30實際問題與二元一次方程組(一)(提高)知識講解

1、實際問題與二元一次方程組（一）（提高）知識講解 【學習目標】 1. 以含有多個未知數(shù)的實際問題為背景，經(jīng)歷“分析數(shù)量關系，設未知數(shù)，列方程組，解 方程組和檢驗結果”的過程，體會方程組是刻畫現(xiàn)實世界中含有多個未知數(shù)問題的數(shù)學模型; 2. 熟練掌握用方程組解決和差倍分，配套，工程等實際問題. 【要點梳理】 要點一、常見的一些等量關系（一） 1. 和差倍分問題： 增長量=原有量X增長率較大量=較小量+多余量，總量=倍數(shù)X倍量. 2. 產(chǎn)品配套問題： 解這類問題的基本等量關系是：加工總量成比例. 3. 工程問題：工作量=工作效率X工作時間，各部分勞動量之和=總量. 利潤 4. 利潤問題：商品利潤=商品

2、售價一商品進價，利潤率=利潤100% . 進價 要點二、實際問題與二元一次方程組 1. 列方程組解應用題的基本思想 列方程組解應用題，是把“未知”轉(zhuǎn)換成“已知”的重要方法，它的關鍵是把已知量和 未知量聯(lián)系起來，找出題目中的等量關系.一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程， 所列方程必須滿足： 方程兩邊表示的是同類量：同類量的單位要統(tǒng)一； 方程兩邊的數(shù) 要相等. 2. 列二元一次方程組解應用題的一般步驟： 設：用兩個字母表示問題中的兩個未知數(shù)； 列：列出方程組（分析題意，找出兩個等量關系，根據(jù)等量關系列出方程組）； 解：解方程組，求出未知數(shù)的值； 驗：檢驗求得的值是否正確和符合實際情形； 答：

3、寫出答案. 要點詮釋： （1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應用題的實際意義，檢查求得的 結果是否合理，不符合題意的解應該舍去； （2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱； （3 ）一般來說，設幾個未知數(shù)就應該列出幾個方程并組成方程組. 【典型例題】 類型一、和差倍分問題 1.在一次數(shù)學測驗中，甲、乙兩校各有100名同學參加測試.測試結果顯示，甲校男 生的優(yōu)分率為60 %，女生的優(yōu)分率為 40%，全校的優(yōu)分率為 49.6 %;乙校男生的優(yōu)分率為 57%,女生的優(yōu)分率為 37%. （男（女）生優(yōu)分率=男（女）生測分人數(shù)100%，全校優(yōu)分率=全校測分人數(shù)100%） 男（女）生測

4、試人數(shù)全校測試人數(shù) （1）求甲校參加測試的男、女生人數(shù)各是多少？ （2）從已知數(shù)據(jù)中不難發(fā)現(xiàn)甲校男、女生的優(yōu)分率都相應高于乙校男、女生的優(yōu)分率，但最 終的統(tǒng)計結果卻顯示甲校的全校優(yōu)分率比乙校的全校的優(yōu)分率低，請舉例說明原因. 【思路點撥】（1）求甲校參加測試的男、 女生人數(shù)需設兩個未知數(shù)，故可建立二元一次方程 組求解.（2）由于甲校男、女生的優(yōu)分率相應高于乙校的男、女生的優(yōu)分率，要使乙校的全 校優(yōu)分率比甲校的全校優(yōu)分率高，此時，只有乙校的男生較多時，才能提高全校的優(yōu)分率. 【答案與解析】 解：（1）設甲校參加測試的男生人數(shù)是x人，女生人數(shù)是y人. 由題意可列方程組： x y 60%x 100

5、40%y 49.6% 100 解之得: x 48 y 52 答：甲校參加測試的男生有48人，女生有52人. 女口：乙校男生有70人，女生有30人，則乙校的全校優(yōu)分率為 70 57% 30 37%廠 100%51% . 51 % 49.6 % 100 （說明：只要所舉例子中男生人數(shù)多于63人，且女生優(yōu)分率合適，即可得全分.） 【總結升華】 解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系， 列出方程組，再求解本題的第（2）問也可以用不等式求出甲乙兩校男生人數(shù)滿足什么關 系時，才滿足甲校的全校優(yōu)分率比乙校的全校的優(yōu)分率低. 舉一反三： 【變式】為了拉動內(nèi)需，全國各地汽車購置稅補貼

6、活動在 策出臺前一個月共售出某品牌汽車的手動型和自動型共 這兩種型號的汽車共 1228臺，其中手動型和自動型汽車的銷售量分別比政策出臺前一個月 增長30%和25% （1）在政策出臺前一個月，銷售的手動型和自動型汽車分別為多少臺？ （2）若手動型汽車每臺價格為8萬元，自動型汽車每臺價格為9萬元根據(jù)汽車補貼政策, 政府按每臺汽車價格的5%給購買汽車的用戶補貼，問政策出臺后的第一個月，政府對這 1228臺汽車用戶共補貼了多少萬元？ 【答案】 解：（1）設政策出臺前一個月銷售的手動型汽車為x輛，自動型汽車為 y輛， 2009年正式開始.某經(jīng)銷商在政 960臺，政策出臺后的第一個月售出 由題意可得: x

7、 y 960 (1 30%)x (1 25%)y 1228 x 解之得： y 560 400 答：政策出臺前一個月銷售的手動型汽車為560輛，自動型汽車為 400輛. 560 X （1+30 % ） X 8+400 X （1+25 %） X 9 X 5%= 516.2（萬元） 答：政策出臺后的第一個月，政府對這1228臺汽車用戶共補貼了516.2萬元. 類型二、配套問題 個，扁擔40根，問這個班的男女生各有多少人? 男生y人，由題意得: x 3 2 x 3 2 40 2(y 4)68 解得: x 21 y 32 答：這個班的男生有 32人，女生有21人. 【總結升華】 兩人抬土需要一根扁擔，一

8、只筐；一人挑土需要一根扁擔，兩只筐.題中的等 量關系是：參加勞動的同學一共用去籮筐68個和40根扁擔，從而列出方程組，解出即可. 舉一反三： 【變式】某工廠有工人 60人，生產(chǎn)某種由一個螺栓和兩個螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn) 螺栓14個或螺母20個，應分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和 螺母剛好配套？ 【答案】 解：設分配x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母，則根據(jù)題意可得： x y 60 14x型 25 y 答：應分配 類型三、工程問題 35 25人生產(chǎn)螺栓，35人生產(chǎn)螺母. 3. (2015春?定陶縣期末)一家商店進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8 天可以完成，需付兩組

9、費用共3520元，若先請甲組單獨做 6天，再請乙組單獨做12天可以 完成，需付費用 3480元，問： (1 )甲、乙兩組工作一天，商店各應付多少錢？ (2) 已知甲單獨完成需 12天，乙單獨完成需 24天，單獨請哪個組，商店所需費用最少？ (3) 若裝修完后，商店每天可贏利200元，你認為如何安排施工更有利于商店？請你幫助 商店決策.(可用(1) (2)問的條件及結論) 【思路點撥】(1)本題的等量關系是：甲做 8天需要的費用+乙作8天需要的費用=3520元. 甲組6天需付的費用+乙做12天需付的費用=3480元，由此可得出方程組求出解. 12天 （2）根據(jù)（1）得出的甲乙每工作一天，商店需付

10、的費用，然后分別計算出甲單獨做 需要的費用，乙單獨做 24天需要的費用，讓兩者進行比較即可. （3）本題可將每種施工方法的施工費加上施工期間商店損失的費用，然后將不同方案計算 出的結果進行比較，損失最少的方案就是最有利商店的方案. 【答案與解析】 元. 解：（1）設：甲組工作一天商店應付 x元，乙組工作一天商店付 y 由題意得 8x-8y=3 8160 元; 5120 元； 因為 5120 6000 8160, 所以甲乙合作損失費用最少. 答：甲乙合作施工更有利于商店. 【總結升華】 解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系： 甲做8天需要的費用+乙作8天需要的費用=

11、3520元列出方程組，再求解. 類型四、利潤問題 4. （2016?黃岡模擬）甲、乙兩件服裝的成本共500元，商店老板為獲取利潤，將甲服 157元求甲、乙兩件服裝的成本各是多少元？ y元，根據(jù)“甲、乙兩件服裝共獲 50%勺利潤定價，乙服裝按 40%勺利潤定價，兩件服裝均按定價的9 157元”，列方程組解決問題. 裝按50%勺利潤定價，乙服裝按 40%勺利潤定價.在實際出售時，應顧客要求，兩件服裝均 按定價的9折出售，這樣商店共獲利 【思路點撥】設甲服裝的成本是x元，則乙服裝的成本是 利157元、將甲服裝按 折出售，這樣商店共獲利 x元，則乙服裝的成本是y元，依題意有 【答案與解析】 解：設甲服裝的成本是 計產(chǎn)500 0. g(l+5Q?0計Q9(1+4Q知y- 5QQ二Ih 解得: K=?00 7=200 答：甲服裝的成本為 300元，乙服裝的成本為 200元. 【總結升華】 考查了二元一次方程組的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出 的條件，找出合適的等量關系列出方程組，再求解. 舉一反三： 【變式】（2