn)2,動(dòng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最短距離為，求的值以及取到最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3) 設(shè)為曲線的任意兩點(diǎn)，滿足(為原點(diǎn))，試問直線是否恒過一個(gè)定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，說明理由定值4、已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓上（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為不在坐標(biāo)軸上），若直線在軸，軸上的截距分別為證明：為定值；（3）若是橢圓上不同的兩點(diǎn)，軸，圓過且橢圓上任意一點(diǎn)都不在圓內(nèi)，則稱圓為該橢圓的一個(gè)內(nèi)切圓. 試問：橢圓是否存在過左焦點(diǎn)的內(nèi)切圓？若存在，求出圓心的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由新

3、定義5、曲線是平面內(nèi)到直線和直線的距離之積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，設(shè)曲線的軌跡方程（1）求曲線的方程；（2）定義：若存在圓使得曲線上的每一點(diǎn)都落在圓外或圓上，則稱圓為曲線的收斂圓判斷曲線是否存在收斂圓？若存在，求出收斂圓方程；若不存在，請(qǐng)說明理由軌跡方程1、已知反比例函數(shù)的圖像是以軸與軸為漸近線的等軸雙曲線（1）求雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)、為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)、是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)求直線與交點(diǎn)的軌跡的方程；（3）設(shè)直線過點(diǎn)，且與雙曲線交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)當(dāng)，且時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)解：（1）頂點(diǎn)：、， 焦點(diǎn)：、為焦點(diǎn)（2）解一：，：-2分兩式相乘，得 將代入上式，得，即 即直線與交點(diǎn)的

4、軌跡的方程為（）-1分解二：聯(lián)立直線方程，解得 ，即，化簡(jiǎn)，得 所以，直線與交點(diǎn)的軌跡的方程為（）（3）直線斜率不存在或?yàn)?時(shí)顯然不滿足條件； 設(shè)直線：，則將代入，得， ， ， ，即， 解得， 解二：將代入，得， ， ，又，即， 面積2、在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若軌跡上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)（）的距離的最小值為，求的值（3）設(shè)點(diǎn)、是軌跡上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線、與軌跡的另一交點(diǎn)分別為、，且直線、的斜率之積等于，問四邊形的面積是否為定值？請(qǐng)說明理由（1）設(shè)，由題意，化簡(jiǎn)得， 所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為 （2）設(shè)，則， 當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，取最小值，解得，

5、此時(shí)，故舍去 當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，取最小值，解得，或（舍） 綜上，（3）解法一：設(shè)，則由，得，（1分），因?yàn)辄c(diǎn)、在橢圓上，所以，所以，化簡(jiǎn)得 當(dāng)時(shí)，則四邊形為矩形，則，由，得，解得， 當(dāng)時(shí)，直線的方向向量為，直線的方程為，原點(diǎn)到直線的距離為所以，的面積， 根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，四邊形的面積， 所以，所以所以，四邊形的面積為定值 解法二：設(shè)，則，由，得， 因?yàn)辄c(diǎn)、在橢圓上，所以，所以，化簡(jiǎn)得 直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，的面積， 根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，四邊形的面積， 所以， ，所以解法三：設(shè)，則，由，得， 因?yàn)辄c(diǎn)、在橢圓上，所以，所以，化簡(jiǎn)得 的面積，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，四邊形的面積， 所以，所以，所以 定

6、點(diǎn)3、動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，記點(diǎn)的軌跡為曲線(1) 求曲線的方程；(2) 設(shè)點(diǎn)2,動(dòng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最短距離為，求的值以及取到最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3) 設(shè)為曲線的任意兩點(diǎn)，滿足(為原點(diǎn))，試問直線是否恒過一個(gè)定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，說明理由22（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分(1) 根據(jù)拋物線的定義可知, 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線 所以曲線C的方程為x2=4y；(2) 設(shè)點(diǎn)T(x0, y0), x02=4y0 (y00)，|AT|=，a20，則當(dāng)y0=a2時(shí)，|AT|取得最小值為2， 2=a1, a26a+5=0

7、，a=5或a=1 (舍去)， 所以y0=a2=3，x0=2，所以T坐標(biāo)為(2, 3)； (3) 顯然直線OP1、OP2的斜率都必須存在，記為k，解之得P1(,)，同理P2(4k, 4k2)，直線P1P2的斜率為，直線P1P2方程為：整理得：k(y4)+(k21)x=0，所以直線P1P2恒過點(diǎn)(0, 4)16分定值4、已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓上（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為不在坐標(biāo)軸上），若直線在軸，軸上的截距分別為證明：為定值；（3）若是橢圓上不同的兩點(diǎn)，軸，圓過且橢圓上任意一點(diǎn)都不在圓內(nèi)，則稱圓為該橢圓的一個(gè)內(nèi)切圓. 試問：橢圓是否

8、存在過左焦點(diǎn)的內(nèi)切圓？若存在，求出圓心的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）由題意得，所以又點(diǎn)在橢圓上，所以解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （2）由（1）知，設(shè)點(diǎn)則直線的方程為 直線的方程為 把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 所以直線的方程為令得令得所以又點(diǎn)在橢圓上，所以即為定值 （3）由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)由題意知，點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)則圓的方程為由橢圓的內(nèi)切圓的定義知，橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值是設(shè)點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，最小，所以 假設(shè)橢圓存在過左焦點(diǎn)的內(nèi)切圓，則 又點(diǎn)在橢圓上，所以 -由得或當(dāng)時(shí)，不合題意，舍去，且經(jīng)驗(yàn)證，符合題意.綜上，橢圓存在過左焦點(diǎn)的內(nèi)切圓，圓心的坐標(biāo)是新定義5、曲線是平面內(nèi)到直線和直線的距離之積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，設(shè)曲線的軌跡方程（1）求曲線的方程；（2）定義：若存在圓使得曲線上的每一點(diǎn)都落在圓外或圓上，則稱圓為曲線的收斂圓判斷曲線是否存在收斂圓？若存在，求出收斂圓方程；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，則由條件可知軌跡方程是